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数学修改后高考例题


2014 高考数学高分突破精品教案
“会而不对,对而不全”一直以来成为制约学生数学成绩提高的重要因素,成为学生挥之不去的痛, 如何解决这个问题对决定学生的高考成败起着至关重要的作用。本文结合笔者的多年高三教学经验精心挑 选学生在考试中常见的 66 个易错、 易混、 易忘典型题目, 这些问题也是高考中的热点和重点, 做到力避偏、 怪、难,进行精彩剖析并配以近几年的高考试题

作为相应练习,一方面让你明确这样的问题在高考中确实 存在,另一方面通过作针对性练习帮你识破命题者精心设计的陷阱,以达到授人以渔的目的,助你在高考 中乘风破浪,实现自已的理想报负。 【易错点 1】忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面。 例1、 设

A ? ? x | x 2 ? 8 x ? 15 ? 0? , B ? ?x | ax ?1 ? 0? ,若 A

B ? B ,求实数 a 组成的集

合的子集有多少个? 【易错点分析】此题由条件

A B ? B 易知 B ? A ,由于空集是任何非空集合的子集,但在解题中极易

忽略这种特殊情况而造成求解满足条件的 a 值产生漏解现象。 解析:集合 A 化简得

A ? ?3,5? ,由 A B ? B 知 B ? A 故(Ⅰ)当 B ? ? 时,即方程 ax ? 1 ? 0 无
? 1 1 或 。 3 5

解,此时 a=0 符合已知条件(Ⅱ)当 B ? ? 时,即方程 ax ? 1 ? 0 的解为 3 或 5,代入得 a

综上满足条件的 a 组成的集合为 ?0,

? 1 1? , ? ,故其子集共有 23 ? 8 个。 3 5? ?
B时,要树立起分类讨论的数学思想,

【知识点归类点拔】 (1)在应用条件 A∪B=B ? A∩B=A ? A 将集合A是空集Φ的情况优先进行讨论.

(2)在解答集合问题时,要注意集合的性质“确定性、无序性、互异性”特别是互异性对集合元素的限制。 有时需要进行检验求解的结果是满足集合中元素的这个性质,此外解题过程中要注意集合语言(数学语言) 和自然语言之间的转化如: 其中 r

A ? ?? x, y ? | x 2 ? y 2 ? 4? , B ?

?? x, y ? | ? x ? 3? ? ? y ? 4?
2

2

? r2

?



? 0 ,若 A B ? ? 求 r 的取值范围。将集合所表达的数学语言向自然语言进行转化就是:集合 A

表示以原点为圆心以 2 的半径的圆,集合 B 表示以(3,4)为圆心,以 r 为半径的圆,当两圆无公共点即 两圆相离或内含时,求半径 r 的取值范围。思维马上就可利用两圆的位置关系来解答。此外如不等式的解 集等也要注意集合语言的应用。 【练 1】已知集合

A ? ? x | x 2 ? 4 x ? 0? 、 B ? ? x | x 2 ? 2 ? a ? 1? x ? a 2 ? 1 ? 0? ,若 B ? A ,
。答案: a

则实数 a 的取值范围是

? 1 或 a ? ?1 。

【易错点 2】求解函数值域或单调区间易忽视定义域优先的原则。

例 2、已知

? x ? 2?

2

?

y2 ? 1 ,求 x2 ? y2 的取值范围 4

【易错点分析】此题学生很容易只是利用消元的思路将问题转化为关于 x 的函数最值求解,但极易忽略 x、

y 满足

? x ? 2?

2

y2 ? ? 1 这个条件中的两个变量的约束关系而造成定义域范围的扩大。 4

1

解析:由于

? x ? 2? ?
2
2

y2 y2 ? 1 得(x+2)2=14 4
2

≤1,∴-3≤x≤-1 从而 x +y =-3x -16x-12=

2

2

2

+

28 3

因此当 x=-1 时 x +y 有最小值 1, 当 x=-

8 28 2 2 时, x +y 有最大值 3 3

。 故 x +y 的取值范围是[1,

2

2

28 3

]

【知识点归类点拔】事实上我们可以从解析几何的角度来理解条件

? x ? 2? ?
2

y2 ? 1对 4

x、y 的限制,

显然方程表示以(-2,0)为中心的椭圆,则易知-3≤x≤-1, ?2 ? 转化为三角最值求解。

y ? 2 。此外本题还可通过三角换元

【练 2】若动点(x,y)在曲线

x2 y 2 ? ? 1 ? b ? 0 ? 上变化,则 x2 ? 2 y 的最大值为() 4 b2

? b2 ? b2 ? 4 0 ? b ? 4 ? ? (B) ? ? 4 ? 0 ? b ? 2 ? (C) b 2 ? 4 (D) 2b ? (A) ? 4 ?4 4 ?2b ? b ? 4 ? ?2b ? b ? 2 ? ? ?
答案:A 【易错点 3】求解函数的反函数易漏掉确定原函数的值域即反函数的定义域。

例3、

f ? x? ?

a ? 2x ? 1 ?1 是 R 上的奇函数, (1)求 a 的值(2)求的反函数 f ? x ? x 1? 2

【易错点分析】求解已知函数的反函数时,易忽略求解反函数的定义域即原函数的值域而出错。 解析: (1)利用

f ? x ? ? f ? ?x ? ? 0 (或 f ? 0? ? 0 )求得 a=1.
2x ?1 1? y x x ,设 y ? f ? x ? ,则 2 ?1 ? y ? ? 1 ? y 由于 y ? 1 故 2 ? , x 2 ?1 1? y

(2)由 a

? 1即 f ? x? ?
1? y 1? y

x ? log 2

,而

1? x 2 2x ?1 ?1 ? 1? x ? ? ?1,1? 所以 f ? x ? ? log 21? x ? ?1 ? x ? 1? f ? x? ? x 2 ?1 2 ?1

【知识点归类点拔】 (1)在求解函数的反函数时,一定要通过确定原函数的值域即反函数的定义域在反函 数的解析式后表明(若反函数的定义域为 R 可省略) 。 (2)应用

f ?1 (b) ? a ? f (a) ? b 可省略求反函数的步骤,直接利用原函数求解但应注意其自变量和

函数值要互换。 【练 3】函数 A、 C、

f ? x ? ? x ? 1 ? 1? x ? 1? 的反函数是()
B、 D、

y ? x2 ? 2x ? 2 ? x ? 1? y ? x2 ? 2x ? x ? 1?

y ? x2 ? 2x ? 2 ? x ? 1?

y ? x2 ? 2x ? x ? 1?

答案:B 2

【易错点 4】求反函数与反函数值错位 例 4、 已知函数 称,则 A、 g

f ? x? ?

1 ? 2x ?1 , 函数 y ? g ? x ? 的图像与 y ? f ? x ? 1? 的图象关于直线 y ? x 对 1? x

y ? g ? x ? 的解析式为()

? x? ?

3 ? 2x x

B、 g

? x? ?

2? x 1? x

C、 g

? x? ?

1? x 2? x

D、 g

? x? ?

3 2? x

【易错点分析】解答本题时易由

y ? g ? x ? 与 y ? f ?1 ? x ? 1? 互为反函数,而认为 y ? f ?1 ? x ? 1? 的
1 ? 2 ? x ? 1? 1 ? ? x ? 1? ? 3 ? 2x 而错选 A。 x

反函数是

y ? f ? x ? 1? 则 y ? g ? x ? = f ? x ? 1? = ?
f ? x? ?

解析:由

1 ? ? x ? 1? 2 ? x 1 ? 2x 1? x ?1 ?1 得 f ? x? ? 从而 y ? f ? x ? 1? ? 再求 ? 1? x 2? x 2 ? ? ?1? 1 ? x
2? x 。正确答案:B 1? x

y ? f ?1 ? x ? 1? 的反函数得 g ? x ? ?
【知识点分类点拔】函数

y ? f ?1 ? x ? 1? 与函数 y ? f ? x ? 1? 并不互为反函数,他只是表示 f ?1 ? x?

中 x 用 x-1 替代后的反函数值。 这是因为由求反函数的过程来看: 设

y ? f ? x ? 1? 则 f ?1 ? y ? ? x ? 1,

?1 y 互换即得 y ? f ? x ? 1? 的反函数为 y ? f ? x ? ? 1 , 故 y ?f x x ? f ?1 ? y ? ? 1 再将 x、 ? ?1? 的

反函数不是

y ? f ?1 ? x ? 1? ,因此在今后求解此题问题时一定要谨慎。
-1 -1

【练 4】已知函数 y=log2x 的反函数是 y=f (x),则函数 y= f (1-x)的图象是()

答案:B 【易错点 5】判断函数的奇偶性忽视函数具有奇偶性的必要条件:定义域关于原点对称。 例5、 判断函数

f ( x) ?

lg ?1 ? x 2 ? x?2 ?2

的奇偶性。

【易错点分析】此题常犯的错误是不考虑定义域,而按如下步骤求解:

f (? x) ?

lg ?1 ? x 2 ? x?2 ?2

? f ? x? 从

3

而得出函数

f ? x ? 为非奇非偶函数的错误结论。

2 ? ?1 ? x ? 0 解析:由函数的解析式知 x 满足 ? 即函数的定义域为 ? ?1,0? ? ? x ? 2 ? ?2

? 0,1? 定义域关于原点对称,

在定义域下

f ? x? ?

lg ?1 ? x 2 ? ?x

易证

f ? ?x ? ? ? f ? x ? 即函数为奇函数。

【知识点归类点拔】 (1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件,因此在判断 函数的奇偶性时一定要先研究函数的定义域。 (2)函数

f ? x ? 具有奇偶性,则 f ? x ? ? f ? ?x ? 或 f ? x ? ? ? f ? ?x ? 是对定义域内 x 的恒等式。常

常利用这一点求解函数中字母参数的值。 【练 5】判断下列函数的奇偶性:



f ? x ? ? 4 ? x 2 ? x 2 ? 4 ② f ? x ? ? ? x ? 1?

1? x 1? x



f ? x? ?

1 ? sin x ? cos x 1 ? sin x ? cos x

答案:①既是奇函数又是偶函数②非奇非偶函数③非奇非偶函数 【易错点 6】易忘原函数和反函数的单调性和奇偶性的关系。从而导致解题过程繁锁。

例6、

函数

f ? x ? ? log 2

2 x ?2 2 x ?1

1 1? ? ?1 ?1 证明 f ? x ? 是奇函数且在 ? x ? ? 或x ? ? 的反函数为 f ? x ? , 2 2 ? ?

其定义域上是增函数。 【思维分析】可求 只需研究原函数

f ?1 ? x ? 的表达式,再证明。若注意到 f ?1 ? x ? 与 f ? x ? 具有相同的单调性和奇偶性,

f ? x ? 的单调性和奇偶性即可。
?2 x ?1 2 x? 1 2x? 1

解析:

f ? ? x ? ? log2 ?2 x?1 ? log2 2x?1 ? ? log2 2x? 1 ? ? f ? x ? ,故 f ? x ? 为奇函数从而 f ?1 ? x ? 为
? 2x ?1 2 1? ?1 ? ? t ? 1? 在 ? ??, ? ? 和 ? , ?? ? 上均为增函数且 y ? log 2 为增函数, 2x ?1 2x ?1 ? 2? ? 2 ?

奇函数。 又令 t



1? ?1 ? ? f ? x ? 在 ? ??, ? ? 和 ? , ?? ? 上分别为增函数。故 f ?1 ? x ? 分别在 ? 0, ??? 和 ? ??,0? 上分别为 2? ? 2 ? ?

增函数。 【知识点归类点拔】对于反函数知识有如下重要结论: (1)定义域上的单调函数必有反函数。 (2)奇函数 的反函数也是奇函数且原函数和反函数具有相同的单调性。 (3)定义域为非单元素的偶函数不存在反函数。 (4)周期函数不存在反函数(5)原函数的定义域和值域和反函数的定义域和值域到换。即

f ?1 (b) ? a ? f (a) ? b 。
e x ? e? x f ( x) ? 2

【练 6】 (1)已知

,则如下结论正确的是()

4

A、 C、

f ? x ? 是奇函数且为增函数 f ? x ? 是偶函数且为增函数

B、 D、

f ? x?

是奇函数且为减函数

f ? x ? 是偶函数且为减函数

答案:A (2) 设
2

f ?1 ? x ? 是函数 f ? x ? ? 1 ? a x ? a? x ? ? a ? 1? 的反函数,则使 f ?1 ? x ? ? 1 成立的 x 的取值范围为()
2
B、 ( ??,

A、 (

a ?1 , ??) 2a

a2 ? 1 ) 2a

C、 (

a2 ? 1 , a) 2a

D、 ( a, ??)

2 答案:A ( a ? 1 时, f ? x ? 单调增函数,所以 f ?1 ? x ? ? 1 ? f ? f ?1 ? x ? ? ? f ?1? ? x ? f ?1? ? a ? 1 .) 2a

【易错点 7】证明或判断函数的单调性要从定义出发,注意步骤的规范性及树立定义域优先的原则。 例 7、试判断函数

f ? x ? ? ax ?

b ? a ? 0, b ? 0 ? 的单调性并给出证明。 x

【易错点分析】在解答题中证明或判断函数的单调性必须依据函数的性质解答。特别注意定义

x1 ? D, x2 ? D f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ?? 中的 x1 , x2 的任意性。以及函数的单调区间必是
函数定义域的子集,要树立定义域优先的意识。 解析:由于

f ? ?x ? ? ? f ? x ? 即函数 f ? x ? 为奇函数,因此只需判断函数 f ? x ? 在 ? 0, ??? 上的单调性
x1 ? x2 ? 0


即可。设

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? x1 ? x2 ?

ax1 x2 ? b x1 x2

由于

x1 ? x2 ? 0

故当

? b ? x1 , x2 ? ? , ? ? ? ? a ? ? ?
函数



? b ? , ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 ,此时函数 f ? x ? 在 ? ? ? a ? 上增函数,同理可证 ? ?

? ? b ? b? 0, 上为减函数。又由于函数为奇函数,故函数在 ? ? f ? x? 在 ? ? ? ? ? a ,0? ? 为减函数,在 a ? ? ? ?

? ? ? b? b? ? b ? ? ??, ? a ? ? 为增函数。综上所述:函数 f ? x ? 在 ? ? ??, ? a ? ?和? ? a , ? ?? ? 上分别为增函数,在 ? ? ? ? ? ? ? b? ? b ? 0, ? ? 和? ? ? ? ,0? ? 上分别为减函数. a? ? ? ? a ?
【知识归类点拔】 (1)函数的单调性广泛应用于比较大小、解不等式、求参数的范围、最值等问题中,应 引起足够重视。 (2)单调性的定义等价于如下形式:

f ? x ? 在 ? a, b? 上是增函数 ?

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 , f ? x? 在 x1 ? x2

? a, b? 上是减函数 ?

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 ,这表明增减性的几何意义:增(减)函数的图象上任意两 x1 ? x2

5



? x , f ? x ?? , ? x , f ? x ?? 连线的斜率都大于(小于)零。
1 1 2 2

(3)

f ? x ? ? ax ?

b ? a ? 0, b ? 0 ? 是一种重要的函数模型,要引起重视并注意应用。但注意本题中不 x

能说

? b? ?? , ? f ? x? 在 ? ? ? a? ? ?
f ? x ? ? ax ?

? b ? ? b? , ? ? 上为增函数, 在 ? 0, ? ? ? ? a ? ? a? ? ? ? ?

? b ? ? ? ? a ,0? ? 上为减函数,在叙 ? ?

述函数的单调区间时不能在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”, 【练 7】 (1) (2)设

1? x ? a ? 0 ? (1)用单调性的定义判断函数 f ? x ? 在 ?0, ??? 上的单调性。 ax

f ? x ? 在 0 ? x ? 1 的最小值为 g ? a ? ,求 y ? g ? a ? 的解析式。

? 1 ?2 ? ? a ? 1? ?1 ? ? 1? 答案: (1)函数在 ? , ?? ? 为增函数在 ? 0, ? 为减函数。 (2 ) y ? g ? a ? ? ? a ?a ? ? a? ?a ? 0 ? a ? 1? ?
(2)设 a

? 0 且 f ? x? ?

ex a ? a ex

为 R 上的偶函数。 (1)求 a 的值(2)试判断函数在

?0, ??? 上的单

调性并给出证明。 答案: (1) a

? 1 (2)函数在 ? 0, ??? 上为增函数(证明略)

【易错点 8】在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用,导致错误 结论。 例 8、已知函数 【易错点分析】

f ? x ? ? ax3 ? 3x2 ? x ?1 上是减函数,求 a 的取值范围。 f ? ? x ? ? 0 ? x ? ? a, b ?? 是 f ? x ? 在 ? a, b ? 内单调递减的充分不必要条件,在解题过程 f ? x ? ? ?x3 在 R 上递减,但 f ? ? x ? ? ?3x2 ? 0 。 f ? ? x? ? 3 a 2 x ?6 x ?1( 1 ) 当 f ? ? x ? ? 0 时 , f ? x ? 是 减 函 数 , 则
解 得

中易误作是充要条件,如 解析:求函数的导数

?a ? 0 f ? ? x? ? 3 a 2 x ?6 x ?1 ? 0 ? x? ?R故 ? ?? ? 0
3 3 2

a ? ?3

。( 2 ) 当

a ? ?3

时 ,

1? 8 ? (3)当 a ? ?3 时, f ? x ? ? ?3x ? 3x ? x ? 1 ? ?3 ? x ? ? ? 易知此时函数也在 R 上是减函数。 3? 9 ?
在 R 上存在一个区间在其上有 的取值范围是

f ? ? x ? ? 0 ,所以当 a ? ?3 时,函数 f ? x ? 不是减函数,综上,所求

a

? ??, ?3? 。
其导数与函数的单调性的关系现以增函数为例来说明: ① f ?( x) ? 0 f ? x ? 可导,

【知识归类点拔】 若函数

6



f ( x) 为增函数的关系 : f ?( x) ? 0 能推出 f ( x) 为增函数,但反之不一定。如函数 f ( x) ? x 3 在

(??,??) 上 单 调 递 增 , 但 f ?( x) ? 0 , ∴ f ?( x) ? 0 是 f ( x) 为 增 函 数 的 充 分 不 必 要 条 件 。 ② f ?( x) ? 0 时, f ?( x) ? 0 与 f ( x) 为增函 数的关 系 : 若 将 f ?( x) ? 0 的根作 为分界 点,因 为规定 f ?( x) ? 0 ,即抠去了分界点,此时 f ( x) 为增函数,就一定有 f ?( x) ? 0 。∴当 f ?( x) ? 0 时, f ?( x) ? 0 是 f ( x) 为增函数的充分必要条件。 ③ f ?( x) ? 0 与 f ( x ) 为增函数的关系: f ( x ) 为增函数,
一定可以推出

f ?( x) ? 0 ,但反之不一定,因为 f ?( x) ? 0 ,即为 f ?( x) ? 0 或 f ?( x) ? 0 。当函数在 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 为常数,函数不具有单调性。∴ f ?( x) ? 0 是 f ( x) 为增函数的

某个区间内恒有

必要不充分条件。函数的单调性是函数一条重要性质,也是高中阶段研究的重点,我们一定要把握好以上 三个关系,用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题,都一律用开区间作为单 调区间,避免讨论以上问题,也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题,要谨慎处理。 因此本题在第一步后再对 a 维的严密性。 【练 8】 (1)函数 A、 b

? ?3 和 a ? ?3 进行了讨论,确保其充要性。在解题中误将必要条件作充分条

件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用而导致的错误还很多,这需要同学们在学习过程中注意思

y ? x2 ? bx ? c ? x ? ? 0, ???? 是是单调函数的充要条件是()
?0
C、 b

?0

B、 b

?0

D、 b

?0

答案:A (2) 是否存在这样的 K 值, 使函数 上递增? 答案: k 在

f ? x ? ? k 2 x4 ?

2 3 1 x ? kx 2 ? 2 x ? 在 ?1, 2 ? 上递减, 在 ? 2, ??? 3 2

?

1 。 (提示据题意结合函数的连续性知 f ? ? 2? ? 0 ,但 f ? ? 2? ? 0 是函数在 ?1, 2 ? 上递减, 2

) ? 2, ??? 上递增的必要条件,不一定是充分条件因此由 f ? ? 2? ? 0 求出 K 值后要检验。

【易错点 9】应用重要不等式确定最值时,忽视应用的前提条件特别是易忘判断不等式取得等号时的变量 值是否在定义域限制范围之内。 例 9、 已知:a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+

1 a

) +(b+

2

1 b

) 的最小值。

2

错解 :(a+ 值是 8

1 a

) +(b+

2

1 b

) =a +b +

2

2

2

1 1 + a2 b2

+4≥2ab+

2 ab

+4≥4

ab ?

