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第5讲 指数与指数函数


第 5 讲指数与指数函数
一、选择题 ?1? 1.已知 a=21.2,b=?2?-0.8,c=2log5 2,则 a,b,c 的大小关系为( ? ? A.c<b<a C.b<a<c B.c<a<b D.b<c<a ).

?1? 解析 a=21.2>2,而 b=?2?-0.8=20.8,所以 1&

lt;b<2,c=2log52=log54<1,所以 ? ? c<b<a. 答案 A ?1? 2.函数 y=? ?x+1 的图象关于直线 y=x 对称的图象大致是( ?2? ).

解析 A.

?1? 函数 y=? ?x+1 的图象如图;作其关于直线 y=x 的对称图象,可知选 ?2?

答案

A

a 3.不论 a 为何值时,函数 y=(a-1)2x-2恒过定点,则这个定点的坐标是 ( 1? ? A.?1,-2? ? ? 1? ? C.?-1,-2? ? ? 1? ? B.?1,2? ? ? 1? ? D.?-1,2? ? ? ).

a 1 ? x 1? 解析 y=(a-1)2x-2=a?2 -2?-2x,令 2x-2=0,得 x=-1,则函数 y=(a ? ? 1? a ? -1)2x-2恒过定点?-1,-2?. ? ? 答案 C 4. 已知函数 f(x)=ax+logax(a>0 且 a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为 loga 2 +6,则 a 的值为 1 A.2 1 B.4 C.2 D.4 ( ).

解析 由题意知 f(1)+f(2)=loga2+6,即 a+loga1+a2+loga2=loga2+6,a2 +a-6=0,解得 a=2 或 a=-3(舍). 答案 C 5.若函数 f(x)=(k-1)ax-a x(a>0 且 a≠1)在 R 上既是奇函数,又是减函数,则


g(x)=loga(x+k)的图象是下图中的

(

).

解析 函数 f(x)=(k-1)ax-a-x 为奇函数,则 f(0)=0,即(k-1)a0-a0=0,解 得 k=2,所以 f(x)=ax-a-x,又 f(x)=ax-a-x 为减函数,故 0<a<1,所以 g(x) =loga(x+2)为减函数且过点(-1,0). 答案 A 6.设函数 f(x)= 值域是( A.{0,1} 2x 1 x- ,[x]表示不超过 x 的最大整数,则函数 y=[f(x)]的 1+2 2 C.{-1,1} D.{1,1}

). B.{0,-1}

2x 1 1 1 1 1 解析 由 f(x)= , x- =1- x- = - 1+2 2 1+2 2 2 1+2x 由于(2x+1)在 R 上单调递增, 所以- 数,由于 2x>0,当 x→-∞,2x→0, 1 在 R 上单调递增, 所以 f(x)为增函 1+2x

1 1 ∴f(x)>- ,当 x→+∞, →0, 2 1+2x 1 1 1 ∴f(x)< ,∴- <f(x)< , 2 2 2 ∴y=[f(x)]={0,-1}. 答案 B 二、填空题 7.已知正数 a 满足 a2-2a-3=0,函数 f(x)=ax,若实数 m、n 满足 f(m)>f(n), 则 m、n 的大小关系为________. 解析∵a2-2a-3=0,∴a=3 或 a=-1(舍). 函数 f(x)=ax 在 R 上递增,由 f(m)>f(n)得 m>n. 答案 m>n
x ?a ,x<0, 8.已知函数 f(x)=? ??a-3?x+4a,x≥0,

满足对任意 x1≠x2,都有

f?x1?-f?x2? <0 成立,则 a 的取值范围是________. x1-x2 f?x1?-f?x2? <0 成立,说明函数 y=f(x)在 R 上是减 x1-x2

解析 对任意 x1≠x2,都有

1 函数,则 0<a<1,且(a-3)×0+4a≤a0,解得 0<a≤4. 1? ? 答案 ?0,4? ? ? 9.若函数 f(x)=ax-x-a(a>0,且 a≠1)有两个零点,则实数 a 的取值范围是 ________. 解析 令 ax-x-a=0 即 ax=x+a,

若 0<a<1,显然 y=ax 与 y=x+a 的图象只有一个公共点; 若 a>1,y=ax 与 y=x+a 的图象如图所示.