1 1 +4=8∴(a+ a ab

) +(b+

2

1 b

) 的最小

2

【易错点分析】 上面的解答中,两次用到了基本不等式 a +b ≥2ab,第一次等号成立的条件是 a=b= 二次等号成立的条件 ab=

2

2

1 2

,第

1 ab

,显然,这两个条件是不能同时成立的。因此,8 不是最小值。

7

解析:原式= a +b +

1 1 1 1 1 1 2 + 2 +4=( a +b )+( 2 + 2 )+4=[(a+b) -2ab]+ [( + ) ]+4 2 a b ab a b a b 1 a?b 1 1 1 1 1 =(1-2ab)(1+ 2 2 )+4 由 ab≤( )= 得:1-2ab≥1- = ,且 2 2 ≥16,1+ 2 2 ≥17 2 4 2 2 a b a b a b 1 25 1 1 1 25 ∴原式≥ ?17+4= (当且仅当 a=b= 时,等号成立)∴(a+ ) +(b+ ) 的最小值是 。 2 2 2 a b 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2

【知识归类点拔】在应用重要不等式求解最值时,要注意它的三个前提条件缺一不可即“一正、二定、三 相等” ,在解题中容易忽略验证取提最值时的使等号成立的变量的值是否在其定义域限制范围内。 【练 9】甲、乙两地相距 s km , 汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过 c km/h ,已知汽车每小时的 运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度 v(km/h)的平方成正比,比例系 数为 b;固定部分为 a 元。 (1) (2) 把全程运输成本 y(元)表示为速度 v(km/h)的函数,并指出这个函数的定义域; 为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?

答案为: (1) y

?

s a bv 2 ? a ? ? 0 ? v ? c ?(2) 使全程运输成本最小, 当 ? v b

≤c 时, 行驶速度 v=

a b





a >c 时,行驶速度 v=c。 b

【易错点 10】在涉及指对型函数的单调性有关问题时,没有根据性质进行分类讨论的意识和易忽略对数函 数的真数的限制条件。 例 10、是否存在实数 a 使函数 明理由。 【易错点分析】本题主要考查对数函数的单调性及复合函数的单调性判断方法,在解题过程中易忽略对数 函数的真数大于零这个限制条件而导致 a 的范围扩大。 解析:函数

f ? x ? ? log a ax

2

?x



? 2, 4? 上是增函数?若存在求出 a 的值,若不存在,说

f ? x ? 是由 ? ? x ? ? ax2 ? x 和 y ? loga? ? x? 复合而成的,根据复合函数的单调性的判断方
f ? x ? ? log a ax
2

法(1)当 a>1 时,若使

?x



? 2, 4? 上是增函数,则 ? ? x? ? ax2 ? x 在 ? 2, 4? 上是增函
2

?1 ? ?2 ax 数且大于零。故有 ? 2a 解得 a>1。 (2)当 a<1 时若使 f ? x ? ? log a ?? ? 2 ? ? 4a ? 2 ? 0 ?
2

?x



? 2, 4? 上是增

?1 ? ?4 函数,则 ? ? x ? ? ax ? x 在 ? 2, 4? 上是减函数且大于零。 ? 2a 不等式组无解。综上 ?? ? 4 ? ? 16a ? 4 ? 0 ?
所述存在实数 a>1 使得函数

f ? x ? ? log a ax

2

?x



? 2, 4? 上是增函数

【知识归类点拔】要熟练掌握常用初等函数的单调性如:一次函数的单调性取决于一次项系数的符号,二 次函数的单调性决定于二次项系数的符号及对称轴的位置,指数函数、对数函数的单调性决定于其底数的 范围 (大于 1 还是小于 1) , 特别在解决涉及指、 对复合函数的单调性问题时要树立分类讨论的数学思想 (对 数型函数还要注意定义域的限制) 。 8

【练 10】 (1) (黄岗三月分统考变式题)设 a 间。 答案:当 0

? 0 ,且 a ? 1 试求函数 y ? loga 4 ? 3x ? x2 的的单调区

3? 3? ? ?3 ? ? ? a ? 1 ,函数在 ? ?1, ? 上单调递减在 ? , 4 ? 上单调递增当 a ? 1 函数在 ? ?1, ? 上单调 2? 2? ? ?2 ? ?

递增在

?3 ? , 4 ? 上单调递减。 ? ?2 ?
1 f ? x ? ? log a ? x3 ? ax ? ? a ? 0, a ? 1? 在区间 (? ,0) 内单调递增,则 a 的取值范围是()A、 2 3 9 9 B、 [ ,1) C、 ( , ??) D、 (1, ) 4 4 4
2 则 g ' ? x ? ? 3x ? a 当 a ? 1 时, 要使得 f ? x ? 是增函数, 则需有 g ' ? x ? ? 0 ? x ? ? x3 ? ax ,
2

(2)若函数

1 [ ,1) 4

答案: B. (记 g

3 ? 1? 恒成立,所以 a ? 3 ? ? ? ? .矛盾.排除 C、D 当 0 ? a ? 1 时,要使 2 4 ? ?
成立,所以 a ? 3 ? ? ? ? .排除 A) 4 ? 2? 【易错点 11】 用换元法解题时,易忽略换元前后的等价性.
? 1?
2

f ? x ? 是函数,则需有 g ' ? x ? ? 0 恒

3

1 2 求 sin y ? cos x 的最大值 3 1 【易错点分析】此题学生都能通过条件 sin x ? sin y ? 将问题转化为关于 sin x 的函数,进而利用换 3 元的思想令 t ? sin x 将问题变为关于 t 的二次函数最值求解。但极易忽略换元前后变量的等价性而造成
例 11、已知 sin

x ? sin y ?

错解, 解 析 : 由 已 知 条 件 有 sin

y?

?

2 ? sin x ? 1 3

, 而

1 1 ? sin x 且 sin y ? ? sin x ? ? ?1,1? ( 结 合 sin x ? ??1,1? ) 得 3 3 1 2 2 令 s i yn ? c x o= s ? sin x ? cos2 x = ? sin 2 x ? sin x ? 3 3


2 2? 2 ? ? 2 ? t ? sin x ? ? ? t ? 1? 则 原 式 = t 2 ? t ? ? ? ? t ? 1? 根 据 二 次 函 数 配 方 得 : 当 t ? ? 3 3? 3 ? ? 3 ? sin x ? ? 2 3
时,原式取得最大值

4 9



【知识点归类点拔】“知识”是基础,“方法”是手段,“思想”是深化,提高数学素质的核心就是提高 学生对数学思想方法的认识和运用,数学素质的综合体现就是“能力”,解数学题时,把某个式子看成一 个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法。换元的实质是转化,关键是构造元和 设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标 准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的 变量,可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的 形式,把复杂的计算和推证简化。 【练 11】 (1)设 a>0,000 求 f(x)=2a(sinx+cosx)-sinx?cosx-2a 的最大值和最小值。
2

9

答案:f(x)的最小值为-2a -2

2

?1 2 (0 ? a ? ) ? 1 ?2 2 2 a- ,最大值为 ? 2 1 2 ? ? 2a 2 ? 2 2 a ? ( a ? ) ? 2 2 ?

(2)不等式 x >ax+ 答案: a

3 的解集是(4,b),则 a=________,b=_______。 2

1 ? , b ? 36 (提示令换元 x ? t 原不等式变为关于 t 的一元二次不等式的解集为 2, b 8

?

?)

【易错点 12】已知 Sn 求 an 时, 易忽略 n=1的情况. 例 12、数列 (1)求 a2 , a3 , a4 的值及数列 ?an ? 的通项公式。 ?an ? 前 n 项和 sn 且 a1 ? 1, an?1 ? 3 sn 。

1

【易错点分析】此题在应用 s n 与 an 的关系时误认为 an 的情况的验证。易得出数列

? sn ? sn?1 对于任意 n 值都成立,忽略了对 n=1

?an ? 为等比数列的错误结论。

解析:易求得

1 4 16 1 1 a2 ? , a3 ? , a4 ? 。 由 a1 ? 1, an ?1 ? sn 得 an ? sn ?1 ? n ? 2 ? 故 3 9 27 3 3 1 1 1 4 1 an ?1 ? an ? sn ? sn ?1 ? an ? n ? 2 ? 得 an ?1 ? an ? n ? 2 ? 又 a1 ? 1 ,a2 ? 故该数列从第 3 3 3 3 3

?1? n ? 1? ? 二项开始为等比数列故 an ? ? 1 4 n ? 2 。 ? ? ? ? ? ? n ? 2? ?3 ? 3 ?
【知识点归类点拔】对于数列 an 与 s n 之间有如下关系: an

? ? s1 ? n ? 1? ?? 利用两者之间的关系 ? ? sn ? sn ?1 ? n ? 2 ?

可以已知 s n 求 an 。 但注意只有在当 a1 适合 an 的形式。 【练 12】已知数列 的通项为

? sn ? sn?1 ? n ? 2? 时两者才可以合并否则要写分段函数 ? ? n ? 1? an?1 ? n ? 2? 则数列 ?an ?

?an ? 满足 a1 ? 1, an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ?


?1? n ? 1? ? 答案: (将条件右端视为数列 ?nan ? 的前 n-1 项和利用公式法解答即可) an ? ? n ! ? ? n ? 2? ?2
【易错点 13】利用函数知识求解数列的最大项及前 n 项和最大值时易忽略其定义域限制是正整数集或其子 集(从 1 开始) 例 13、等差数列

?an ? 的首项 a1 ? 0 ,前 n 项和 sn ,当 l ? m 时, sm ? sl 。问 n 为何值时 sn 最大?

【易错点分析】等差数列的前 n 项和是关于 n 的二次函数,可将问题转化为求解关于 n 的二次函数的最大 值,但易忘记此二次函数的定义域为正整数集这个限制条件。 10

解析:由题意知 s n =

f ? n ? ? na1 ?

n ? n ? 1? 2

d?

d 2 ? d? n ? ? a1 ? ? n 此函数是以 2 2? ?

n 为变量的二次函

数,因为 a1

? 0 ,当 l ? m 时, sm ? sl 故 d ? 0 即此二次函数开口向下,故由 f ?l ? ? f ? m? 得当


x?
当l

l?m 2

f ? x ? 取得最大值,但由于 n ? N ? ,故若 l ? m 为偶数,当 n ?
l ? m ?1 时 s n 最大。 2

l?m 2

时, s n 最大。

? m 为奇数时,当 n ?

【知识点归类点拔】数列的通项公式及前 n 项和公式都可视为定义域为正整数集或其子集(从 1 开始)上 的函数,因此在解题过程中要树立函数思想及观点应用函数知识解决问题。特别的等差数列的前 n 项和公 式是关于 n 的二次函数且没有常数项, 反之满足形如 sn

? an2 ? bn 所对应的数列也必然是等差数列的前

n 项和。此时由

sn ? s ? ? an ? b 知数列中的点 ? n, n ? 是同一直线上,这也是一个很重要的结论。此外形如 n ? n?

前 n 项和 sn 【练 13】设

? can ? c 所对应的数列必为一等比数列的前 n 项和。

?an ? 是等差数列, sn 是前 n 项和,且 s5 ? s6 , s6 ? s7 ? s8 ,则下列结论错误的是()A、
D、 s 6 和 s 7 均为 s n 的最大值。

d ? 0 B、 a7 ? 0 C、 s9 ? s5

答案:C(提示利用二次函数的知识得等差数列前 n 项和关于 n 的二次函数的对称轴再结合单调性解答) 【易错点 14】解答数列问题时没有结合等差、等比数列的性质解答使解题思维受阻或解答过程繁琐。 例 14 、已知关于的方程 x
2

? 3x ? a ? 0 和 x2 ? 3x ? b ? 0 的四个根组成首项为

3 4

的等差数列,求

a ? b 的值。
【思维分析】注意到两方程的两根之和相等这个隐含条件,结合等差数列的性质明确等差数列中的项是如 何排列的。 解析:不妨设

3 4

是方程 x

2

? 3x ? a ? 0 的根,由于两方程的两根之和相等故由等差数列的性质知方程

2 x 2 ? 3x ? a ? 0 的另一根是此等差数列的第四项, 而方程 x ? 3x ? b ? 0 的两根是等差数列的中间两

项,根据等差数列知识易知此等差数列为:

27 35 31 3 57 9 ,b ? , , 故a ? 从而 a ? b = 。 16 16 8 4 4, 4 4

【知识点归类点拔】等差数列和等比数列的性质是数列知识的一个重要方面,有解题中充分运用数列的性 质往往起到事半功倍的效果。例如对于等差数列

?an ?,若 n ? m ? p ? q ,则 an ? am ? a p ? aq ;

对于等比数列

?an ?,若 n ? m ? u ? v ,则 an ? am ? au ? av ;若数列 ?a n ?是等比数列, S n 是其前 n
*

项的和, k ? N ,那么 S k , S 2k ? S k , S 3k ? S 2k 成等比数列;若数列

?an ? 是等差数列, S n 是其前 n

11

项的和, k

? N * ,那么 S k , S 2k ? S k , S 3k ? S 2 k 成等差数列等性质要熟练和灵活应用。
2

【练 14】已知方程 x

? 2 x ? m ? 0 和 x 2 ? 2 x ? n ? 0 的四个根组成一个首项为
B、

1 4

的等差数列,则

m?n
答案:C

=()

A、1

3 4

C、

1 2

D、

3 8

【易错点 15】用等比数列求和公式求和时,易忽略公比q=1的情况 例 15、数列 {an } 中, a1 (I)求使 an an?1

? 1 , a2 ? 2 ,数列 {an ? an?1} 是公比为 q ( q ? 0 )的等比数列。

(II)求数列 {an } 的前 2 n 项的和 S 2 n . ? an?1an?2 ? an?2 an?3 成立的 q 的取值范围;

【易错点分析】对于等比数列的前 n 项和易忽略公比 q=1 的特殊情况,造成概念性错误。再者学生没有从 定义出发研究条件数列 {an

? an?1} 是公比为 q ( q ? 0 )的等比数列得到数列奇数项和偶数项成等比数

列而找不到解题突破口。使思维受阻。 解: (I)∵数列 {an 由 an an?1

? an?1} 是公比为 q 的等比数列,∴ an?1an?2 ? an an?1q , an?2 an?3 ? an an?1q 2 ,

? an?1an?2 ? an?2 an?3 得 an an?1 ? an an?1q ? an an?1q 2 ? 1 ? q ? q 2 ,即
1? 5 2


,解得 0 ? q ? q2 ? q ?1 ? 0 ( q ? 0 )

(II) 由数列 {an

? an?1} 是公比为 q 的等比数列,得

a n?1 a n ? 2 a ? q ? n? 2 ? q ,这表明数列 {an } 的 a n a n?1 an
? 1 , a2 ? 2 ,∴当 q ? 1 时,

所有奇数项成等比数列,所有偶数项成等比数列,且公比都是 q ,又 a1

S 2 n ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ? ? a2n?1 ? a2n ? (a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ) ? (a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a2n )
? a1 (1 ? q n ) a2 (1 ? q n ) 3(1 ? q n ) ,当 q ? 1 时, ? ? 1? q 1? q 1? q

S 2 n ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ? ? a2n?1 ? a2n ? (a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ) ? (a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a2n )
? (1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1) ? (2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2) ? 3n .

【知识点归类点拔】本题中拆成的两个数列都是等比数列,其中

an?2 ? q 是解题的关键,这种给出数列 an

12

的形式值得关注。另外,不要以为奇数项、偶数项都成等比数列,且公比相等,就是整个数列成等比数列, 解题时要慎重, 写出数列的前几项进行观察就得出正确结论.对等比数列的求和一定要注意其公比为 1 这种 特殊情况。高考往往就是在这里人为的设计陷阱使考生产生对现而不全的错误。 【练 15】设等比数列 答案:

?an ? 的公比为 q,前 n 项和 sn ? 0 (1)求 q 的取值范围。

? ?1,0? ?0, ???

【易错点 16】在数列求和中对求一等差数列与一等比数列的积构成的数列的前 n 项和不会采用错项相减法 或解答结果不到位。 例 16、已知数列 (1)求数列

?an ? 是等差数列,且 a1 ? 2, a1 ? a2 ? a3 ? 12

?an ? 的通项公式(2)令 bn ? an xn ? x ? R? 求数列 ?bn ? 前项和的公式。 ?an ? 的通项公式再由数列 ?bn ? 的通项公式分析可知数列 ?bn ? 是一

【思维分析】本题根据条件确定数列

个等差数列和一个等比数列构成的“差比数列” ,可用错项相减的方法求和。 解析: (1)易求得 an (2)由(1)得 bn

? 2n
? 2nx n (Ⅰ)则

? 2nxn 令 sn ? 2 x ? 4 x 2 ? 6 x3 ?

xsn ? 2x2 ? 4x3 ?

(注意错过一位再相减)得 ? 2 ? n ? 1? xn ? 2nxn?1 (Ⅱ)用(Ⅰ)减去(Ⅱ)
n?1

?1 ? x? sn ? 2x ? 2x

2

? 2x ?
3

? 2x ? 2nx
n

n ? 2 ? x ?1 ? x ? ? 当 x ? 1 sn ? ? nx n?1 ? 当 1? x ? 1? x ? ? ?

x ? 1 时 sn ? 2 ? 4 ? 6 ?
综上可得:

? 2n ? n ? n ? 1?

n ? 2 ? x ?1 ? x ? ? 当 x ? 1 sn ? ? nx n?1 ? 当 x ? 1 时 sn ? 2 ? 4 ? 6 ? 1? x ? 1? x ? ? ?

? 2n ? n ? n ? 1?

【知识点归类点拔】一般情况下对于数列

?cn ? 有 cn ? an bn 其中数列 ?an ? 和 ?bn ? 分别为等差数列和等

比数列,则其前 n 项和可通过在原数列的每一项的基础上都乘上等比数列的公比再错过一项相减的方法来 求解,实际上课本上等比数列的求和公式就是这种情况的特例。 【练 16】已知 un 求数列

? an ? an?1b ? an?2b2 ?

? abn?1 ? bn ? n ? N ? , a ? 0, b ? 0 ? 当 a ? b 时,

?an ? 的前 n 项和 sn
? 1 时 sn

答案: a

? n ? 1? a n?2 ? ? n ? 2 ? a n?1 ? a 2 ? 2a ? 当 a ? 1 时 sn 2 ?1 ? a ?

?

n ? n ? 3? 2

.

【易错点 17】不能根据数列的通项的特点寻找相应的求和方法,在应用裂项求和方法时对裂项后抵消项的 规律不清,导致多项或少项。 13

例 17、求 S n

1 1 1 1 ? ??? . ? ? 1 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ??? n

【易错点分析】本题解答时一方面若不从通项入手分析各项的特点就很难找到解题突破口,其次在裂项抵 消中间项的过程中,对消去哪些项剩余哪些项规律不清而导致解题失误。 解:由等差数列的前 n 项和公式得 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n

?

n(n ? 1) 2

,∴

1 1 1 1 2 1 1 ?, 就分别得到 , , ?, , ? ? 2( ? ) ,n 取 1 ,2 ,3 , 1 1? 2 1? 2 ? 3 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n n(n ? 1) n n ?1
∴ Sn

? 2(1 ? 1 ) ? 2( 1 ? 1 ) ? 2( 1 ? 1 ) ? ? ? 2( 1 ? 1 )
2 2 3 3 4 n n ?1

? 2(1 ?

1 2n )? . n ?1 n ?1

【知识归类点拔】 “裂项法”有两个特点,一是每个分式的分子相同;二是每项的分母都是两个数(也可三 个或更多)相乘,且这两个数的第一个数是前一项的第二个数,如果不具备这些特点,就要进行转化。同 是要明确消项的规律一般情况下剩余项是前后对称的。常见的变形题除本题外,还有其它形式,例如:求

1 1 1 1 ? 2 ? 2 ??? 2 ,方法还是抓通项,即 1 ?2 2 ?4 3 ?6 n ? 2n
2

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) ,问题会很容易解决。另外还有一些类似“裂项法”的题目, n ? 2n n(n ? 2) 2 n n ? 2
2

如: a n

?

1 n ? n ?1

,求其前 n 项和,可通过分母有理化的方法解决。数列求和的常用方法:公式

法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。 【练 17】求和 S n

?

22 ? 1 42 ? 1 62 ? 1 (2n) 2 ? 1 + + +?+ . 22 ? 1 42 ?1 62 ? 1 (2n) 2 ? 1

答案: S n

1 1 1 1 1 1 1 1 2n ? 1? ? ?1? ? ?1? ? ? ? ? 1? ? =n ? . 1 3 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1

【易错点 18】易由特殊性代替一般性误将必要条件当做充分条件或充要条件使用,缺乏严谨的逻辑思维。 例 18、 (2004 年高考数学江苏卷,20)设无穷等差数列{an}的前 n 项和为 Sn. 3 (Ⅰ)若首项 a1 ? ,公差 d ? 1 ,求满足 S 2 ? (S k ) 2 的正整数 k; 2 k (Ⅱ)求所有的无穷等差数列{an},使得对于一切正整数 k 都有 S 时极易根据条件“对于一切正整数 k 都有 S
k2

? (S k ) 2 成立.