答案

(1,+∞)

?1? 10.已知 f(x)=x2,g(x)=?2?x-m,若对?x1∈[-1,3],?x2∈[0,2],f(x1)≥g(x2), ? ? 则实数 m 的取值范围是________. ??1? ?1? ? 解析 x1∈[-1,3]时,f(x1)∈[0,9],x2∈[0,2]时,g(x2)∈??2?2-m,?2?0-m?, ?? ? ? ? ? ?1 ? 即 g(x2)∈?4-m,1-m?,要使?x1∈[-1,3],?x2∈[0,2],f(x1)≥g(x2),只需 ? ? 1 1 f(x)min≥g(x)min,即 0≥4-m,故 m≥4. ?1 ? 答案 ?4,+∞? ? ? 三、解答题 2x-1 11.已知函数 f(x)= x . 2 +1 (1)判断函数 f(x)的奇偶性; (2)求证 f(x)在 R 上为增函数. (1)解 因为函数 f(x)的定义域为 R,且 f(x)= 2x-1 2 =1- x ,所以 f(-x)+ x 2 +1 2 +1

2 ? ? 2 ? 2 ? 2· 2x ? ? ? 2 ? 2 f(x) = ?1-2-x+1? + ?1-2x+1? = 2 - ?2x+1+2-x+1? = 2 - ?2x+1+2x+1? = 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 2?2x+1? - x =2-2=0,即 f(-x)=-f(x),所以 f(x)是奇函数. 2 +1 (2)证明 设 x1,x2∈R,且 x1<x2,有 2x1-1 2x2-1 2?2x1-2x2? - = , 2x1+1 2x2+1 ?2x1+1??2x2+1?

f(x1)-f(x2)=

∵x1<x2,2x1-2x2<0,2x1+1>0,2x2+1>0, ∴f(x1)<f(x2),∴函数 f(x)在 R 上是增函数. 12. 已知函数 f(x)=b·ax(其中 a, b 为常量, 且 a>0, a≠1)的图象经过点 A(1,6),

B(3,24).
(1)求 f(x); 1 1 (2)若不等式( )x+( )x-m≥0 在 x∈(-∞,1]时恒成立,求实数 m 的取值范

a

b

围. 解析(1)把 A(1,6),B(3,24)代入 f(x)=b·ax,得 ?6=ab, ? 3 ?24=b·a . ?a=2, 结合 a>0 且 a≠1,解得? ?b=3. ∴f(x)=3·2x. 1 x 1 x (2)要使( ) +( ) ≥m 在(-∞,1]上恒成立, 2 3 1 1 只需保证函数 y=( )x+( )x 在(-∞,1]上的最小值不小于 m 即可. 2 3 1 1 ∵函数 y=( )x+( )x 在(-∞,1]上为减函数, 2 3 1 1 5 ∴当 x=1 时,y=( )x+( )x 有最小值 . 2 3 6 5 ∴只需 m≤ 即可. 6 5 ∴m 的取值范围(-∞, ] 6 13.若函数 y=

a·2x-1-a
2x-1

为奇函数.

(1)求 a 的值; (2)求函数的定义域; (3)求函数的值域. 解析 ∵函数 y=

a·2x-1-a
2 -1
x

,∴y=a-

1 . 2 -1
x

(1)由奇函数的定义,可得 f(-x)+f(x)=0,即

a-

1 1 +a- x =0, 2 -1 2 -1
-x

1-2 1 ∴2a+ x=0,∴a=- . 1-2 2 1 1 (2)∵y=- - x , 2 2 -1 ∴2x-1≠0,即 x≠0. 1 1 ∴函数 y=- - x 的定义域为{x|x≠0}. 2 2 -1 (3)∵x≠0,∴2x-1>-1. ∵2x -1≠0,∴0>2x-1>-1 或 2x-1>0. 1 1 1 1 1 1 ∴- - x > 或- - x <- . 2 2 -1 2 2 2 -1 2 1 1 即函数的值域为{y|y> 或 y<- }. 2 2 1 14.已知定义在 R 上的函数 f(x)=2x-2|x|. 3 (1)若 f(x)=2,求 x 的值; (2)若 2tf(2t)+mf(t)≥0 对于 t∈[1,2]恒成立,求实数 m 的取值范围. 解 (1)当 x<0 时,f(x)=0,无解; 1 当 x≥0 时,f(x)=2x-2x, 1 3 由 2x-2x=2,得 2· 22x-3· 2x-2=0, 1 看成关于 2x 的一元二次方程,解得 2x=2 或-2, ∵2x>0,∴x=1. 1? 1? ? ? (2)当 t∈[1,2]时,2t?22t-22t?+m?2t-2t?≥0, ? ? ? ? 即 m(22t-1)≥-(24t-1), ∵22t-1>0,∴m≥-(22t+1), ∵t∈[1,2],∴-(22t+1)∈[-17,-5],

x

故 m 的取值范围是[-5,+∞).


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