【易错点分析】 本小题主要考查数列的基本知识, 以及运用数学知识分析和解决问题的能力.学生在解第(Ⅱ)
k2

? (S k ) 2 成立”这句话将 k 取两个特殊值确定出等差数

列的首项和公差,但没有认识到求解出的等差数列仅是对已知条件成立的必要条件,但不是条件成立 的充分条件。还应进一步的由特殊到一般。 解: (I)当 a1 由S

?

3 n(n ? 1) 3 n(n ? 1) 1 2 , d ? 1 时 S n ? na1 ? d ? n? ? n ?n 2 2 2 2 2
1 4 1 k ? k 2 ? ( k 2 ? k ) 2 ,即 2 2
n2

k2

? (S k ) 2 , 得

1 k 3 ( k ? 1) ? 0 又 k ? 0, 所以k ? 4 . 4

(II)设数列{an}的公差为 d,则在 S

? (S n ) 2 中分别取 k=1,2,得

14

?a1 ? a12 , ? ( 1) 即? 4?3 2 ?1 2 d ? (2a1 ? d) ?4a1 ? ( 2) 2 2 ? 由(1)得 a1 ? 0或a1 ? 1. 当 a1 ? 0时, 代入(2)得 d ? 0或d ? 6, 2 若 a1 ? 0, d ? 0, 则an ? 0, S n ? 0, 从而S k ? (S k ) 成立 ,
2 ? ?S1 ? ( S1 ) , ? 2 ? ?S 4 ? ( S 2 )

若 a1 若 a1

2 ? 0, d ? 6, 则an ? 6(n ? 1),由S3 ? 18, (S3 ) 2 ? 324, S n ? 216 知 s9 ? (S3 ) , 故所得

数列不符合题意.当 a1

? 1时, 代入(2)得

4 ? 6d ? (2 ? d ) 2 , 解得d ? 0或d ? 2

? 1, d ? 0, 则an ? 1, Sn ? n, 从而Sk 2 ? (Sk ) 2 成立;

若 a1 ? 1, d ? 2, 则an ? 2n ? 1, S n ? 1 ? 3 ? ? ? (2n ? 1) ? n 2 , 从而S ? (S n ) 2 成立 . 综上,共有 3 个满足条件的无穷等差数列: ①{an} : an=0,即 0,0,0,?;②{an} : an=1,即 1,1,1,?; ③{an} : an=2n-1,即 1,3,5,?, 【知识点归类点拔】事实上, “条件中使得对于一切正整数 k 都有 S
k2

? (S k ) 2 成立.”就等价于关于 k 的方

程的解是一切正整数又转化为关于 k 的方程的各项系数同时为零,于是本题也可采用这程等价转化的思想 解答,这样做就能避免因忽视充分性的检验而犯下的逻辑错误。在上述解法中一定要注意这种特殊与一般 的关系。 【练 18】 (1)已知数列

?cn ? ,其中 cn ? 2n ? 3n ,且数列 ?cn?1 ? pcn ? 为等比数列.求常数 p

答案:p=2 或 p=3(提示可令 n=1,2,3 根据等比中项的性质建立关于 p 的方程,再说明 p 值对任意自然数 n 都成立) 【易错点 19】用判别式判定方程解的个数(或交点的个数)时,易忽略讨论二次项的系数是否为0.尤其 是直线与圆锥曲线相交时更易忽略. 例 19、已知双曲线 x
2

? y 2 ? 4 ,直线 y ? k ? x ? 1? ,讨论直线与双曲线公共点的个数

【易错点分析】讨论直线与曲线的位置关系,一般将直线与曲线的方程联立,组成方程组,方程组有几解, 则直线与曲线就有几个交点,但在消元后转化为关于 x 或 y 的方程后,易忽视对方程的种类进行讨论而 主观的误认为方程就是二次方程只利用判别式解答。 解析: 联立方程组 ? 即k

? ? y ? k ? x ? 1? 2 2 2 2 2 消去 y 得到 ?1 ? k ? x ? 2k x ? k ? 4 ? 0(1) 当 1 ? k ? 0 时, 2 2 ? ?x ? y ? 4

? ?1 ,方程为关于 x 的一次方程,此时方程组只有解,即直线与双曲线只有一个交点。 (2)当

2 ? 2 3 ?1 ? k ? 0 时即 k ? ? ,方程组只有一解,故直线与双曲线有一个交点(3)当 ? 2 3 ? ? 4 4 ? 3 k ? 0 ? ? ? ?
2 ? 2 3 2 3 ?1 ? k ? 0 ?k? 时,方程组有两个交点此时 ? 且 k ? ?1 。 (4)当 ? 2 3 3 ? ? 4 4 ? 3 k ? 0 ? ? ? ?

2 ? 2 3 2 3 ?1 ? k ? 0 时即 k ? 或k ? ? 时方程组无解此时直线与双曲线无交点。 ? 2 3 3 ? ? 4 4 ? 3 k ? 0 ? ? ? ?

综上知当 k

? ?1 或 k ? ?

2 3 2 3 2 3 时直线与双曲线只有一个交点,当 ? 且 k ? ?1 。时 ?k? 3 3 3 ? 2 3 2 3 或k ? ? 时方程组无解此时直线与双曲线无交点。 3 3
15

直线与双曲线有两个交点,当 k

【知识点归类点拔】判断直线与双曲线的位置关系有两种方法:一种代数方法即判断方程组解的个数对应 于直线与双曲线的交点个数另一种方法借助于渐进线的性质利用数形结合的方法解答,并且这两种方法 的对应关系如下上题中的第一种情况对应于直线与双曲线的渐进线平行,此时叫做直线与双曲线相交但 只有一个公共点,通过这一点也说明直线与双曲线只有一个公共点是直线与双曲线相切的必要但不充分 条件。第二种情况对应于直线与双曲线相切。通过本题可以加深体会这种数与形的统一。

x2 ? y 2 ? 1 ,双曲线 c2 的左右焦点分别为 c1 的左右顶点,而 c2 的 【练 19】 (1)已知椭圆 c1 的方程为 4
左右顶点分别是 c1 的左右焦点。 (1 ) 求双曲线的方程 (2) 若直线 l : 恒有两个不同的交点,且与 c 2 的两个交点 A 和 B 满足 lOA ? OB

y ? kx ? 2 与椭圆 c1 及双曲线 c2
? 6 ,其中 O 为原点,求 k 的取值范
?1 3? ? ?2, 3 ? ? ? ? ? 13 ? ? ? 15 ,1? ? ? ?

围。答案: (1)

x2 ? ? ? ? ? y 2 ? 1 (2) ? ?1, ? 13 ? ? ? 3 , ? 1 ? ? ? ? 3 15 ? ? 3 2? ? ?
2

(2)已知双曲线C: ,过点P(1,1)作直线l, 使l与C有且只有一个公共点,则满足上述条件的直线l共有 ____条。答案:4条(可知kl存在时,令l: y-1=k(x-1)代入 x (1-k )-4=0,∴
2 2

y2 ? 1 中整理有(4-k )x +2k(k-1)x4 5 当4-k =0即k=±2时,有一个公共点;当k≠±2时,由Δ =0有 k ? ,有一个切点另:当k 2 ?
2 2

l

不存在时,x=1也和曲线C有一个切点∴综上,共有4条满足条件的直线) 【易错点 20】易遗忘关于 sin ? 和 cos ? 齐次式的处理方法。

cos ? ? sin ? 2 2 ; (2) sin ? ? sin ? . cos? ? 2 cos ? 的值. cos ? ? sin ? 2 2 【思维分析】将式子转化为正切如利用 1 ? sin ? ? cos ? 可将(2)式分子分母除去 sin ? 即可。 sin ? 1? cos? ? sin ? cos? ? 1 ? tan? ? 1 ? 2 ? ?3 ? 2 2 ; 解: (1) ? sin ? 1 ? tan? 1 ? 2 cos? ? sin ? 1? cos? sin 2 ? ? sin ? cos? ? 2 cos2 ? 2 2 (2) sin ? ? sin ? cos? ? 2 cos ? ? sin 2 ? ? cos2 ? sin 2 ? sin ? ? ?2 2 2? 2 ?2 4? 2 . ? cos ? 2 cos? ? ? sin ? 2 ?1 3 ?1 cos2 ?
例 20、已知 tan?

? 2 ,求(1)

【知识点归类点拔】利用齐次式的结构特点(如果不具备,通过构造的办法得到) ,进行弦、切互化,就 会使解题过程简化。 (1 ? sin
2

? ? cos2 ? ? sec2 ? ? tan 2 ? ? tan ? cot ?
? ?

这些统称为 1 的代换) 常数 “1”的种种代换有着广泛的应用. 【练 20】 .已知 6 sin 2 ?

? sin ? cos ? ? 2 cos 2 ? ? 0,? ? [ , ? ], 求 sin( 2? ? ) 的值. 2 3
tan ? ? 3 ?1 ? tan 2 ? ? 2 ) 1 ? tan 2 ?

6 5 3 (原式可化为 6 tan2 ? ? tan? ? 2 ? 0 , sin ? 2? ? ? ? ? 答案: ? ? ? ? 3? ? 13 26

16

【易错点 21】解答数列应用题,审题不严易将有关数列的第 n 项与数列的前 n 项和混淆导致错误解答。 例 21、如果能将一张厚度为 0.05mm 的报纸对拆,再对拆....对拆 50 次后,报纸的厚度是多少?你相信这时 报纸的厚度可以在地球和月球之间建一座桥吗?(已知地球与月球的距离约为 4 ? 10 米)
8

【易错点分析】 对拆 50 次后,报纸的厚度应理解一等比数列的第 n 项,易误理解为是比等比数列的前 n 项和。

解析:对拆一次厚度增加为原来的一倍,设每次对拆厚度构成数列 an ,则数列 an 是以 a1 =0.05 ?10 米
3

为首项,公比为 2 的等比数列。从而对拆 50 次后纸的厚度是此等比数列的第 51 项,利用等比数列的通项 公式易得 a51=0.05?10 ?2 =5.63?10 ,而地球和月球间的距离为 4?10
-3 50 10

8

<5.63?1010 故可建一

座桥。 【知识点归类点拔】 以数列为数学模型的应用题曾是高考考查的热点内容之一,其中有很多问题都是涉及 到等差或者等比数列的前 n 项和或第 n 项的问题,在审题过程中一定要将两者区分开来。 【练 21】从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业,根据规划,

1 ,本年度当地旅游业收入估计为 400 万元,由于该项 5 1 建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加 . 4
本年度投入 800 万元,以后每年投入将比上年减少 (1)设 n 年内(本年度为第一年)总投入为 an 万元,旅游业总收入为 bn 万元,写出 an,bn 的表达式; (2)至少经过几年,旅游业的总收入才能超过总投入

(1)an=800+800?(1-

1 1 n-1 n 1 k-1 4 n )+?+800?(1- ) = 800?(1- ) =4000?[1-( ) ] 5 5 5 5 k ?1

?

bn=400+400?(1+

1 1 - n 5 - 5 )+?+400?(1+ )k 1= 400?( )k 1=1600?[( )n-1] 4 4 4 4 k ?1

?

(2)至少经过 5 年,旅游业的总收入才能超过总投入 【易错点 22】单位圆中的三角函数线在解题中一方面学生易对此知识遗忘,应用意识不强,另一方面易将 角的三角函数值所对应的三角函数线与线段的长度二者等同起来,产生概念性的错误。 例 21、下列命题正确的是() A、 ? 、 ? 都是第二象限角,若 sin ?

? sin ?

,则 tan ?

? tan ?

B、 ? 、 ? 都是第三象限角,若

cos ? ? cos ? ,则 sin ? ? sin ? tan ? ? tan ?

C、 ? 、 ? 都是第四象限角,若 sin ?

? sin ?

,则 。

D、 ? 、 ? 都是第一象限角,若 cos ?

? cos ? ,则 sin ? ? sin ?

【易错点分析】学生在解答此题时易出现如下错误:(1)将象限角简单理解为锐角或钝角或 270 到 360 度 之间的角。(2)思维转向利用三角函数的单调性,没有应用三角函数线比较两角三角函数值大小的意识 而使思维受阻。 17

解析:A、由三角函数易知此时角 ? 的正切线的数量比角 ? 的正切线的数量要小即 tan ? 理可知 sin ?

? tan ?

B、同

? sin ? C、知满足条件的角 ? 的正切线的数量比角 ?
。正确。D、同理可知应为 sin ?

的正切线的数量要大即

tan ? ? tan ?

? sin ? 。

【知识点归类点拔】单位圆的三角函数线将抽象的角的三角函数值同直观的有向线段的数量对应起来,体 现了数形结合的数学思想,要注意一点的就是角的三角函数值是有向线段的数量而不是长度。三角函数 线在解三角不等式、比较角的同名函数值的大小、三角关系式的证明都有着广泛的应用并且在这些方面 有着一定的优越性。 例如利用三角函数线易知 ? 等。 【练 22】已知 sin ? A、 若 ? B、 若 ? 答案:D 【易错点 23】在利用三角函数的图象变换中的周期变换和相位变换解题时。易将 ? 和 ? 求错。

? ?? ? ? 0, ? ,sin ? ? ? ? tan ? ,sin ? ? cos? ? 1 ? 2?

? sin ?

,那么下列命题正确的是()

? ?

、都是第一象限角,则 cos ? 、都是第三象限角,则 cos ?

? cos ? B、若 ? ? ? cos ? D、若 ? ?

、都是第二象限角,则 tan ? 、都是第四象限角,则 tan ?

? tan ? ? tan ?

例 23.要得到函数

1 ?? ? y ? sin ? 2 x ? ? 的图象,只需将函数 y ? sin x 的图象() 2 3? ?

? 个单位。 3 1 ? B、 先将每个 x 值缩小到原来的 倍,y 值不变,再向左平移 个单位。 4 3 ? C、 先把每个 x 值扩大到原来的 4 倍,y 值不变,再向左平移个 单位。 6 1 ? D、 先把每个 x 值缩小到原来的 倍,y 值不变,再向右平移 个单位。 4 6 1 1 【易错点分析】 y ? sin x 变换成 y ? sin 2 x 是把每个 x 值缩小到原来的 2 4
A、 先将每个 x 值扩大到原来的 4 倍,y 值不变,再向右平移 大到原来的倍,这样就误选 A 或 C,再把

倍,有的同学误认为是扩

?? ? y ? sin 2 x 平移到 y ? sin ? 2 x ? ? 有的同学平移方向错了, 3? ?

有的同学平移的单位误认为是

? 。 3

18

解析:由

1 ?? ? y ? sin x 变形为 y ? sin ? 2 x ? ? 常见有两种变换方式,一种先进行周期变换,即将 2 3? ?
倍得到函数

1 1 y ? sin x 的图象上各点的纵坐标不变,横坐标变为原来的 2 4
再将函数

y ? 2sin 2 x 的图象,

y ? 2sin 2 x 的图象纵坐标不变,横坐标向右平移

? 6

单位。即得函数

?? ? y ? sin ? 2 x ? ? 。 3? ?
个单位,得到

或者先进行相位变换,即将

1 2? y ? sin x 的图象上各点的纵坐标不变,横坐标向右平移 2 3

函数

1? 2? y ? sin ? x ? 2? 3

?? ? ?1 ? ? sin ? x ? ? 的图象,再将其横坐标变为原来的 4 倍即得即得函数 3? ? ?2

?? ? y ? sin ? 2 x ? ? 的图象。 3? ?
【知识点归类点拔】利用图角变换作图是作出函数图象的一种重要的方法,一般地由

y ? sin x 得到

y ? Asin ? wx ? ? ? 的图象有如下两种思路:一先进行振幅变换即由 y ? sin x 横坐标不变,纵坐标变
为原来的 A 倍得到

y ? A sin x , 再进行周期变换即由 y ? A sin x 纵坐标不变, 横坐标变为原来的

1

?

倍,得到

y ? A sin wx ,再进行相位变换即由 y ? A sin wx 横坐标向左(右)平移

? ?

个单位,即



?? ? y ? A sin ? ? x ? ? ? A sin ?? x ? ? ? ,另种就是先进行了振幅变换后,再进行相位变换即由 ?? ?
个单位,即得到函数

y ? A sin x 向左(右)平移 ?
原来的

y ? Asin ? x ? ? ? 的图象,再将其横坐标变为

1

?

倍即得

不论哪一种变换都要注意一点就是不论哪一种变换都是对纯粹 y ? Asin ? wx ? ? ? 。

的变量 x 来说的。 【练 23】要得到的图象,只需将函数的图象上所有的点的 A、 横坐标缩短为原来的

(纵坐标不变),再向左平移 ? 个单位长度。C、横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变),再向左 平移 ? 个单位长度。D、横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变),再向右平移 ? 个单位长度。 答案:C 【易错点 24】没有挖掘题目中的确隐含条件,忽视对角的范围的限制而造成增解现象。 例 24、已知 ? ?

1 2

倍(纵坐标不变),再向左平移 ? 个单位长度。B、横坐标缩短为原来的

1 2



? 0,? ? , sin ? ? cos ? ? 13 求 tan ? 的值。

7

19

7 ,利用 sin ? ? cos? ? ? 1 ? 2sin ? cos? 可 13 解得 sin ? ? cos ? 的值,再通过解方程组的方法即可解得 sin ? 、 cos? 的值。但在解题过程中易忽视 sin ? cos ? ? 0 这个隐含条件来确定角 ? 范围,主观认为 sin ? ? cos ? 的值可正可负从而造成增解。 7 120 ? 0 ,又由于 ? ? ? 0,? ? ,故有 解析:据已知 sin ? ? cos ? ? (1)有 2sin ? cos ? ? ? 13 169 17 sin ? ? 0,cos ? ? 0 ,从而 sin ? ? cos ? ? 0 即 sin ? ? cos ? ? 1 ? 2sin ? cos ? ? (2) 13 12 5 12 , cos ? ? 联立(1)(2)可得 sin ? ? ,可得 tan ? ? 。 13 13 5
【易错点分析】本题可依据条件 sin ?

? cos ? ?

【知识点归类点拔】在三角函数的化简求值过程中,角的范围的确定一直是其重点和难点,在解题过程中 要注意在已有条件的基础上挖掘隐含条件如:结合角的三角函数值的符号、三角形中各内角均在

? 0,? ? 区

间内、与已知角的三角函数值的大小比较结合三角函数的单调性等。本题中实际上由单位圆中的三角函数 线可知若 ?

?? ? ? ?? ? ? 0, ? 则必有 sin ? ? cos ? ? 1 ,故必有 ? ? ? , ? ? 。 ?2 ? ? 2?
1 ? cos? ? ,? ? ? 0, ? ? ,则 cot ? 5
的值是 。

【练 24】已知 sin ? 答案: ?

3 4

【易错点 25】根据已知条件确定角的大小,没有通过确定角的三角函数值再求角的意识或确定角的三角函 数名称不适当造成错解。 例 25、若 sin ?

?

5 10 ,sin ? ? ,且 ? 、 ? 5 10
??

均为锐角,求 ?

??

的值。

【易错点分析】本题在解答过程中,若求 ?

的正弦,这时由于正弦函数在

? 0,? ? 区间内不单调故满
??
的余弦就不易

足条件的角有两个, 两个是否都满足还需进一步检验这就给解答带来了困难, 但若求 ? 出错,这是因为余弦函数在

? 0,? ? 内单调,满足条件的角唯一。
均为锐角知解析: 由 sin ?

解析: 由 sin ?

?

5 10 ? ,sin ? ? 且? 、 5 10 ?

?

5 10 ,sin ? ? 且? 、 5 10

?

均为锐角知 cos ? 均为锐角即 ?

2 5 3 10 2 5 3 10 5 10 2 , cos ? ? ,则 cos ?? ? ? ? ? 由 ? ? ? ? 5 10 5 10 5 10 2

? 、?

? ? ? ? 0,? ? 故 ? ? ? ? ?

【知识点归类点拔】根据已知条件确定角的大小,一定要转化为确定该角的某个三角函数值,再根据此三 角函数值确定角这是求角的必然步骤,在这里要注意两点一就是要结合角的范围选择合适的三角函数名称 同时要注意尽量用已知角表示待求角,这就需要一定的角的变换技巧如: 2?

? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? 等。

20

二是依据三角函数值求角时要注意确定角的范围的技巧。 【练 25】(1)在三角形 ABC 中,已知 sin 答案: arccos

3 5 A ? , cos B ? ,求三角形的内角 C 的大小。 5 13

16 (提示确定已知角的余弦值,并结合已知条件确定角 A 的范围) 65

(2)已知 cos(α +

3 ? ? )= , ≤α 4 5 2
??



3? 2

,求 cos(2α +

? )的值. 4

答案: cos ? 2? +

? ?

? ? ?? ?? 31 2 ? ? cos ?2 ?? ? ? ? ? =- 4? 4 4 50 ? ? ? ?

【易错点 26】对正弦型函数

y ? Asin ?? x ? ? ? 及余弦型函数 y ? A cos ?? x ? ? ? 的性质:如图象、

对称轴、对称中心易遗忘或没有深刻理解其意义。 例 26、如果函数

y ? sin 2 x ? a cos 2 x 的图象关于直线 x ? ?
C.1 D.-1

?
8

对称,那么 a 等于(



A.

2

B.-

2

【易错点分析】函数

y ? Asin ?? x ? ? ? 的对称轴一定经过图象的波峰顶或波谷底,且与 y 轴平行,而
??

对称中心是图象与 x 轴的交点,学生对函数的对称性不理解误认为当 x 解析: (法一)函数的解析式可化为

?
8

时,y=0,导致解答出错。

y ? a 2 ? 1sin ? 2 x ? ? ? ,故 y

的最大值为

a2 ? 1 ,依题意,

直线 x

??

?
8

是函数的对称轴,则它通过函数的最大值或最小值点即

? ?? ? ?? sin ? ? ? ? a cos ? ? ? ? 4? ? 4?

? a2 ? 1 ,解得 a ? ?1 .故选 D
(法二)依题意函数为

y ? a 2 ? 1sin ? 2 x ? arctan a ? ,直线 x ? ?

?
8

是函数的对称轴,故有

3? ? ? ?? 2 ? ? ? ? ? arctan a ? k? ? , k ? z ,即: arctan a ? k? ? 4 2 ? 8?
故 arctan a

,而 arctan a ? ? ?

? ? ?? , ? ? 2 2?

??

?
4

,从而 a

? ?1 故选 D.

(法三)若函数关于直线 x

??

?
8

是函数的对称则必有

? ?? f ? 0 ? ? f ? ? ? ,代入即得 a ? ?1 。 ? 4?

【知识点归类点拔】对于正弦型函数

y ? Asin ?? x ? ? ? 及余弦型函数 y ? A cos ?? x ? ? ? 它们有无

穷多条对称轴及无数多个对称中心, 它们的意义是分别使得函数取得最值的 x 值和使得函数值为零的 x 值, 这是它们的几何和代数特征。希望同学们认真学习本题的三种解法根据具体问题的不同灵活处理。

21

【练 26】 (1)已知函数 f ( x) ? sin(?x ? ? )(? ? 0,0 ? ? ? ? ) 上 R 上的偶函数,其图象关于点 M (

3? ,0) 4

] 上是单调函数,求 ? 2 ? 2 ,? ? 或 2 。 答案: ? ? 2 3
对称,且在区间 [0, ( 2 )设函数的

?

和ω 的值.

f ? x ? ? sin ? 2x ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? , y ? f ? x ? 图象的一条对称轴是直线
3? 4

x?

?
8

,求 ?

答案: ? = ?

【易错点 27】利用正弦定理解三角形时,若已知三角形的两边及其一边的对角解三角形时,易忽视三角形 解的个数。 例 27、在 ?ABC 中, B ? 30
?

, AB ? 2 3, AC ? 2 。求 ?ABC 的面积

【易错点分析】根据三角形面积公式,只需利用正弦定理确定三角形的内角 C,则相应的三角形内角 A 即 可确定再利用 s?

?

1 bc sin A 即可求得。 但由于正弦函数在区间 ? 0, ? ? 内不严格格单调所以满足条件的 2
AB AC 2 3 2 ? 即 ? sin C sin B sin C sin 30?

角可能不唯一,这时要借助已知条件加以检验,务必做到不漏解、不多解。 得 sin C

解析:根据正弦定理知:

?

3 2

,由于

AB sin 30? ? AC ? AB 即满足条件的三角形有两个故 C ? 60? 或 120? .则 A ? 30? 或 90? 故相应
的三角形面积为 s

?

1 1 ? 2 3 ? 2 ? sin 30? ? 3 或 ? 2 3 ? 2 ? 2 3 . 2 2

【知识点归类点拔】正弦定理和余弦定理是解三角形的两个重要工具,它沟通了三角形中的边角之间的内 在联系,正弦定理能够解决两类问题(1)已知两角及其一边,求其它的边和角。这时有且只有一解。 (2) 已知两边和其中一边的对角,求其它的边和角,这是由于正弦函数在在区间

? 0,? ? 内不严格格单调,此时

三角形解的情况可能是无解、一解、两解,可通过几何法来作出判断三角形解的个数。如:在 ?ABC 中, 已知 a,b 和 A 解的情况如下:

(1)

当 A 为锐角

(2)若 A 为直角或钝角

22

【练 27】 (2001 全国)如果满足 ?ABC 范围是()A、 8 答案:D

? 60? , AC ? 2 , BC ? k 的三角表恰有一个那么 k 的取值

3 B、 0 ? k ? 12 C、 k ? 12 D、 0 ? k ? 12 或 k ? 8 3

【易错点 28】 三角形中的三角函数问题。 对三角变换同三角形边、 角之间知识的结合的综合应用程度不够。 例 28、 (1)已知在△ABC 中,sinA(sinB+cosB)-sinC=0,sinB+cos2C=0,求角 A、B、C 的大小. 【易错点分析】本题在解答过程中若忽视三角形中三内角的联系及三角形各内角大小范围的限制,易使思 维受阻或解答出现增解现象。 解法一 所以 sin 由 sin

A(sin B ? cos B) ? sin C ? 0 得 sin A sin B ? sin A cos B ? sin( A ? B) ? 0.

A sin B ? sin A cos B ? sin A cos B ? cos A sin B ? 0. 即 sin B(sin A ? cos A) ? 0. B ? 0, 从而 cos A ? sin A. 由 A ? (0, ? ), 知 A ?

因为 B ? (0, ? ), 所以 sin

? 3 . 从而 B ? C ? ? . 4 4

由 sin B ? cos 2C ? 0得 sin B ? cos 2( 由此得 cos

3 ? ? B) ? 0. 即 sin B ? sin 2B ? 0.亦即sin B ? 2 sin B cos B ? 0. 4

1 ? 5? ? ? 5? , B ? ,C ? . 所以 A ? , B ? , C ? . 2 3 12 4 3 12 3? 解法二:由 sin B ? cos 2C ? 0得 sin B ? ? cos 2C ? sin( ? 2C ). 由 0 ? B 、 c ? ? ,所以 B?
2

B?

3? ? 3? ? ? 2C或B ? 2C ? . 即 B ? 2C ? 或2C ? B ? . 由 2 2 2 2

sin A(sin B ? cos B) ? sin C ? 0 得 sin A sin B ? sin A cos B ? sin( A ? B) ? 0.
所以 sin

A sin B ? sin A cos B ? sin A cos B ? cos A sin B ? 0. ? 0 ,所以 cos A ? sin A. 由 A ? (0, ? ), 知A ?

即 sin B(sin A ? cos A)

? 0.

3 3? . 从而 B ? C ? ? ,知 B+2C= 不 4 4 2 1 ? 5? ? ? 5? ,C ? . 所以 A ? , B ? , C ? . 合要求.再由 2C ? B ? ? ,得 B ? 2 3 12 4 3 12 cos B b ?? . (Ⅰ)求角 B 的大小(Ⅱ) 2、在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 cos C 2a ? c
因为 sin B 若b

?

? 13, a ? c ? 4 ,求△ABC 的面积.
a b c ? ? ? 2 R 得 a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C. 将 sin A sin B sin C

【思维分析】根据正弦定理和余弦定理将条件化为三角形边的关系或角的关系解答。 (Ⅰ)解法一:由正弦定理

上式代入已知

cos B b cos B sin B ?? 得 ?? .即 cos C 2a ? c cos C 2 sin A ? sin C

2 sin A cos B ? sin C cos B ? cos C sin B ? 0. 2 sin A cos B ? sin(B ? C ) ? 0. 故 A+B+C= ? ,
? sin(B ? C ) ? sin A. ? 2 sin A cos B ? sin A ? 0. ? sin A ? 0,? cos B ? ? 1 . ? B 为三角形的内
2

23

角,? B ? 2 ? .

3

解 法 二 : 由 余 弦 定 理 得 cos B ?

a2 ? c2 ? b2 b2 ? c2 ? a2 , cosC ? 2ac 2bc

将 上 式 代 入

cos B b a 2 ? c 2 ? b2 2ab b ?? 得 ? 2 2 2 ?? . 整理得 a 2 cos C 2a ? c 2ac a ?b ?c 2a ? c

? c 2 ? b 2 ? ?ac.

? cos B ?

2 a 2 ? c 2 ? b 2 ? ac 1 ? ? ? . ? B 为三角形的内角,? B ? ? . 3 2ac 2ac 2 2 2 2 2 (Ⅱ)将 b ? 13 , a ? c ? 4, B ? ? 代入余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B 得 3 1 1 3 b 2 ? (a ? c) 2 ? 2ac ? 2ac cos B,?13 ? 16 ? 2ac (1 ? ). ? ac ? 3. ? S ?ABC ? ac sin B ? 3. 2 2 4
【知识点归类点拔】三角形中的三角函数问题一直是高考的热点内容之一。对正余弦定理的考查主要涉及 三角形的边角互化(如判断三角形的形状等,利用正、余弦定理将条件中含有的边和角的关系转化为边或 角的关系是解三角形的常规思路) ,三角形内的三角函数求值、三角恒等式的证明、三角形外接圆的半径等 都体现了三角函数知识与三角形知识的交汇,体现了高考命题的原则。 【练 28】 (1)在 ?ABC 中,a,b,c 分别是 ?A,?B,?C 的对边长,已知 a,b,c 成等比数列,且

a 2 ? c 2 ? ac ? bc ,求 ? A 的大小及
答案: ?A ? 60 ,
?

b sin B c

的值。

b sin B 3 ? c 2
c 1 ? ? 3 。求∠A 和 tan B 的值。 b 2

(2)(2005 天津)在△ABC 中,∠A、∠B、∠C 所对的边长分别为 a、b、c,设 a、b、c 满足条 件b
2

? c 2 ? bc ? a 2 和
?

答案: ?A ? 60 , tan B

?

1 2

【易错点 29】含参分式不等式的解法。易对分类讨论的标准把握不准,分类讨论达不到不重不漏的目的。 例 29、解关于 x 的不等式

a( x ? 1) >1(a≠1). x?2

【易错点分析】将不等式化为关于 x 的一元二次不等式后,忽视对二次项系数的正负的讨论,导致错解。

(a ? 1) x ? (2 ? a) >0,即[(a-1)x+(2-a)](x-2)>0. x?2 a?2 a?2 a?2 当 a>1 时, 原不等式与(x- )(x-2)>0 同解.若 ≥2, 即 0≤a<1 时, 原不等式无解; 若 a ?1 a ?1 a ?1 a?2 <2,即 a<0 或 a>1,于是 a>1 时原不等式的解为(-∞, )∪(2,+∞). a ?1 a?2 a?2 当 a<1 时,若 a<0,解集为( ,2);若 0<a<1,解集为(2, ) a ?1 a ?1 a?2 a?2 综上所述:当 a>1 时解集为(-∞, )∪(2,+∞);当 0<a<1 时,解集为(2, );当 a=0 时, a ?1 a ?1 a?2 解集为 ? ;当 a<0 时,解集为( ,2). a ?1
解:原不等式可化为: 24

【知识点分类点拔】解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求,随着高考命题原则向能力立 意的进一步转化,对解不等式的考查将会更是热点,解不等式需要注意下面几个问题: (1)熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法. (2)掌握用序轴标根法解高次不等式和分式不等式,特别要注意因式的处理方法. (3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式,指数和对数不等式的几种基本类型的解法. (4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法. (5)在解不等式的过程中, 要充分运用自己的分析能力, 把原不等式等价地转化为易解的不等式.(6)对于含字 母的不等式,要能按照正确的分类标准,进行分类讨论.

【练 29】已知函数

f ( x) ?

x2 (a, b 为常数),且方程 f ( x) ? x ? 12 ? 0 有两个实根为 ax ? b

x1 ? 3, x2 ? 4.
(1)求函数

f ( x) 的解析式; (2)设 k ? 1 ,解关于 x 的不等式: f ( x ) ?

(k ? 1) x ? k 2? x

答案:

x2 f ( x) ? ( x ? 2).① 当 1 ? k ? 2 时 , 解 集 为 (1, k ) (2, ??); ② 当 k ? 2 时 , 不 等 式 为 2? x

解集为 (1, 2) (2, ??); ③当 k ? 2 时,解集为 (1, 2) (k , ??). ( x ? 2)2 (x ? 1)? 0 【易错点 30】求函数的定义域与求函数值域错位 例 30、已知函数
2 2 ? f ? x ? ? lg ? ?? m ? 3m ? 2 ? x ? 2 ? m ? 1? x ? 5? (1)如果函数 f ? x ? 的定义域为

R 求实数 m 的取值范围。 (2)如果函数 【易错点分析】此题学生易忽视对 m
2

f ? x ? 的值域为 R 求实数 m 的取值范围。
? 3m ? 2 是否为零的讨论,而导致思维不全面而漏解。另一方面

对两个问题中定义域为 R 和值域为 R 的含义理解不透彻导致错解。 解析: (1)据题意知若函数的定义域为 R 即对任意的 x 值 成立,令 g 验证当 m

?m

2

? 3m ? 2 ? x 2 ? 2 ? m ? 1? x ? 5 ? 0 恒

? x ? ? ? m 2 ? 3m ? 2 ? x 2 ? 2 ? m ? 1? x ? 5 ,当 m2 ? 3m ? 2 =0 时,即 m ? 1 或 2 。经

? 1 时适合,当 m2 ? 3m ? 2 ? 0 时,据二次函数知识若对任意 x 值函数值大于零恒成立,只需

? m 2 ? 3m ? 2 ? 0 9 9 解之得 m ? 1 或 m ? 综上所知 m 的取值范围为 m ? 1 或 m ? 。 ? 4 4 ?? ? 0
(2)如果函数 数,令 g 当m

f ? x ? 的值域为 R 即对数的真数 ? m 2 ? 3m ? 2 ? x 2 ? 2 ? m ? 1? x ? 5 能取到任意的正

? x ? ? ? m 2 ? 3m ? 2 ? x 2 ? 2 ? m ? 1? x ? 5 当 m2 ? 3m ? 2 =0 时,即 m ? 1 或 2 。经验证

? 2 时适合,当 m2 ? 3m ? 2 ? 0 时,据二次函数知识知要使的函数值取得所有正值只需

? m 2 ? 3m ? 2 ? 0 9 9 解之得 2 ? m ? 综上可知满足题意的 m 的取值范围是 2 ? m ? 。 ? 4 4 ?? ? 0
25

【知识点归类点拔】对于二次型函数或二次型不等式若二次项系数含有字母,要注意对字母是否为零进行 讨论即函数是一次函数还是二次函数不等式是一次不等式还是二次不等式。同时通过本题的解析同学们要 认真体会这种函数与不等式二者在解题中的结合要通过二者的相互转化而获得解题的突破破口。再者本题 中函数的定义域和值域为 R 是两个不同的概念,前者是对任意的自变量 x 的值函数值恒正,后者是函数值 必须取遍所有的正值二者有本质上的区别。 【练 30】已知函数

f ? x? ?

?a

2

? 1? x2 ? 2 ? a ? 1? x ? 2 的定义域和值域分别为
? 1 或 a ? ?3 (2) ?3 ? a ? 1 或 a ? ?1

R 试分别确定满足

条件的 a 的取值范围。答案: (1 ) a 应用程度。

【易错点 31】不等式的证明方法。学生不能据已知条件选择相应的证明方法,达不到对各种证明方法的灵活

1 1 25 )(b+ )≥ . b a 4 1 1 【易错点分析】此题若直接应用重要不等式证明,显然 a+ 和 b+ 不能同时取得等号,本题可有如下证 b a
例 31、已知 a>0,b>0,且 a+b=1.求证:(a+ 明方法。 证法一:(分析综合法)欲证原式,即证 4(ab)2+4(a2+b2)-25ab+4≥0,即证 4(ab)2-33(ab)+8≥0,即证 ab

1 1 或 ab≥8.∵a>0,b>0,a+b=1,∴ab≥8 不可能成立∵1=a+b≥2 ab ,∴ab≤ ,从而得证. 4 4 1 1 1 1 证法二:(均值代换法)设 a= +t1,b= +t2.∵a+b=1,a>0,b>0,∴t1+t2=0,|t1|< ,|t2|< 2 2 2 2


1 1 1 1 2 2 ( ? t1 ) 2 ? 1 ( ? t 2 ) 2 ? 1 ( ? t1 ? t1 ? 1)( ? t 2 ? t 2 ? 1) 1 1 a2 ?1 b2 ?1 4 ? (a ? )(b ? ) ? ? ? 2 ? 2 ? 4 1 1 1 1 a b a b ? t1 ? t2 ( ? t1 )( ? t 2 ) 2 2 2 2 25 3 2 25 1 1 5 4 2 2 2 2 2 ? t2 ? t2 ( ? t1 ? t1 ? 1)( ? t 2 ? t 2 ? 1) ( ? t 2 ) ? t 2 25 4 ? 4 ? 4 ? 16 2 ? 16 ? . 1 1 1 1 4 2 2 2 ? t2 ? t2 ? t2 4 4 4 4
显然当且仅当 t=0,即 a=b=

1 时,等号成立. 2
ab ,∴ab≤

证法三:(比较法)∵a+b=1,a>0,b>0,∴a+b≥2

1 4

1 1 25 a 2 ? 1 b 2 ? 1 25 4a 2b 2 ? 33ab ? 8 (1 ? 4ab)(8 ? ab) (a ? )(b ? ) ? ? ? ? ? ? ?0 a b 4 a b 4 4ab 4ab 1 1 25 ? (a ? )(b ? ) ? a b 4 1 证法四:(综合法)∵a+b=1, a>0,b>0,∴a+b≥2 ab ,∴ab≤ . 4
25 ? ? (1 ? ab) 2 ? 1 ? ? ? 1 3 9 ? ? (1 ? ab) 2 ? 1 25 16 ?1 ? ab ? 1 ? ? ? (1 ? ab) 2 ? ? ? ? ?? 1 4 4 16 ? ab 4 ?4 ? ? ? ab ? ?
1 1 25 即(a ? )(b ? ) ? a b 4

26

证法五:(三角代换法)∵ a>0,b>0,a+b=1,故令 a=sin α ,b=cos α ,α ∈(0,

2

2

?
2

)

1 1 1 1 sin 4 ? ? cos4 ? ? 2 sin 2 ? cos2 ? ? 2 2 (a ? )(b ? ) ? (sin 2 ? ? )(cos ? ? ) ? a b sin 2 ? cos2 ? 4 sin 2 2? 4 ? 2 sin 2 2? ? 16 ? 25? (4 ? sin 2 ? ) 2 ? 16 ? 2 2 ? ? sin 2? ? 1,? 4 ? sin 2? ? 4 ? 1 ? 3. 1 ? 1 2 4 sin 2? ? ? 2 sin 2? 4 ? 2 2 (4 ? sin 2? ) 25 1 1 25 ? ? 即得(a ? )(b ? ) ? . 2 4 a b 4 4 sin 2?
【知识点归类点拔】1.不等式证明常用的方法有:比较法、综合法和分析法,它们是证明不等式的最基本 的方法.(1)比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤,变形的主要方向是因式分解、配方,判断过 程必须详细叙述;如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式,则考虑用判别式法证. (2)综合法是由因导果,而分析法是执果索因,两法相互转换,互相渗透,互为前提,充分运用这一辩证关 系,可以增加解题思路,开扩视野. 2.不等式证明还有一些常用的方法:换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等. 换元法主要有三角代换,均值代换两种,在应用换元法时,要注意代换的等价性.放缩性是不等式证明中最 重要的变形方法之一,放缩要有的放矢,目标可以从要证的结论中考查.有些不等式,从正面证如果不易说 清楚,可以考虑反证法.凡是含有“至少” “惟一”或含有其他否定词的命题,适宜用反证法. 证明不等式时,要依据题设、题目的特点和内在联系,选择适当的证明方法,要熟悉各种证法中的推理思 维,并掌握相应的步骤、技巧和语言特点.

【练 31】数列

?x ?由下列条件确定: x
n

1

? a ? 0, xn ?1 ?

1? a? ? xn ? ? ,n? N? ? ? 2? xn ?

(1)

证明:对于 n

? 2 总有 xn ? a ,(2)证明:对于 n ? 2 ,总有 xn ? xn?1 .

【易错点 32】函数与方程及不等式的联系与转化。学生不能明确和利用三者的关系在解题中相互转化寻找 解题思路。

例 32、 已知二次函数

1 ( )? ( x f ( x ) 满足 f ( ?1) ? 0 , 且 x ?f x 2
n

2 ? 1 )

对一切实数

x 恒成立. (1)



f (1) ; (2) 求 f ( x ) 的解析式; (3) 求证: ?
i ?1

1 2n ( n ? N ). ? f (k ) n ? 2

【易错点分析】对条件中的不等关系向等式关系的转化不知如何下手,没有将二次不等式与二次函数相互 转化的意识,解题找不到思路。

解: (1)由已知令

x ? 1 得: 1 ? f (1) ?

1 2 (1 ? 1) ? 1 ? f (1) ? 1. 2

(2)令

f ( x) ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) 由 f (?1) ? 0, f (1) ? 1 得:

27

1 1 1 1 1 ?a ? b ? c ? 0 ? b ? , c ? ? a 即 f ( x ) ? ax 2 ? x ? ? a 则 x ? f ( x ) ? ( x 2 ? 1) ? 2 2 2 2 2 ?a ? b ? c ? 1

对任意实数

x 恒成立就是

1 ? 2 1 ?ax ? x ? ? a ? 0 对任意实数恒成立,即: 2 2 ? ?(1 ? 2a ) x 2 ? x ? 2a ? 0 ?

? a ? 0,1 ? 2a ? 0 ? 1 1 1 2 1 1 1 2 ? ? ? 1 ? (2a ? ) ? 0 ? a ? , c ? 则 f ( x ) ? x ? x ? 4 4 4 2 4 2 ? 2 ? ? ? 2 ? (4a ? 1) ? 0
(3)由(2)知

f ( x) ?

1 ( x ? 1)2 4



1 4 4 ? ? 2 f (k ) ( k ? 1) (k ? 1)(k ? 2)
? 1 1 ? )? n?1 n? 2

n 1 1 1 1 1 1 1 ? 4( ? ) ?? ? 4( ? ? ? ? k ?1 k ? 2 2 3 3 4 i ?1 f ( k )

?

2n 故原不等式成立. n?2

【知识点归类点拔】函数与方程的思想方法是高中数学的重要数学思想方法函数思想,是指用函数的概念 和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想,是从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中 的条件转化为数学模型(方程、不等式、或方程与不等式的混合组) ,然后通过解方程(组)或不等式(组) 来使问题获解。有时,还实现函数与方程的互相转化、接轨,达到解决问题的目的。对于不等式恒成立, 引入新的参数化简了不等式后,构造二次函数利用函数的图像和单调性进行解决问题,其中也联系到了方 程无解,体现了方程思想和函数思想。一般地,我们在解题中要抓住二次函数及图像、二次不等式、二次 方程三者之间的紧密联系,将问题进行相互转化。 【练 32】已知二次函数

f ( x ) ? ax 2 ? bx ? c (a, b, c ? R) ,满足 f ( ?1) ? 0 ;且对任意实数 x 都
时有



f ( x) ? x ? 0 ; ,2 ) 当 x ? (0

f ( x) ?

( x ? 1)2 ,(1) 1 ) 求 f( 4

的值; (2) 证明 a

? 0, c ? 0;

(3)当 (1)

x ? [?1,1] 时,函数 g( x ) ? f ( x ) ? mx(m ? R) 是单调的,求证: m ? 0 或 m ? 1.

f (1) ? 1. (2)运用重要不等式(3)略

【易错点 33】利用函数的的单调性构造不等关系。要明确函数的单调性或单调区间及定义域限制。 例 33、记

f ? x ? ? ax2 ? bx ? c ,若不等式 f ? x ? ? 0 的解集为 ?1,3? ,试解关于 t 的不等式

f ? t ? 8? ? f ? 2 ? t 2 ? 。
【易错点分析】此题虽然不能求出 a,b,c 的具体值,但由不等式的解集与函数及方程的联系易知 1,3 是方 程 ax
2

? bx ? c ? 0 的两根,但易忽视二次函数开口方向,从而错误认为函数在 ?2, ??? 上是增函数。
28

解析:由题意知

f ? x ? ? a ? x ? x1 ?? ?x2 ? ? a ? x ? 1?? x ? 3? ,且 a ? 0 故二次函数在区间 ?2, ??? t ? 8, 2 ? t 2 ? 2 ,故由二次函数的单调性知不等式 f ? t ? 8 ? ? f ? 2 ? t 2 ?

上是增函数。又因为 8 ? 等价于 8 ?

t ? 2 ? t 2 即 t ?2 t ? 6 ? 0 故 t ? 3 即不等式的解为: ?3 ? t ? 3 。

【知识点分类点拔】函数的单调性实质是就体现了不等关系,故函数与不等式的结合历来都是高考的热点 内容,也是我们解答不等式问题的重要工具,在解题过程中要加意应用意识,如指数不等式、对数不等式、 涉及抽象函数类型的不等式等等都与函数的单调性密切相关。 【练 33】 (1)解关于 x 的不等式 log2 ( x ? 1)

? log4 [a( x ? 2) ? 1] (a ? 1) 1 3 ? x ? a或x ? 2} 当 a ? 2 时, 答案: 当 1 ? a ? 2 时, 解集为 {x | 2 ? 解集为 {x | x ? 且x ? 2} a 2 1 ? x ? 2或x ? a} 。 当 a ? 2 时解集为 {x | 2 ? a
(2) (2005 全国卷Ⅱ)设函数

f ? x ? ? 2| x ?1|?| x ?1| ,求使 f ? x ? ≥的 2 2 的 x 取值范围。

答案:x 取值范围是 [

3 ,?? ) 4

【易错点 34】数学归纳法的应用。学生易缺乏应用数学归纳法解决与自然数有关问题的意识,忽视其步骤 的规范性及不理解数学归纳法的每一步的意义所在。 例 34、自然状态下的鱼类是一种可再生资源,为持续利用这一资源,需从宏观上考察其再生能力及捕捞强 度对鱼群总量的影响。用 xn 表示某鱼群在第 n 年年初的总量,n∈N*,且 x1 >0。不考虑其它因素,设在 第 n 年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与 xn 成正比,死亡量与 x
2 n

成正比,这些比例系数依次为正常数 a, b,
*

c。 (Ⅰ)求 xn ?1 与 xn 的关系式; (Ⅱ)猜测:当且仅当 x1 ,a,b,c 满足什么条件时,每年年初鱼群的
则捕捞强度 b 的最大允许值是多少?证明你的结论。

总量保持不变?(不要求证明) (Ⅲ)设 a=2, b=1,为保证对任意 x1 ∈(0,2) ,都有 xn >0, n ? N , 【易错点分析】本题为数列模型应用题,主要考查数列、不等式和数学归纳法。2005 年高考主要涉及两种 类型应用题,一种类型为概率,另一种为数列。给我们信息:数学越来越贴近生活,数学越来越强调实用 性, 我们在备考中要注意对几种常见模型建模的训练;可见,高考数学越来越注意与函数、不等式、导数、 向量等工具结合,这是将来高考的方向, 【解析】 (I)从第 n 年初到第 n+1 年初,鱼群的繁殖量为 ax ,被捕捞量为 bx ,死亡量为

cx2n 因此 xn?1 ? xn ? axn ? bxn ? cx2n 即 xn?1 ? xn ? a ? b ? 1 ? cxn ? n ? N * 。
(II)若每年年初鱼群总量保持不变,则 xn 恒等于 x1 , n ? N ,从而由上式得 xn
*

? a ? b ? cxn ? 恒等

于零,

n ? N * 故 a ? b ? cx1 ? 0 即 x1 ?

a?b c

因为 x1 >0,所以 a

? b .猜测:当且仅当 a ? b ,且

x1 ?

a?b 时,每年年初鱼群的总量保持不变. c
*

(Ⅲ)若 b 的值使得 xn >0, n ? N ,由 xn?1 别地,有 0 ?

? xn ?3 ? b ? xn ?



0 ? xn ? 3 ? b , n ? N *



x1 ? 3 ? b .

即 0 ? b ? 3 ? x1 ,而 x1 ∈(0, 2),所以 b ? (0,1] ,由此猜测 b 的最

29

大允许值是 1. 下证 当 x1 ∈(0, 2) ,b=1 时,都有 xn ∈(0, 2),

n ? N*。

①当 n=1 时,结论显

然成立.②假设当 n=k 时结论成立,即 xk ∈(0, 2),则当 n=k+1 时, xk ?1

? xk ? 2 ? xk ? ? 0 .又因为

xk ?1 ? xk ? 2 ? xk ? ? ? ? xk ? 1? ? 1 ? 1 ? 2 .所以 xk ?1 ∈(0,
2

2),故当 n=k+1 时结论也成立.由

①、 ②可知, 对于任意的 n ? N , 都有 xn ∈(0,2).综上所述, 为保证对任意 x1 ∈(0, 2), 都有 xn >0,
*

n ? N * ,则捕捞强度 b 的最大允许值是 1.
【知识点归类点拔】归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。归纳推理分完全归纳推理与不完全 归纳推理两种。不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质,推断该类事物全体都具有 的性质,这种推理方法,在数学推理论证中是不允许的。完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后 归纳得出结论来。数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法,在解数学题中有 着广泛的应用。它是一个递推的数学论证方法,论证的第一步是证明命题在 n=1(或 n 0 )时成立,这是递 推的基础;第二步是假设在 n=k 时命题成立,再证明 n=k+1 时命题也成立,这是无限递推下去的理论依 据,它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般,实际上它使命题的正确性突破了有限,达到无限。这两 个步骤密切相关,缺一不可,完成了这两步,就可以断定“对任何自然数(或 n≥n 0 且 n∈N)结论都正确” 。 由这两步可以看出,数学归纳法是由递推实现归纳的,属于完全归纳.运用数学归纳法证明问题时,关键是 n=k+1 时命题成立的推证,此步证明要具有目标意识,注意与最终要达到的解题目标进行分析比较,以 此确定和调控解题的方向,使差异逐步减小,最终实现目标完成解题。运用数学归纳法,可以证明下列问 题:与自然数 n 有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。 【练 34】 (Ⅰ)设函数 (Ⅱ)设正数

f ( x) ? x log2 x ? (1 ? x) log2 (1 ? x) (0 ? x ? 1) ,求 f ( x) 的最小值;

p1 , p2 , p3 ,?, p2n 满足 p1 ? p2 ? p3 ? ? ? p2n ? 1,证明

p1 log2 p1 ? p2 log2 p2 ? p3 log2 p3 ? ? ? p2n log2 p2n ? ?n
答案: (Ⅰ)

?1? f ? ? ? ?1 (Ⅱ)用数学归纳法证明。 ? 2?
f ( x) ? x?3 ( x ? ?1). 设 数 列 {a n } 满 足 a1 ? 1, an?1 ? f (an ) , 数 列 {bn } 满 足 x ?1

(2)已知函数

bn ?| an ? 3 |, S n ? b1 ? b2 ? ?? bn (n ? N * ).
(Ⅰ)用数学归纳法证明 bn

?

( 3 ? 1) n ; 2 n?1

(Ⅱ)证明 S n

?

2 3 . 3

【易错点 35】涉及向量的有关概念、运算律的理解与应用。易产生概念性错误。 例 35、下列命题:

30

① (a)

2

? (a) 2 ?| a |4

② (a ? b) ? c

? (a ? c) ? b ③
? ?a

|a ? | b |④若 a ∥ b , b ∥ c , 则 a b |=| a |? 且c ≠o , 则 a ? b ⑦设 e1 , e2 ? b?c,

∥ c ⑤ a ∥ b ,则存在唯一实数λ ,使 b

⑥若 a ? c

是平面内两向量,则对于平面内任何一向量 a ,都存在唯一一组实数 x、y,使 a

? xe1 ? ye2 成立。⑧


若| a + b |=| a - b |则 a ? b =0。⑨ a ? b =0,则 a = 0 或 b = 0 真命题个数为( A.1 B.2 C .3 D.3 个以上

【易错点分析】共线向量、向量的数乘、向量的数量积的定义及性质和运算法则等是向量一章中正确应用 向量知识解决有关问题的前提,在这里学生极易将向量的运算与实数的运算等同起来,如认为向量的数量 积的运算和实数一样满足交换律产生一些错误的结论。 解析:①正确。根据向量模的计算 a ? a

? a

2

判断。②错误,向量的数量积的运算不满足交换律,这是因

为根据数量积和数乘的定义 (a ? c) ? b 表示和向量 b 共线的向量,同理 (a ? b) ? c 表示和向量 c 共线的向 量,显然向量 b 和向量 c 不一定是共线向量,故 (a ? b) ? c

? (a ? c) ? b 不一定成立。③错误。应为

a ?b ? a b

④错误。注意零向量和任意向量平行。非零向量的平行性才具有传递性。 ⑤错误。应加

条件“非零向量 a ”⑥错误。向量不满足消去律。根据数量的几何意义,只需向量 b 和向量 b 在向量 c 方 向的投影相等即可,作图易知满足条件的向量有无数多个。⑦错误。注意平面向量的基本定理的前提有向 量 e1

, e2

是不共线的向量即一组基底。⑧正确。条件表示以两向量为邻边的平行四边形的对角线相等,即

四边形为矩形。故 a ? b =0。⑨错误。只需两向量垂直即可。 答案:B 【知识点归类点拔】在利用向量的有关概念及运算律判断或解题时,一定要明确概念或定理成立的前提条 件和依据向量的运算律解答,要明确向量的运算和实数的运算的相同和不同之处。一般地已知a,b,с 和实数λ ,则向量的数量积满足下列运算律:①a?b=b?a =a? (λ b) (数乘结合律)③(a+b)?с =a?с +b?с
2 2

(交换律)②(λ a) ?b=λ (a?b) (分配律)说明: (1)一般地,(a?b)
2 2 2

с ≠a(b?с ) (2)a?с =b?с ,с ≠0 ? a=b(3)有如下常用性质:a =|a| , (a+b) (с +d)=a?с +a?d+b?с +b?d,(a+b) =a +2a?b+b 【练 35】 (1)若 a、b、c 为任意向量,m∈R,则下列等式不一定 成立的是( ...



A.(a+b)+c=a+(b+c)B.(a+b) ?c=a?c+b?c C.m(a+b)=ma+mb D.(a?b)c=a(b?c) (2)(2000 江西、山西、天津理,4)设 a、b、c 是任意的非零平面向量,且相互不共线,则 ① (a? b) c- (c? a) b=0 ②|a|-|b|<|a-b| ③ (b? c) a- (c? a) b 不与 c 垂直④ (3a+2b) 2 2 (3a-2b)=9|a| -4|b| 中,是真命题的有( )
A.①② 答案: (1)D(2)D 【易错点 36】利用向量的加法、减法、数量积等运算的几何意义解题时,数形结合的意识不够,忽视隐含 条件。 B.②③ C.③④ D.②④

31

例 36、四边形 ABCD 中,

AB =a, BC =b, CD =с

, DA =d,且a?b=b?с =с ?d

=d?a,试问四边形 ABCD 是什么图形?
【易错点分析】四边形的形状由边角关系确定,关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量,易忽视 如下两点: (1)在四边形中,

AB , BC , CD , DA 是顺次首尾相接向量,则其和向量是零向量,即

a+b+с +d=0,应注意这一隐含条件应用;(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积,因为数 量积的定义式中含有边、角两种关系。 解:四边形 ABCD 是矩形,这是因为一方面:由a+b+с +d=0 得a+b=-(с +d) ,即(a

+b) =(с +d) 即|a| +2a?b+|b| =|с | +2с ?d+|d| 由于 2 2 2 2 2 2 a?b=с ?d,∴|a| +|b| =|с | +|d| ①同理有|a| +|d| =| 2 2 с | +|b| ②由①②可得|a|=|с |, 且|b|=|d|即四边形 ABCD 两组对边分别相 等 ∴四边形 ABCD 是平行四边形另一方面,由a?b=b?с ,有b(a-с )=0,而由平行四边 形 ABCD 可得a=-с ,代入上式得b?(2a)=0即a?b=0,∴a⊥b也即 AB⊥BC。综上所
王新敞
奎屯 新疆



2









述,四边形 ABCD 是矩形 【知识点归类点拔】向量是高考的一个亮点,因为向量知识,向量观点在数学、物理等学科的很多分支有 着广泛的应用,而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体,能与中学数学教学内容的 许多主干知识综合,形成知识交汇点,所以高考中应引起足够的重视。基于这一点解决向量有关问题时要 树立起数形结合,以形助数的解题思路。例如很多重要结论都可用这种思想直观得到: (1)向量形式的平 行四边形定理:2(| a | +| b | )=| a - b | +| a + b | (2)向量形式的三角形不等 式: || a |-| b ||≤| a ± b |≤| a |+| b |(试问: 取等号的条件是什么?); (3) 在△ABC
2 2 2 2

中,若点 P 满足; AP =

AB | AB |

?

AC | AC |

? 则直线 AP 必经过△ABC 的内心等等有用的结论。

【 练 36 】 (1)O 是平面上一 定点,A、B、C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足

OP ? OA ? ? (
A.外心 的( )

AB | AB |

?

AC | AC |

? ? ? [0,??). 则 P 的轨迹一定通过△ABC 的 (
B.内心 C.重心



D.垂心

(2)点 O 是三角形 ABC 所在平面内的一点,满足 OA? OB ? OB ? OC ? OC ? OA ,则点 O 是 ?ABC (A)三个内角的角平分线的交点 (C)三条中线的交点 (B)三条边的垂直平分线的交点 (D)三条高的交点

(3) ?ABC 的外接圆的圆心为 O,两条边上的高的交点为 H, OH = 答案: (1)B (2)D (3)m=1

? m(OA ? OB ? OC) ,则实数 m

【易错点 37】忽视向量积定义中对两向量夹角的定义。 例 37、已知 ?ABC 中, a

? 5, b ? 8, c ? 7 ,求 BC ? CA

【易错点分析】此题易错误码的认为两向量 BC 和 CA 夹角为三角形 ABC 的内角 C 导致错误答案.

32

解析:由条件 a

? 5, b ? 8, c ? 7 根据余弦定理知三角形的内角 C ? 60? ,故两向量 BC 和 CA 夹角为

C ? 60? 的补角即 BC , CA ? 120? ,故据数量积的定义知 BC ? CA ? 5 ? 8 ? cos120? ? ?20 .
【知识点归类点拔】高中阶段涉及角的概念不少,在学习过程中要明确它们的概念及取值范围,如直线的倾 斜角的取值范围是 ? ?0
? ? ? ? ? ,180? ? ,两直线的夹角的范围是 ? ? 0 , 90 ? ? ,两向量的夹角的范围是 ? ? 0 ,180 ? ?,

异面直线所成的角的范围是

? 0 , 90 ? ? ,直线和平面所成的角的范围是 ? ? 0 , 90 ? ? 二面角的取值范围是
? ? ? ?

? 0 ,180 ? 。
? ?

【练 37】在 ΔABC 中,有如下命题,其中正确的是() (1) AB ?

A C AC ? BC(2) AB ? BC ? CA ? 0(3)若 AB ?AC ? AB ?

?

? ?

??

0 ,则 ΔABC

为等腰三角形(4)若 A、 (1) (2 ) 答案:C

AC ? AB ? 0 ,则 ΔABC 为锐角三角形。
B、 (1 ) (4 ) C、 (2) (3) D、 (2 ) (3 ) (4)

【易错点 38】向量数积积性质的应用。 例 38、已知 a、b 都是非零向量,且 a + 3b 与 7a ? 5b 垂直,a ? 4b 与 7a ? 2b 垂直,求 a 与 b 的 夹角。 【思维分析】本题应依据两向量夹角公式树立整体求解的思想。 解析:由 (a + 3b)(7a ? 5b) = 0 ? 7a + 16a?b ?15b = 0 ① (a ? 4b)(7a ? 2b) = 0 ?
2 2

7a ? 30a?b + 8b = 0 ②两式相减:2a?b = b 代入①或②得:a = b 设 a、b 的夹角为?,则 cos?
2 2 2 2 2

=

a?b b2 1 ? ? ∴? = 60?。 2 | a || b | 2 | b | 2

【知识点归类点拔】利用向量的数量积的重要性质结合向量的坐标运算可解决涉及长度、角度、垂直等解 析几何、立体几何、代数等问题,要熟记并灵活应用如下性质:设a与b都是非零向量,①a与b的数 量积的几何意义是向量a在向量b方向的单位向量正射影的数量②a⊥b ? a?b=0③a?a=|

a| 或|a|= a ? a ? a 2 ④cosθ =


a ?b a?b

⑤|a?b|≤|a|?|b|

【练 38】 (1)已知向量 a A.30° B.60°

? (1, 2), b(?2, ?4),| c |? 5, 若 (a ? b) ? c ?
C.120° D.150°答案:C

5 , 则 a 与 c 的夹角为( 2



(2) (2005 浙江卷)已知向量 a ≠ e ,| e |=1,对任意 t∈R,恒有| a -t e |≥| a - e |,则 (A)

a ⊥e

(B)

a ⊥( a - e )

(C)

e ⊥( a - e )

(D) ( a + e )⊥( a - e )答案:C

【易错点 39】向量与三角函数求值、运算的交汇 例 39、a

? ? ? ? ? (1 ? cos? , sin ? ),b ? (1 ? cos ? , sin ? ), c ? (1,0),? ? (0,? ), ? ? (? ,2? ) ,a 与 c ? ? ? ??? , 求 sin 的夹角为θ , b 与 c 的夹角为θ ,且 ? 1 ? ? 2 ? 的值. 3 2 ?
1 2

33

【易错点分析】此题在解答过程中,学生要将向量的夹角运算与三角变换结合起来,注意在用已知角表示 两组向量的夹角的过程中,易忽视角的范围而导致错误结论。 解析:

a ? (2 cos 2 ? 2sin

?
2

,2 sin

?
2

cos

?
2

) ? 2 cos

?
2

(cos

?
2

, sin

?
2

), ? b ? (2sin 2

?
2

, 2sin

?
2

cos

?
2

)

?
2

(sin

?
2

, cos

?
2

)

? ? (0, ? ), ? ? (? , 2? ), ?
? cos?1 ? a?c | a |?| c | ?

?

? (0, ), ? ( , ? ), 故有 2 2 2 2

?

?

?

| a |? 2 cos

?
2

| b |? 2 sin

?
2

2 cos 2

? cos ? 2 ?
?1 ? ? 2 ? ?
2

b?c |b|?| c |
?

?

2sin 2

?
2

?

?
2

,?

???
2

2 ? sin ? , 0 ? ? ? ? ? ? , ?? ? ? ? ? 2 ? 2 2 2 2 2 2 2sin 2
??

?

2 ? cos ? ,?? ? ? , 1 ? 2 2 2 cos 2


?

?

6

,从而 sin

???
2

? ? sin

?

1 ?? . 6 2

【知识点归类点拔】当今高考数学命题注重知识的整体性和综合性,重视知识的交汇性,向量是新课程新 增内容,具体代数与几何形式的双重身份。它是新旧知识的一个重要的交汇点,成为联系这些知识的桥梁, 因此,向量与三角的交汇是当今高考命题的必然趋势。高考对三角的考查常常以向量知识为载体,结合向 量的夹角、向量的垂直、向量的模或向量的运算来进行考查学生综合运用知识解决问题的能力。 【练 39】 (1)已知向量 a
? ?
?

x x ? ? x ? x ? ? (2 cos , tan( ? )), b ? ( 2 sin( ? ), tan( ? )) ,令 2 2 4 2 4 2 4

f ( x) ? a ? b 是否存在实数 x ? [0, ? ] ,使 f ( x) ? f '( x) ? 0 (其中 f '( x) 是 f ( x) 的导函数)?若
存在,则求出 x 的值;若不存在,则证明之 答案:存在实数 x

?

?
2

使等式成立。

(2)已知向量

m ? ( c o? s ,s ?i n和 )n ?

?

2 ? sin ? ,cos? ,? ? ?? , 2? ? , 且 m ? n ?

?

8 2 ,求 5

?? ? ? cos ? ? ? 的值.答案: ? ?2 8?

4 。 5

【易错点 40】向量与解三角形的交汇。 → → → → → → → → 例 40、 ΔABC 内接于以 O 为圆心, 1 为半径的圆, 且 3OA+4OB+5OC= 0 。 ①求数量积, OA? OB , OB? OC , → → OC?OA ;②求 ΔABC 的面积。 → → → 【思维分析】第 1 由题意可知 3OA、4OB、5OC三向量的模,故根据数量积的定义及运算律将一向量移项 平方即可。第 2 问据题意可将已知三角形分割成三个小三角形利用正弦理解答。 解析:①∵|OA|=|OB|=|OC|=1 由 3OA+4OB+5OC= 0 得:3OA+4OB=-5OC两边平方得:9OA +











→ →







→2

→ → →2 →2 → → → → → → → 4 → → 24OA?OB+16OB =25OC ∴OA?OB=0 同理:由 4OB+5OC=-3OA求得OB?OC=- 由 3OA+5OC=- 5 3 → → → 4OB求得OA?OC=- 5

34

1 → → 1 → → 4 4 3 |OA||OB|= 由OB?OC=- 得 cos∠BOC=- ∴sin∠BOC=- ∴ 2 2 5 5 5 1 → → 3 3 3 4 1 → → 由OC? OA=- 得 cos∠COA=- ∴sin∠COA= ∴ s? 0 AC = s? 0 BC = |OB||OC|sin∠BOC= , 2 10 5 5 5 2 2 1 3 2 6 → → |OC||OA|sin∠COA= 即 sABC = s? 0 AB + s? 0 AC + s? 0 BC = + + = 5 2 10 5 5
②由OA?OB=0,故 s? 0 AB =





【知识点归类点拔】本题考查了向量的模、向量的数量积的运算,用于表达三角形的内角、面积。 【练 40】 (1)△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知 a,b,c 成等比数列,且 cosB= 求 cotA+cotC 的值; (2)设 BA ? BC 答案: (1)

3 4

。 (1)

?

3 ,求 a ? c 的值。 2

4 7 (3) a ? c ? 3 。 7
?

(2)已知向量 a =(2,2) ,向量 b 与向量 a 的夹角为
?

?

?

? ? ? 3? b =-2,①求向量 b ; ,且 a · 4

②若

t ? (1,0)且 b ? t , c ? (cos A,2 cos 2
?

?

? ?

C ) ,其中 A、C 是△ABC 的内角,若三角形的三内角 A、 2
|的取值范围.答案:①

B、C 依次成等差数列,试求|

b

?

+

c

b ? (?1,0) 或 b ? (0, ?1) ②

2 5 ?| b ? c |? . 2 2
【易错点 41】与向量相结合的三角不等式,学生的综合运用知识解决问题的能力不够。 例 41 、已知二次函数 f(x)对任意 x∈R,都有 f(1-x)=f(1+x)成立,设向量 a =(sinx,2), b





1 → → → → → → =(2sinx, ), c =(cos2x,1), d =(1,2),当 x∈[0,π ]时,求不等式 f( a ? b )>f( c ? d )的 2
解集. 【易错点分析】易忽视二次函数的开口方向的讨论和三角、向量、函数三者的综合程度不够。

(1-x)+(1+x) 2 =1,f(1-x)=f(1+x),所以 y1=y2 由 x 的任意性得 f(x)的图象关于直线 x=1 对称,若 m>0,则 x 1 → → ≥1 时,f(x)是增函数;若 m<0,则 x≥1 时,f(x)是减函数。∵ a ? b =(sinx,2) ? (2sinx, ) 2 → → → → 2 =2sin x + 1 ≥ 1 , c ? d = ( cos2x , 1 ) ? (1,2)=cos2x + 2 ≥ 1 ∴ 当 m > 0 时, f( a ? b ) > → → 2 2 f( c ?d ) ? f(2sin x+1)>f(cos2x+2) ? 2sin x+1>cos2x+2 ? 1-cos2x+1>cos2x
解析: 设 f(x)的二次项系数为 m, 其图象上的两点为 A(1-x,y1)、 B(1+x,y2), 因为

? 3? ? 3? <2x<2kπ + ,k∈z ? kπ + <x<kπ + ,k∈z∵0 2 4 2 4 ? 3? ? 3? → → ≤x≤π ∴ <x< 当 m<0 时, 同理可得 0≤x< 或 <x≤π 综上所述, 不等式 f( a ? b) 4 4 4 4 ? 3? ? 3? → → >f( c ? d )的解集是:当 m>0 时,为{x| <x< ;当 m>0 时,为{x|0≤x< 或 <x 4 4 4 4
+2 ? cos2x<0 ? 2kπ + <π 。
【知识点分类点拔】在运用函数的单调性构造不等式时,一定要明确函数在哪个区间或定义域上的单调性 如何(不可忽视定义域的限制) ,通过本题要很好的体会向量、不等式、函数三者的综合,提高自已应用知 识解决综合问题的能力。 【练 41】若

f ( x) 在定义域(-1,1)内可导,且 f ' ( x) ? 0 ,点 A(1, f ( a ));B( f

(- a ),1),对任意 a ∈
2

(-1,1)恒有 OA ? OB 成立,试在

? ?? , ? ? 内求满足不等式 f (sin x cos x )+ f (cos
35

x )>0

的 x 的取值

范围.答案: x ? (

? 3?
2 , 4

) ? (?

?

,? ) ,( k ? Z ) 2 4

?

【易错点 42】向量与解析几何的交汇 例 42、已知常数 a>0,向量 c=(0,a) ,i=(1,0) ,经过原点 O 以 c+λ i 为方向向量的直线与经过 定点 A(0,a)以 i-2λ c 为方向向量的直线相交于点 P,其中λ ∈R.试问:是否存在两个定点 E、F, 使得|PE|+|PF|为定值.若存在,求出 E、F 的坐标;若不存在,说明理由. 【易错点分析】此题综合程度较高,一方面学生对题意的理解如对方向向量的概念的理解有误,另一面在 向量的问题情景下不能很好的结合圆锥曲线的定义来解答,使思维陷入僵局。 解析:根据题设条件,首先求出点 P 坐标满足的方程,据此再判断是否存在两定点,使得点 P 到两定点距

∴c+λ i=(λ ,a) ,i-2λ c=(1,-2λ a)因此, 直线 OP 和 AP 的方程分别为 ?y ? ax 和 y ? a ? ?2?ax .消去参数λ ,得点 P( x, y) 的坐标满足方程
离的和为定值.∵i=(1,0) ,c=(0,a) ,

y( y ? a) ? ?2a 2 x 2 .整理得

x2 ? 1 8

a ( y ? )2 2 ? 1. ??① 因为 a a 2 ( ) 2

? 0, 所以得: (i)当 a ?

2 2

时,方程

①是圆方程,故不存在合乎题意的定点 E 和 F; ( ii ) 当 0 ? a ?

2 时,方程①表示椭圆,焦点 2

E(

1 1 a 1 1 a (iii) 当 a ? 2 时, 方程①也表示椭圆, ? a 2 , ) 和 F (? ? a 2 , ) 为合乎题意的两个定点; 2 2 2 2 2 2 2

焦点 E (0,

1 1 1 1 (a ? a 2 ? )) 和 F (0, (a ? a 2 ? )) 为合乎题意的两个定点. 2 2 2 2

【知识点归类点拔】本小题主要考查平面向量的概念和计算,求轨迹的方法,椭圆的方程和性质,利用方程 判定曲线的性质,曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力。在高考中向量与圆锥曲线的 结合是成为高考命题的主旋律,在解题过程中一方面要注意在给出的向量问题情景中转化出来另一方面也 要注意应用向量的坐标运算来解决解析几何问题如:线段的比值、长度、夹角特别是垂直、点共线等问题, 提高自已应用向量知识解决解析几何问题的意识。 【练 42】 (1)已知椭圆的中心为坐标原点 O,焦点在 x 轴上,斜率为 1 且过椭圆右焦点 F 的直线交椭圆于 A、B 两点, OA ? OB 与 a (Ⅰ)求椭圆的离心率; (Ⅱ)设 M 为椭圆上任意一点,且 ? (3,?1) 共线。

OM ? ?OA ? ?OB (?, ? ? R) ,证明 ?2 ? ? 2 为定值。
答案: (1) e

?

6 2 2 (2) ? ? ? =1 3

MN , PM · NP 成公差小于零的等 PN , NM · (2)已知两点 M(-1,0) ,N(1,0) ,且点 P 使 MP ·
差数列 (1) 点 P 的轨迹是什么曲线? (2 ) 若点 P 坐标为 ( xo , yo ) , 记 ? 为 PM 与 PN 的夹角, 求 tan ? ; 答案:①点 P 的轨迹是以原点为圆心,

3 为半径的右半圆②tan ?

=|y 0 |

(3)设坐标原点为 O,抛物线 y2=2x 与过焦点的直线交于 A、B 两点,则 OA? OB 等于(

)A.

3 4

B.

36



3 4

C.3

D.-3 答案:B

【易错点 43】解析几何与向量的数量积的性质如涉及模、夹角等的结合。

例 43、已知椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1 上动点 P 到定点 M ? m,0? ,其中 0 ? m ? 2 的距离 PM 4 2

的最小值

为 1.(1)请确定 M 点的坐标(2)试问是否存在经过 M 点的直线 l ,使 l 与椭圆 C 的两个交点 A、B 满足条 件

OA ? OB ? AB

(O 为原点),若存在,求出 l 的方程,若不存在请说是理由。

【思维分析】此题解题关键是由条件 再结合韦达定理解答。

OA ? OB ? AB

知 OA ? OB

? 0 从而将条件转化点的坐标运算

? x2 ? x2 y 2 2 ? ? 1 得 y ? 2 ?1 ? ? 故 解析:设 p ? x, y ? ,由 4 2 4? ? PM
2

? x2 ? ? x2 ? 1 2 2 ? ? x ? m ? ? 2 ?1 ? ? ?2 ?1 ? ? ? ? x ? 2m ? ? 2 ? m2 由于 0 ? m ? 2 且 4? ? 4? 2 ?
2

?2 ? x ? 2 故当 0 ? 2m ? 2 时, PM

的最小值为 2 ? m

2

? 1 此时 m ? 1 ,当 2 ? 2m ? 4 时,

x ? 2 取得最小值为 2 ? 4m ? m2 ? 2 ? 1 解得 m ? 1,3 不合题意舍去。 综上所知当 m ? 1 是满足题意
此时 M 的坐标为(1,0) 。 (2)由题意知条件

OA ? OB ? AB

等价于 OA ? OB

? 0 ,当 l 的斜率不存在时, l 与 C 的交点为

? 6? 1, ? ? ? ? ? ,此时 OA ? OB ? 0 ,设 l 的方程为 y ? k ? x ? 1? ,代入椭圆方程整理得 2 ? ?

?1 ? 2k ? x
2

2

? 4k 2 x ? 2k 2 ? 4 ? 0 ,由于点 M 在椭圆内部故 ? ? 0 恒成立,由 OA ? OB ? 0 知

x1 x2 ? y1 y2 ? 0 即 ?1 ? k 2 ? x1 x2 ? k 2 ?1 ? x2 ? ? k 2 ? 0 ,据韦达定理得 x1 ? x2 ?
x1 x2 ?

4k 2 1 ? 2k 2



2k 2 ? 4 2 2 2 2 2 2 2 代入上式得 ?1 ? k ?? 2k ? 4 ? ? k ? 4k ? k ?1 ? 2k ? ? 0 得 k ? ?4 不合 2 1 ? 2k

题意。综上知这样的直线不存在。 【知识点归类点拔】在解题过程中要注意将在向量给出的条件转化向量的坐标运算,从而与两交点的坐标 联系起来才自然应用韦达定理建立起关系式。此题解答具有很强的示范性,请同学们认真体会、融会贯通。 【练 43】已知椭圆的焦点在 x 轴上,中心在坐标原点,以右焦点 F2 为圆心,过另一焦点 F 1 的圆被右准线 截的两段弧长之比 2:1, P

?

2,1

? 为此平面上一定点,且 PF ? PF
1

2

? 1 .(1)求椭圆的方程(2)若直线

37

y ? kx ? 1? k ? 0? 与椭圆交于如图两点 A、B,令 f ? k ? ? AB ? F1 F2 ? k ? 0? 。求函数 f ? k ? 的值
域答案: (1)

x2 y 2 ? ? 1 (2) ? 0,8? 4 2

[易错点 44]牢记常用的求导公式,求复合函数的导数要分清函数的复合关系. 例 44、函数

y ? x ? e1?cos x

的导数为



[易错点分析]复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数, 即

y x? ? yu? ? u x? 。

解析:

y ? ? e1?cos x ? x ? e1?cos x ?? ? e1?cos x ? xe1?cos x ?1 ? cos x ?? ? e1?cos x ?

xe1?cos x sin x ? ?1 ? x sin x ? e1?cos x
【知识点归类点拨】掌握复合函数的求导方法关键在于分清函数的复合关系,适当选定中间变量,分步计 算中的每一步都要明确是对哪个变量求导,而其中要特别注意的是中间变量的系数。 [练习 44]已知 a (1) 设

0 ,n 为正整数。设 y ? ? x ? a ?
n

n

,证明

y? ? n ? x ? a ?

n ?1



fn ? x ? ? xn ? ? x ? a ?

,对任意 n

? a ,证明 f n ?1? ? n ? 1?

? n ? 1? f n? ? n ?

解析:证明: (1)

? x ? a?
n?k

n

k ? ? Cn ? ?a ? k ?0 n

n

n?k

xk , x k ?1 ? n ? x ? a ?

k ? y? ? ? kCn ? ?a ? k ?1

n

k ?1 x k ?1 ? ? nCn ?1 ? ?a ? k ?1

n?k

n ?1

(2)对函数

fn ? x ? ? xn ? ? x ? a ?

n

求导数:

n ?1 f n? ? nx n ?1 ? n ? x ? a ? ,

n ?1 ? f n? ? n ? ? n ?nn?1 ? ? n ? a ? ? . 当 x ? a ? ?

0 时, f n? ? x ?

0
? a 时,

?当n ? a时,fn ? x ? ? x n ? ? x ? a ?

n

是关于 x 的增函数因此,当 n
n

? n ? 1?

n

? ?n ?1? a?

n

nn ? ? n ? a ?



n n ? f n?1? ? n ? 1? ? ? n ? 1? ?? n ? 1? ? ? n ? 1 ? a ? ? ? ?

nn ? ? n ? a ? ? n ? 1? ? ?

n

? ?

nn ? n ? n ? a ? ? n ? 1? ? ?

n ?1

? ?

? ? n ? 1? f n? ? n ? 即对任意 n ? a , f n ?1? ? n ? 1?
【易错点 45】求曲线的切线方程。 例 45、已知函数 线方程为 6 x ?

? n ? 1? f n? ? n ? .

,且在点 M(-1,f(-1) )处的切 f ( x) ? x 3 ? bx2 ? ax ? d 的图象过点 P(0,2) (Ⅰ)求函数

y ? 7 ? 0.

y ? f ( x) 的解析式;
38

【思维分析】利用导数的几何意义解答。 解析: (Ⅰ)由
3 2 ,知 d=2,所以 f ( x) ? x ? bx ? cx ? 2, f ( x) 的图象经过 P(0,2)

f ?( x) ? 3x 2 ? 2bx ? c. 由在 M (?1, f (?1)) 处的切线方程是 6 x ? y ? 7 ? 0 ,知

? 6 ? f (?1) ? 7 ? 0,即f (?1) ? 1, f ?(?1) ? 6.
?3 ? 2b ? c ? 6, ?2b ? c ? 3, 3 2 ?? 即? 解得b ? c ? ?3. 故所求的解析式是 f ( x) ? x ? 3x ? 3x ? 2. ? 1 ? b ? c ? 2 ? 1 . b ? c ? 0 , ? ?
【知识点归类点拔】导数的几何意义:函数 y=f(x)在点 x0 处的导数,就是曲线 y=(x)在点 P( x0 ,

f ( x0 ))

处的切线的斜率.由此,可以利用导数求曲线的切线方程.具体求法分两步: (1)求出函数 y=f(x)在点 x0 处的导数,即曲线 y=f(x)在点 P( x0 , 求得切线方程为

f ( x0 )) 处的切线的斜率;(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下,

如果曲线 y=f(x)在点 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线平 y ? y0 ? f ' ( x0 )(x ? x0 ) 特别地,

行于 y 轴,这时导数不存,根据切线定义,可得切线方程为 x 有可能出现在解析几何综合试题中,复习时要注意到这一点.

? x0 。利用导数的几何意义作为解题工具,

【练 45】 (1)已知函数

f ( x) ?

ax ? 6 的图象在点 M(-1,f(x))处的切线方程为 x+2y+5=0. x2 ? b

(Ⅰ)求函数 y=f(x)的解析式;答案:

f ( x) ?

2x ? 6 x2 ? 3

(2)设 t

? 0 ,点

P( t ,0)是函数

f ( x) ? x 3 ? ax与g ( x) ? bx2 ? c 的图象的一个公共点,两函
? ab ? ?t 3 . 故 a ? ?t 2 , b ? t ,

数的图象在点 P 处有相同的切线.(Ⅰ)用 t 表示 a,b,c;答案: c

c ? ?t 3 .
【易错点 46】利用导数求解函数的单调区间及值域。

例 46、已知函数

4x2 ? 7 f ? x? ? , x ??0, 1? (Ⅰ)求 f ? x ? 的单调区间和值域; 2? x

(Ⅱ) 设a

2 2 ?1, 函数 g ? x ? ? x ? 3a x ? 2a,x ??01 总存在 x0 ? ? 0, , 1? , 1? ? ,若对于任意 x1 ??0,

使得 g

? x0 ? ? f ? x1 ? 成立,求 a 的取值范围。
y ? g ? x ? 在区间 ?0, 1? 上的

【易错点分析】利用导数求函数的单调区间仍然要树立起定义域优先的意识,同时要培养自已的求导及解 不等式的运算能力第(Ⅱ)问要注意将问题进行等价转化即转化为函数

39

值域是函数

f ? x ? 的值域的子集,从而转化为求解函数 y ? g ? x ? 在区间 ?0, 1? 上的值域。
?4 x 2 ? 16 x ? 7

解析 ( Ⅰ )

f ?( x) ?

?2 ? x

2 2

?

??

(2 x ? 1)(2 x ? 7)

?2 ? x

2 2

?

,令

f ?( x ) ? 0 解得 x ?

1 2



x?

7 2

,在

1 1 x ? (0, ) , f ?( x) ? 0, 所以 f ( x) 为单调递减函数;在 x ? ( ,1) , f ?( x) ? 0, 所以 f ( x) 为单调 2 2 7 1 递增函数;又 f (0) ? ? , f (1) ? ?3, f ( ) ? ?4 ,即 f ( x ) 的值域为[-4,-3],所以 f ( x ) 的单调递 2 2 1 1 减区间为 (0, ) , f ( x ) 的单调递增区间为 ( ,1) , f ( x ) 的值域为[-4,-3].( 单调区间为闭区间也可以). 2 2
(Ⅱ)∵ g ?( x) ? 3( x
2

? a 2 ) ,又 a ? 1 ,当 x ? (0,1) 时, g?( x) ? 3(1 ? a2 ) ? 0 ,

因此,当 x ? (0,1) 时, g ( x ) 为减函数,从而当 x ? [0,1] 时,有 g ( x) ?[ g (1), g (0)] . 又 g (1) ? 1 ? 2a ? 3a 任给 x1 ? [0,1] ,有
2

, g (0) ? ?2a ,即当 x ? [0,1] 时,有 g ( x) ?[1 ? 2a ? 3a2 , ?2a] ,

f ( x1) ?[?4, ?3] ,存在 x 0 ? [0,1] 使得 g ( x0) ? f ( x1) ,
a? 2 。 3

5 ? a ? 1, 或a ? ? 2 ? ? 1 ? 2 a ? 3 a ? ? 4 ? 则 3 又 a ? 1 ,所以 a 的取值范围是 1 ? ?? ? 3 ? 2 a ? ? 3 ? ? a? ? ? 2

【知识点分类点拔】高考对导数的考查定位于作为解决初等数学问题的工具出现,侧重于考查导数在函数 与解析几何中的应用,主要有以下几个方面:①运用导数的有关知识,研究函数最值问题,一直是高考长 考不衰的热点内容.另一方面,从数学角度反映实际问题,建立数学模型,转化为函数的最大值与最小值 问题,再利用函数的导数,顺利地解决函数的最大值与最小值问题,从而进一步地解决实际问题.用导数 研究函数的性质比用初等方法研究要方便得多,因此,导数在函数中的应用作为 2006 年高考命题重点应引 起高度注意.单调区间的求解过程,已知

y ? f ( x)

(1)分析

y ? f ( x) 的定义域;

(2)求导数

y ? ? f ?( x) (3)解不等式 f ?( x) ? 0 ,解集在定义域内的部分为增区间(4)解不等式 f ?( x) ? 0 ,解
集在定义域内的部分为减区间,对于函数单调区间的合并:函数单调区间的合并主要依据是函数

f ( x) 在

( a, b) 单调递增,在 (b, c) 单调递增,又知函数在 f ( x) ? b 处连续,因此 f ( x) 在 ( a, c ) 单调递增。同
理减区间的合并也是如此,即相邻区间的单调性相同,且在公共点处函数连续,则二区间就可以合并为以 个区间。 【练 46】 (1) 已知函数 f(x)=-x +3x +9x+a, (I) 求 f(x)的单调递减区间; (II) 若 f(x)在区间[- 2,2]上的最大值为 20,求它在该区间上的最小值.答案: ( 1) (-∞,-1) , (3,+∞) (2)-7
3 2

(2)用长为 90cm,宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四
边翻转 90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?

40

答案:当 x=10 时,V 有最大值 V(10)=1960
【易错点 47】二项式

?a ? b?
n

n

展开式的通项中,因 a 与 b 的顺序颠倒而容易出错。

? 2 ? 例 47、 ? x ? ? 3 2 x ? ?

展开式中第三项的系数比第二项的系数大 162,则 x 的一次项为



【易错点分析】本题中若

x与

2
3

x2

的顺序颠倒,项随之发生变化,导致出错。

解析:椐题意有: Cn

2

1 ? 22 ? ? ?Cn ? 2 ? ? 162, 即2n ? n ? 1? ? 2n ? 162,? n ? 9

则Tr ?1 ? C

r 9

? x?
3

9? r

9? r 2 r ? ? 2 ? 9 ? r 2r r r ? ? 1,? r ? 3 ? ? 3 2 ? ? C9 ? ? ?2 ? ? x 2 3 由 2 3 x ? ?

r

3 ?T4 ? ? ?1? ? 23 ? C9 x ? ?672 x

【知识点归类点拨】二项式

?a ? b?

n

与?b ? a ?

n

的展开式相同,但通项公式不同,对应项也不相同,在

遇到类似问题时,要注意区分。

? 4 1 ? 【练 47】 ? x ? 11 ? x ? ?
解析:据题意有

n

展开式中第 5 项与第 12 项系数的绝对值相等,则展开式的常数项为
4 11 Cn ? ? ?1? Cn 11



? ?1?

4

,即

4 n ?4 11 4 11 ,? n ? 4 ? 11,? n ? 15 ?Cn ? Cn ? Cn Cn ? Cn
r ? 1 ? r 60?15 r 令 60 ? 15r ? 0, 得: r ? 4 故展开式中常数项为: ? ? ? 11 ? ? ? ?1? C15 x x ? ? r

Tr ?1 ? C

r 15

?x ?

4 15? r

? ?1?

4

4 C15 ? 1365

【易错点 48】二项式展开式中的项的系数与二项式系数的概念掌握不清,容易混淆,导致出错。

? 3 2? 例 48、在 ? x ? 2 ? x ? ?

5

的展开式中, x 的系数为

5

,二项式系数为



【易错点分析】在通项公式 Tr ?1 解析:令 15 ? 5r

r ? C5 ? 2r ? x15?5r 中, C5r 是二项式系数, C5r ? 2r 是项的系数。

2 2 ? 5 ,得 r ? 2 ,则项 x5 的二项式系数为 C5 ? 10 ,项的系数为 C5 ? 22 ? 40 。

【知识点归类点拨】在二项展开式中,利用通项公式求展开式中具有某些特性的项是一类典型问题,其通 41

常做法就是确定通项公式中 r 的取值或取值范围,须注意二项式系数与项的系数的区别与联系。 【练 48 】如果 ? 3x ?

? ?

1 1 ? 的展开式中各项系数之和为 128 ,则展开式中 3 的系数是( ? 3 2 x x ?
(D) ?21

n

) (A)7

(B) ?7 答案:当 x

(C)21

? 1 时 (3 ?1 ?

1
3

1

2

) n ? 2n ? 128,? n ? 7 即 (3x ?
2 5 7? r 3

1
3

x

2

)7 ,根据二项式通项公式得

r r 7?r Tr ?1 ? C7 (3x)7?r (?1)r ( x 3 )r ? C7 3 (?1)r x

?

?7 ?

5 r ? ?3, r ? 6 时 对 应 3

1 x3

,即

6 7 ?6 T6?1 ? C7 3 (?1)6

1 1 1 21 ? 7 ? 3? 3 ? 3 . 故 3 3 x x x x

项系数为 21 .

【易错点 49】二项式系数最大项与展开式系数最大项是两个不同的概念,在求法上也有很大的差别,在次 往往因为概念不清导致出错。

2? ? 例 49、已知 ? x ? 2 ? ? n ? N ? ? 的展开式中,第五项的系数与第三项的系数之比为 10:1 x ? ?
求展开式中系数最大的项和二项式系数最大项。 【易错点分析】二项展开式的二项式系数可由其二项式系数的性质求得,即当 n 为偶数时,中间的一项的 二项式系数最大;当 n 为偶数时,中间两项的二项式系数相等,同时取得最大值,求系数的最大值项的位 置不一定在中间,需要利用通项公式,根据系数值的增减性具体讨论而定。 解析:由题意知,第五项系数为 C
4 n

n

? ? ?2 ?

4

,第三项的系数为 C

2 n

? (?2)

2

,则有

4 Cn ? ? ?2 ?

4 2

C ? ? ?2 ?
2 n

?

10 , 1

r ?1 r ?1 r r r ?1 r ?1 ? n ? 8 设展开式中的第 r 项, 第 r+1 项, 第 r+2 项的系数绝对值分别为 C8 ? 2 , C8 ? 2 , C8 ? 2 ,
r ?1 r ?1 r r ? ?C8 ? 2 ? C8 ? 2 ,解得: 5 ? r ? 6 ? r ?1 r ?1 r r C ? 2 ? C ? 2 ? 8 ? 8

若第 r+1 项的系数绝对值最大,则 ?

系 数 最 大 值 为

T7 ? 1792

1 x11

由n

? 8 知第五项的二项式系数最大,此时 T5 ? 1120

1 x6

【知识点归类点拨】在

?a ? b?

n

的展开式中,系数最大的项是中间项,但当 a,b 的系数不为 1 时,最大

系数值的位置不一定在中间,可通过解不等式组 ?

?Tr ?1 ? Tr 来确定之。 ?Tr ?1 ? Tr ? 2
。 (结果用数值表示)
r

【练 49】在二项式

? x ? 1?

11

的展开式中,系数最小的项的系数为
r 11? r

解析:展开式中第 r+1 项为 C11 ? x 得r

? ? ?1?
5

r

,要使项的系数最小,则 r 为奇数,且使 C11 为最大,由此

5 ? ? ?1? ? ?462 。 ? 5 ,所以项的系数为 C11

【易错点 50】对于排列组合问题,不能分清是否与顺序有关而导致方法出错。 42

例 50、有六本不同的书按下列方式分配,问共有多少种不同的分配方式? (1) (2) (3) (4) 分成 1 本、2 本、3 本三组; 分给甲、乙、丙三人,其中 1 人 1 本,1 人两本,1 人 3 本; 平均分成三组,每组 2 本; 分给甲、乙、丙三人,每人 2 本。

【易错点分析】分成三组是与顺序无关是组合问题,分给三人与顺序有关,是排列问题。 解析:(1)分三步:先选一本有 C6 种选法,再从余下的 5 本中选两本,有 C5 种选法,最后余下的三本全 选有 C3 种选法,有分步计数原理知,分配方式有: C6 ? C5
3 1 2 3 ? C3 ? 60 1 2

( 2 )由 于甲、 乙、 丙是不 同的三 个人, 在( 1 )题的 基础上 ,还考 虑再 分配问 题 ,分配 方式共有
1 2 3 3 C6 ? C5 ? C3 ? A3 ? 360 种。

(3) 先分三步: 则应是 C6

2

2 2 种方法, 但在这里容易出现重复。 不妨记六本书为 A, B, C , D, E, F ? C4 ? C2 2 2 2 中还有 ? C4 ? C2

若第一步取了 AB,第二步取了 CD,第三步取了 EF,记该种分法为(AB,CD,EF)则 C6
3

(AB,EF,CD) , (CD,EF,AB) (CD,AB,EF) , (EF,CD,AB) , (EF,AB,CD)共 A3 种情况,而且这些情
2 2 2 C6 ? C4 ? C2 ? 15 种 3 A3

况仅是 AB,CD,EF 顺序不同,依次只能作为一种分法,故分配方式有

(5)

在问题(3)的基础上,再分配即可,共有分配方式

2 2 2 C6 ? C4 ? C2 3 种。 ? A3 3 A3

【知识点归类点拨】本题是有关分组与分配的问题,是一类极易出错的题型,对于词类问题的关键是搞清 楚是否与顺序有关,分清先选后排,分类还是分步完成等,对于平均分组问题更要注意顺序,避免计算重 复或遗漏。 【练 50】从 5 位男教师和 4 位女教师中选出 3 位教师,派到三个班担任班主任(每班一位班主任) ,要求 这三位班主任中男、女教师都要有,则不同的选派方法共有( A、 210 种 B、420 种 C、630 种 D、840 种
1 2 1 =40。 ? 30 ;②两男一女:计 C52 ? C4



解析:首先选择 3 位教师的方案有:①一男两女;计 C5 ? C4 其 次 派 出 3 位 教 师 的 方 案 是
3 A3

=6 。 故 不 同 的 选 派 方 案 共 有

3 1 2 1 A3 ? ? C5 ? C4 ? C52 ? C4 ? ? 6 ? ? 30 ? 40 ? ? 420 种。

【易错点 51】不能正确分析几种常见的排列问题,不能恰当的选择排列的方法导致出错。 例 51、四个男同学和三个女同学站成一排。 (1) (2) (3) (4) (5) 三个女同学必须排在一起,有多少种不同的排法? 任何两个女同学彼此不相邻,有多少种不同的排法? 其中甲、乙两同学之间必须恰有 3 人,有多少种不同的排法? 甲、乙两人相邻,但都与丙不相邻,有多少种不同的排法? 女同学从左往右按高矮顺序排,有多少种不同的排法?(三个女生身高互不相等) 43

【易错点分析】排列问题常见题型有相邻问题及不相邻问题,顺序一定问题等,如果对题意理解不够充分, 往往选择错误的方法。 解析: (1)3 个女同学是特殊元素,我们先把她们排列好,共有
3 种排法;由于 3 A3

个同学必须排在一起,
5 种排法。由乘 A5

我们可视排好的女同学为一个整体,在与男同学排队,这时是五个元素的全排列,应有 法原理,有
3 5 A3 ? A5 ? 720 种不同排法。 4 种排法;再在这 4 个男生的中间及两头的 5 A4 4 3 A4 ? A5 ? 1440 种。 2

(2)先将男生排好,共有

个空中插入 3 个女生,有 A5 种

3

方案。故符合条件的排法共有

(3)甲、乙 2 人先排好,共有 A2 种排法;再从余下的 5 人中选三人排在甲、乙 2 人中间,有 A5 种排法, 这时把已排好的 5 人看作一个整体, 与剩下的 2 人再排, 又有 A3 种排法; 这样, 总共有 种不同的排法。 (4)先排甲、乙、丙 3 人以外的其他四人,有
4 2 种排法,由于甲、乙要相邻,故把甲、乙排好,有 A2 种 A4 2 3 4 2 3 A4 ? A2 ? A3 ? 720

3

排法;最后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的 4 人的空当中,有 A5 种排法;这样,总共 有
4 2 2 A4 ? A2 ? A5 ? 960 种不同的排法。

(5)从七个位置中选出 4 个位置把男生排好,有 生要按高矮排列。故仅有一种排法。这样总共有

A74 种排法;然后再在余下得个空位置中排女生,由于女

A74 种不同的排法。

【 知 识 点 归 类 点 拨 】 解 决 有 限 制 条 件 的 排 列 问 题 方 法 是 : ① 直 接 法 :
?位置分析法 ? ②间接法:即排除不符合要求的情形③一般先从特殊元素和特殊 用加法原理(分类) ?元素分析法 ? 用乘法原理(分步) ?插入法(不相邻问题) ?捆绑法(相邻问题) ?

位置入手。 【练 52】有两排座位,前排 11 个座位,后排 12 个座位,现安排 2 人就坐,规定前排中间三个座位不能坐, 并且这 2 人不左右相邻,那么不同排法的种数( A、234 B、346 C、350 D、363
1 2 种,再加上 4 种不能算相邻的,共有 A19 ? A2



解析:把前后两排连在一起,去掉前排中间 3 个座位,共有
2 1 2 A20 ? A19 ? A2 ? 4 ? 346 种。

【 易 错 点 53 】 二 项 式 展 开 式 的 通 项 公 式 为
k k Pn ? k ? ? Cn P ?1 ? P ? n?k

r n ?r r Tr ?1 ? Cn a b

,事件 A 发生 k 次的概率:

























44

k k n?k pk ? Cn p q , k ? 0,1,2,3

, n且0 ? p ? 1, p ? q ? 1,三者在形式上的相似,在应用容易混

淆而导致出错。 例 53、某同学参加科普知识竞赛,需回答三个问题,竞赛规则规定:每题回答正确得 100 分,回答不正确 得—100 分。假设这名同学每题回答正确的概率均为 0.8,且各题回答正确与否相互之间没有影响。 (1) (2) 求这名同学回答这三个问题的总得分 ? 的概率分布和数学期望。 求这名同学总得分不为负分(即 ?

? 0 )的概率。

【易错点分析】对于满足二项分布的分布列的概率计算公式中对于随机变量 ? 以及二项分布的条件的理解 出错。 解析: (1) ? 的可能取值为—300,—100,100,300。

P ?? ? ?300 ? ? 0.23 ? 0.008 P ?? ? ?100 ? ? 3 ? 0.22 ? 0.8 ? 0.096 P ?? ? 100 ? ? 3 ? 0.2 ? 0.82 ? 0.384 P ?? ? 300 ? ? 0.83 ? 0.512
所以 ? 的概率分布为

?
P

—300 0.008

—100 0.096

100 0.384

300 0.512

根据 ? 的概率分布,可得 ? 的期望

E? ? ? ?300? ? 0.008 ? ? ?100? ? 0.096 ?100 ? 0.384 ? 300 ? 0.512 ? 180
(2)这名同学总得分不为负分的概率为

P ?? ? 0? ? 0.384 ? 0.512 ? 0.896 。
【知识点归类点拨】二项分布是一种常见的重要的离散型随机变量分布列,其概率

P ?? ? k ?? k ? 0,1,2,

? 就是独立重复实验 n 次其中发生 k 次的概率 Cnk P k ?1 ? P ?

n?k

。但在解决实

际问题时一定看清是否满足二项分布。 【练 53】设一汽车在前进途中要经过 4 个路口,汽车在每个路口遇到绿灯(允许通行)的概率为 红灯(禁止通行)的概率为 的路口数,求: (1) ? 的概率分布列及期望 E? ; (2)停车时最多已通过 3 个路口的概率。

3 4

,遇到

1 4

。假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进,? 表示停车时已经通过

45

解析: ( 1 ) ? 的 所 有可 能值为 0 , 1 , 2 , 3 , 4 。用

Ak

表 示 “ 汽 车通 过 第 k 个 路 口时不 停 ” ‘则

P ? Ak ? ?

3 1 ? k ? 1, 2,3, 4 ? 且A1 , A2 , A3 , A4 独立。故 P ?? ? 0 ? ? P A1 ? 4 4 3 1 3 3 1 9 P ?? ? 1? ? P A1 ? A2 ? ? ? , P ?? ? 2 ? ? P A1 ? A2 ? A3 ? ( ) 2 ? ? , 4 4 16 4 4 64

? ?
?

?

?

?

? 3 ? 1 27 P ?? ? 3? ? P A1 ? A2 ? A3 ? A4 ? ? ? ? ? , ? 4 ? 4 256 81 ? 3? P ?? ? 4 ? ? P ? A1 ? A2 ? A3 ? A4 ? ? ? ? ? 256 ? 4?
从而 ? 的分布列为
4

?

?

3

?
P

0

1

2

3

4

1 3 9 4 16 64 1 3 9 27 81 E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4? ? 4 16 64 256 256 81 175 ? (2) P ?? ? 3? ? 1 ? P ?? ? 4 ? ? 1 ? 。 256 256
【易错点 54】正态总体 N
2

27 256 525 256

81 256

? ? , ? ? 的概率密度函数为 f ? x ? ?
2

? 1 e 2??

? x ? ? ?2
2? 2

, x ? R ,当

? ? 0, ? ? 1 时,

1 ? x2 f ? x? ? e , x ? R ,叫作标准正态总体 N ? 0,1? 的概率密度函数,两者在 2?
N ?1000,30 2 ? ,要使灯泡的平均寿

使用范围上是不同的。 例 54、灯泡厂生产的白炽灯泡的寿命为 ? (单位:小时) ,已知 ?

命为 1000 小时的概率为 99.7 0 0 ,问灯泡的最低使用寿命应控制在 910 小时以上。 【易错点分析】由于 ? 服从正态分布,故应利用正态分布的性质解题。 解析:因为灯泡的使用寿命 ?

N ?1000,30 2 ? ,故 ?



?1000 ? 3? 30,1000 ? 3? 30? 的概率为

99.7 0 0 , 即 ? 在 ? 910,1090? 内取值的概率为 99.7 0 0 , 故灯泡的最低使用寿命应控制在 910 小时以上。
【知识点归类点拨】在正态分布 N 布N
2

? ? , ? ? 中, ? 为总体的平均数, ? 为总体的标准差,另外,正态分
2

? ? , ? ? 在 ? ? ?? , ? ? ? ? 的概率为 68.3
2

0

0

,在

? ? ? 3? , ? ? 3? ? 内取值的概率为 99.7 0 0 。

解题时,应当注意正态分布 N

? ? , ? ? 在各个区间的取值概率,不可混淆,否则,将出现计算失误。
46

【练 54】一总体符合 N 解析:由题意可得 P

?0,1? ,若 ? ?1? ? a,? ? 2? ? b ,则该总体在(1,2)内的概率为



?1 ? ? ? 2? ? ? (2) ? ? (1) ? b ? a 。
n n ??

【易错点 55】对于数列的两个基本极限① lim q

? 0 ;② lim Sn ?
n ??

a1 1? q

,两个极限成立的条件不同,

前者为

q ? 1 ;而后者为 0 ? q ? 1 。
Sn ? ?an ? 中, a1 ? 1 ,且 n 项和 Sn ,满足 lim n ??
C、

例 55、在等比数列

1 , 那么 a1 的取值范围是( a1



A、

?1, ???

B、

?1, 2 ?

?1, 2?

D、

?1, 4?
? a1 ,求 a1 的范围时,容易忽视 q ? 0 这个条 1? q

【易错点分析】利用无穷递缩等比数列的各项和公式 s 件。 解析:设公比为 q,由 lim Sn
n ??

?

1 知 a1

1 ? a1 ? ?1 ? q a ?a 21 ? 1 ? q 1 2 2 ? ? ? ? ? a1 ? 1 ? 1 ? ?0 ? a1 ? 2 ? ? q ?1 ?? ?? 2 又a1 ? 1 所以 1 a1 ? q ?1 2 ?a1 ? 1 ?q ? 0 ?q ? 0 ? ? ?a1 ? 1 ? 0 ? ? ? ?

2。

?存在 ? q ? 1或q ? 1? ? ? n 【知识点归类点拨】对于 lim q ? ?0 ? q ? 1? ,公比的绝对值小于 1 的无穷等比数列 n ?? ? ? ?不存在 ? q ? 1或q ? ?1?
前 n 项和在 n 无限增大时的极限,叫做这个无穷数列各项的和。 【练 55】 lim

3n 3
n ?1

n ??

? ? a ? 1?

n

?

1 ,求 a 的取值范围。 3

n ??

lim

3n 3n ?1 ? ? a ? 1?
n

? lim

解析:

1 ? a ? 1? ? ? lim ? ? ?0 n n ?? 3 n ?? ? 3 ? ? a ? 1? 3?? ? ? 3 ? 1

n

?

a ?1 ? 1,??4 ? a ? 2 3

【易错点 56】立体图形的截面问题。

47

例 56、 (2005 哈师大附中、 东北师大附中高三第二次联考) 正方体

ABCD -- A1 B1C1 D1 , E、 F 分别是 AA 1、

,过 E、D、P 作正方体的截面,若截面为四边形,则 P 的轨 CC1 的中点,p 是 CC1 上的动点(包括端点) 迹是() A、 线段 C1 F B、线段 CF C、线段 CF 和一点 C1 D、线段 C1 F 和一点 C。 【易错点分析】学生的空间想象能力不足,不能依据平面的基本定理和线面平行定理作两平面的交线。 解析:如图当点 P 在线段 CF 上移动时,易由线面平行的性质定理知:直线 DE 平行于平面 BB1CC1 ,则 过 DE 的截面 DEP 与平面 BB1CC1 的交线必平行, 因此两平面的交线为过点 P 与 DE 平行的直线, 由于点 P 在线段 CF 上故此时过 P 与 DE 平行的直线与直线 BB1 的交点在线段 BB1 上,故此时截面为四边形(实 质上是平行四边形) , 特别的当 P 点恰为点 F 时, 此时截面为 DEFB1 也为平行四边形, 当点 P 在线段 C1 F 上时如图分别延长 DE、DP 交 A 1D 1 、 D1C1 于点 H、G 则据平面基本定理知点 H、G 既在平 截面 DEP 内也在平面 A 1B 1C1 D 1 内,故 GH 为两平面的交线,连结 GH 分别交 A 1B 1、B 1C1 于点 K、N (注也有可能交在两直线的延长线上) ,再分别连结 EK、KN、PN 即得截面为 DEKNP 此时为五边形。故 选C
C B D1 C1 A1 B1
H D C B D1 K B1 N

D A E

P F

A E A1

F P C1 G

【知识点归类点拔】高考对用一平面去截一立体图形所得平面图形的考查实质上对学生空间想象能力及对 平面基本定理及线面平行与面面平行的性质定理的考查。考生往往对这一类型的题感到吃力,实质上高中 阶段对作截面的方法无非有如下两种:一种是利有平面的基本定理:一个就是一条直线上有两点在一平面 内则这条直线上所在的点都在这平面内和两平面相交有且仅有一条通过该公共点的直线(即交线) (注意该 定理地应用如证明诸线共点的方法:先证明其中两线相交,再证明此交点在第三条直线上即转化为此点为 两平面的公共点而第三条直线是两平的交线则依据定理知交点在第三条直线;诸点共线:即证明此诸点都 是某两平面的共公点即这此点转化为在两平的交线上)据这两种定理要做两平面的交线可在两平面内通过 空间想象分别取两组直线分别相交,则其交点必为两平面的公共点,并且两交点的连线即为两平的交线。 另一种方法就是依据线面平行及面面平行的性质定理,去寻找线面平行及面面平行关系,然后根据性质作 出交线。一般情况下这两种方法要结合应用。 【练 56】 (1)正方体 ABCD—A1 B1 C1 D1 中,P、Q、R、分别是 AB、AD、B1 C1 的中点。那么正方体的过 P、 Q、R 的截面图形是() (A)三角形 (2)在正三棱柱 (B)四边形 (C)五边形 (D)六边形 答案:D

ABC - A1 B1C1 中,P、Q、R 分别是 BC 、 CC1 、 A1C1 的中点,作出过三点 P、Q、R
48

截正三棱柱的截面并说出该截面的形状。答案:五边形。 【易错点 57】判断过空间一点与两异面直线成相等的角的直线的条数 例 57、如果异面直线 a、b 所在的角为 50 ,P 为空间一定点,则过点 P 与 a、b 所成的角都是 30 的直线有 几条? A、一条 B 二条 C 三条 D 四条 【易错点分析】对过点 P 与两异面直线成相同的角的直线的位置关系空间想象不足,不明确与两直线所的 角与两异面直线所成的角的内在约束关系。 解析:如图,过点 P 分别作 a、b 的平行线 a ? 、 b? ,则 a ? 、 b? 所成的角也 为 50 ,即过点 P 与 a ? 、b? 成相等的角的直线必与异面直线 a、b 成相等的
? ? ?

A l a' B 0 p C b'

角,由于过点 P 的直线 L 与 a ? 、 b? 成相等的角故这样的直线 L 在 a ? 、 b? 确 定 的 平 面 的 射 影 在 其 角 平 分 线 上 , 则 此 时 必 有

c o? sA P B?

c o ? sA P ? O

c? o s当 O P B?APO ? cos

cos 30? cos 25?

? cos 30 ? ? 0,1 时 , 有 cos?APO ? ? , 此 时 这 样的 直 线存在 且 有 两条 当 ?BPC ? 130? 时 , 有 ? cos 25 ? cos 30 ? 1这样的直线不存在。故选 B ? cos 65

cos?APO ?

【知识点分类点拔】解决异面直线所成角的问题关键是定义,基本思想是平移,同时对本题来说是解决与 两异面直线所成的等角的直线条数,将两异面直线平移到空间一点时,一方面考虑在平面内和两相交直线 成等角的直线即角平分线是否满足题意,另一方面要思考在空间中与一平面内两相交直线成等角的直线的 条数,此时关键是搞清平面外的直线与平面内的直线所成的角 ? 与平面内的直线与平面外的直线在平面内 的射影所成的角 ? 的关系,由公式 cos?

? cos ? cos ?

(其中

?

是直线与平面所成的角)易知

cos? ? cos ? ? ? ? ? , cos? ? cos ? ? ? ? ? (最小角定理)故一般地,若异面直线 a、b 所
成的角为 ? ,L 与 a、b 所成的角均为 ? ,据上式有如下结论:当 0

?? ?

?
2

时,这样的直线不存在;当

??

?
2

时,这样的直线只有一条;当

?
2

?? ?

? ??
2

时,这样的直线有两条;当 ?

?

? ??
2

时这样的

直线有 3 条;当

? ??
2

?? ?

?
2

时,这样的直线有四条。
? ?

【练 57】如果异面直线 a、b 所在的角为 100 ,P 为空间一定点,则过点 P 与 a、b 所成的角都是 50 的直 线有几条? A、一条 B 二条 C 三条 D 四条 答案:C

【易错点 58】有关线面平行的证明问题中,对定理的理解不够准确,往往忽视 " a ? ? , a // b, b ? ? " 三 个条件中的某一个。 例 58、如图, PA

? 矩形 ABCD 所在的平面,M,N 分别为 AB,PC 的中点。求证: MN // 平面 PAD
49

P P
[易错点分析]:在描述条件中,容易忽视 AE ? 面PAD, MN ? 面PAD 。 解析:取 PD 中点 E,连结 AE,EN,则有 EN // CD // AB // AM ,

EE

N N D D C C
M M B B

EN ?

1 1 CD ? AB ? AM ? 2 2

AMEN 为平行四边形,? MN // AE

A A

AE ? 面PAD, MN ? 面PAD ? MN // 面PAD

[知识点归类点拨]判定直线与平面平行的主要依据是判定定理,它是通过线线平行来判定线面平行,这是 所指的直线是指平面外的一条直线与平行于平面内的一条直线,在应用该定理证线面平行时,这三个条件 缺一不可。 【练习 58 如图,在三棱锥 P—ABC 中, AB ? 点 O,D 分别为 AC,PC 的中点, OP ? 平面 证明:

BC, AB ? BC ? kPA ,
P D C B

ABC 求证:OD//平面 PAB

O, D 分别为 AC、PC 的中点?OD // PA,
A O

又 PA ? 平面 PAB,

PA ? 平面PAB, OD ? 平面PAB ? OD // 平面PAB
的两条相交直线分别平行” ,容易导致证明过程跨步太大。

【易错点 59】对于两个平面平行的判定定理易把条件误记为“一个平面内的两条相交直线与另一个平面内

例 59、如图,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,M、N、P 分别是 C1C, B 1C1 , C1D 1 的中点, 求证:平面 MNP//平面 A 1BD 【易错点分析】本题容易证得 MN// A 1 D ,MP//BD,而直接由此得出面

MNP // 面A1BD
解析:连结 B1 D1 , B1C,

P, N 分别是 D1C1 , B1C1 的中点,? PN // B1 D1 , B1 D1 // BD,? PN / BD
MN ? N

又 PN ? 面A 同理: MN // 平面A 1BD,? PN // 平面A 1BD 1BD, 又PN

?平面DMN // 平面A1BD 。
【知识点归类点拨】个平面平行问题的判定或证明是将其转化为一个平面内的直线与另一个平面平行的问 题,即“线面平行则面面平行” ,必须注意这里的“线面”是指一个平面内的两条相交直线和另一个平面, 定理中的条件缺一不可。 【练 59】正方体 ABCD ? A (1)M,N 分别是棱 1B 1C1D 1 中,

A1B1 , A1D1 的

中点,E、F 分别是棱 B1C1 , C1D1 的中点,求证:①E、F、B、D 共面; ②平面 AMN//平面 EFDB③平面 AB1 D1 //平面 C1BD 证明: (1)①

EF // B1 D1 , B1 D1 // BD ? EF // BD, 则 E、F、B、D 共面。 MN ? P, AC 1 1 EF ? Q, AC
50

②易证:MN//EF,设 AC 1 1

BD ? O

PQ // AO, PQ ? AO ? PA // OQ ?平面AMN // 平面EFDB
③连结 AC, 可证

ABCD ? A1B1C1D1 为正方体,? AC ? DB

AA1 ? 平面ABCD,? AC ? BD ,同理 1

AC ? BC1 于是得 AC ? 平面C1BD,同理可证AC ? 平面ABD 1 1 1 ! 1 ?面AB 1D 1 // 面C1BD
0

【易错点 60】求异面直线所成的角,若所成角为 90 ,容易忽视用证明垂直的方法来求夹角大小这一重要 方法。 例 60、在三棱柱 ABC ? A 若 1B 1C1 中, B、 90
0

AB ? 2BB1 ,则 AB1与C1B 所成角的大小为(

) A、60

0

C、 105

0

D、 75

0

【易错点分析】忽视垂直的特殊求法导致方法使用不当而浪费很多时间。 解析:如图 D1 , D 分别为 B1C1 , BC 中点, 连结

AD, D1C ,设 BB1 ? 1, 则AB ? 2 AB1 在平面 BC1 上的射影。又

则 AD 为

BE ?

3 2 BC 2 , BD ? ,cos ?C1BC ? ? , 3 2 BC1 3
1 1 3 2 2 1 ? ? 2? ? ? ? 3 2 3 2 3 6

? DE 2 ? BE 2 ? BD2 ? 2BE ? BD ? cos ?C1 BC ?
而 BE
2

? DE 2 ?

1 1 1 ? ? ? BD 2 ,??BED ? 900 ? AB1与C1B 垂直。 3 6 2
0

【知识点归类点拨】求异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角时,对特殊的角,如 90 时,可 以采用证明垂直的方法来求之。 【练 60】设 M,N 是直角梯形 ABCD 两腰的中点, DE (如图) ,现将 ?ADE 沿 DE 折起,使二面角

? AD 于 E

A ? DE ? B 为 450 ,此时点 A 在平面 BCDE 内的
射影恰为点 B,则 M,N 的连线与 AE 所成的角的 大小等于 解 析 : 易 知 BQ 。

?AEB ? 450 , ?ABE ? 900 ,? AB ? BE



AE

中 点

Q , 连

MQ ,

1 1 MQ // DE , MQ ? DE , DE // BC , DE ? BC ,N 为 BC 的中点 2 2
51

? MQ // BN , MQ ? BN ,? BQ // MN
现错误。 例 61、如图,在棱长为 1 的正方体

BQ ? AE,? MN ? AE ,即 M,N 连线与 AE 成 90 0 角。

【易错点 61】在求异面直线所成角,直线与平面所成的角以及二面角时,容易忽视各自所成角的范围而出

ABCD ? A1B1C1D1 中,M,N,P 分别为 A1B1 , BB1 , CC1 的中点。

求异面直线 D 1P与AM , CN与AM 所成的角。 [易错点分析]异面直线所成角的范围是 ?

? ? 00 ,900 ? ? ,在利用余弦定理求异面直线所成角时,若出现角

的余弦值为负值,错误的得出异面直线所成的角为钝角,此时应转化为正值求出相应的锐角才是异面直线 所成的角。 解析:如图,连结 则 PN //

A1 N ,由 N , P 为 BB1 , CC1 中点,
A1

D1 M B1

C1

A1D1 , PN ? A1D1 , 从而 A1 N // D1P AM 和D1P 所成的角。
N D A B

P C

故 AM 和 D1P 所成的角为

易证 Rt ?AA 1M ≌ Rt ?A 1B 1 N 。所以 故 D1 P与AM 所成的角为 90 。 又设 AB 的中点为 Q,则 B1Q // 就是 ?PB1Q (或其补角) 。
0

A1 N ? AM ,

AM , B1Q ? AM . 又 CN // B1P, CN ? B1P, 从而 CN 与 AM 所成的角

易求得 B1Q

? B1P ?

2 5 6 , PQ ? . 在 ?PB1Q 中,由余弦定理得 cos ?PB1Q ? , 5 2 2

故 CN 与AM 所成的角为 arccos

2 。 5

【知识点归类点拨】在历届高考中,求夹角是不可缺少的重要题型之一,要牢记各类角的范围,两条异面 直线所成的角的范围: 0 取值范围: 0
0 0

? ? ? 900 ;直线与平面所成角的范围: 00 ? ? ? 900 ;二面角的平面角的

? ? ? 1800 。同时在用向量求解两异面直线所成的角时,要注意两异面直线所成的角与两

向量的夹角的联系与区别。 【练 61】已知平行六面体

ABCD -- A1 B1C1 D1 中,底面 ABCD 是边长为 1 的的正方形,侧棱 AA1 的

长为 2,且侧棱

(1)求对角线 AC1 的长(2)求直线 BD1 与 AC AA1 和 AB 与 AD 的夹角都等于 120? ,

的夹角值。答案: (1 )

2 (2) arccos

3 (提示采用向量方法,以 AA 1 、 AB 、 AD 为一组基底, 3
52

求得 cos

BD1 , AC ? ?

3 3 故两异面直线所成的角的余弦值为 ) 3 3

【易错点 62】对于经度和纬度两个概念,经度是二面角,纬度为线面角,二者容易混淆。 例 62、如图,在北纬 45 的纬线圈上有 B 两点,它们分别在东经 70 与东经
0 0

1600 的经度上,设地球的半径为 R,求 B 两点的球面距离。
【易错点分析】求 A、B 两点的距离,主要是求 B 两点的球心角的大小,正确描述 纬线角和经度角是关键。 解析:设北纬 45 圈的圆心为 O ? ,地球中心为 O,则 ?AO 1B ? 160
0

0

? 700 ? 900 ,

?OBO1 ? 450 , OB ? R, O1B ? O1 A ?

2 R, AB ? R, 连结 AO, AB ,则 2
1 1 2? R ? ? R 。故 A、B 两点间的球面距离为 6 3

AO ? BO ? AB ? R,??AOB ? 600 ? AB ?
1 ?R。 3

【知识点归类点拨】数学上,某点的经度是:经过这点的经线与地轴确定的平面与本初子午线( 0 经线) 和地轴确定的半平面所成的二面角的度数。某点的纬度是:经过这点的球半径与赤道面所成的角的度数。 如下图:

0

AB或?AOB 的度数。 图(2) :纬度——P 点的纬度,也是 PA或?POA 的度数。 【练 62】设地球的半径为 R ,若甲地位于北纬 45 ? 东经 120? ,乙地位于南纬 75 ? 东经 120? ,则甲、乙
图(1) :经度——P 点的经度,也是 两地的球面距离为( (A) 3R ) ? (B) R
6

(C)

5? R 6

(D)

2? R 3
东经120o A B 北纬45o

答案:D 如图所示东经 120 与北纬 45 线交于 A 点 东经 120 与南纬 75 线交于 C 点,设球心 为 B 点从而 ?ABC ? 45 , ?DBC ? 75 即 ?ABD ? 120 以 B 点为圆心过 A、C、D 的 大圆上

ACD 即为所求. ACD ? 2? R ? 120 ? 2? R.
360 3

C 南纬75o D

【易错点 63】向量知识在立体几何方面的应用 例 63、 如图, 在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中, AB=AD=2, DC=2 AA1=

3,

3 ,AD⊥DC,AC⊥BD,

垂足未 E, (I)求证:BD⊥A1C; (II) 53

求二面角 A 1-BD-C 1 的大小; (III)求异面直线 AD 与 BC 1 所成角的大小. 【易错点分析】本题主要考查学生运用向量法中的坐标运算的方法来解决立体几何问题.学生在解题中一方 面不能根据条件建立恰当的空间坐标系,另一方面建系后学生不能正确找到点的坐标.或者没有运用向量知 识解决问题的意识。 解析:解法一: (I)在直四棱柱
D1 A1

ABCD ? A1B1C1D1 中,

ABCD 上的射影. A1 A ? 底面 ABCD , ? AC 是 AC 1 在平面 B1 BD ? AC , ? BD ? AC 1 . (II)连结 A 1E, C1E, AC 1 1. 与(I)同理可证 BD ? A 1E, BD ? C1E, A ??A1EC1 为二面角 A1 ? BD ? C1 的平面角. AD ? DC, ??A1D1C1 ? ?ADC ? 90o , B 又A 1D 1 ? AD ? 2, DC 1 1 ? DC ? 2 3, AA 1 ? 3, 且 AC ? BD,

C1

D E F C

? AC 1 1 ? 4, AE ? 1, EC ? 3,? A 1E ? 2, C1E ? 2 3,
在 ?A 1EC1 中,
2 2 2 o AC 1 1 ? A 1E ? C1E ,??A 1EC1 ? 90 ,

即二面角

A1 ? BD ? C1 的大小为 90 o .

(III)过 B 作 BF∥AD 交

AC 于 F

,连结 FC1 ,

则 ?C1BF 就是 AD 与 BC1 所成的角.

AB ? AD ? 2, BD ? AC, AE ? 1,? BF ? 2, EF ? 1, FC ? 2, BC ? DC,
? FC1 ?
即异面直线

15 ? 4 ? 7 15 15 7, BC1 ? 15. 在 ?BFC1 中, cos C1BF ? 2.2. 15 ? 5 ,??C1BF ? arccos 5 ,

AD 与 BC1 所成角的大小为 arccos

15 . 5
Z D1

解法二: (I)同解法一. (II)如图,以 D 为坐标原点, DA, DC, DD1 所 在直线分别为 x 轴, 连结

y 轴, z

轴,建立空间

直角坐标系,

A1

C1 B1 D E

A1E, C1E, AC 1 1. 与(I)同理可证, BD ? A 1E, BD ? C1E, ??A1EC1 为二面角 A1 ? BD ? C1 的平面角.
3 3 由A1 (2, 0, 3), C1 (0, 2 3, 3), E ( , , 0), 2 2
得 EA 1 ? (
?

X

A

C

Y

1 3 ,? , 2 2

3), EC1 ? (?

?

3 3 3 , , 2 2

3).

B

? ? ? ? 3 9 ? EA1 . EC1 ? ? ? ? 3 ? 0. ? EA1 ? EC1 , 即EA1 ? EC1 . ? 二面角 A1 ? BD ? C1 的大小为 4 4

90 o .

(II)如图,由

54

D (0, 0, 0), A(2, 0, 0), C1 (0, 2 3, 得 AD ? ( ?2, 0, 0), BC1 ? ( ?3,
? ? ? ? ? ?

3), B(3, 3, 3). 15, ?

3, 0),

? AD . BC1 ? 6,| AD |? 2,| BC1 |? ? cos ? AD, BC1 ??
? ?

AD . BC1 | AD || BC1 |
? ?

?

?

6 ? 2 15
15 . 5

15 . 5

? 异面直线 AD 与 BC1 所成角的大小为 arccos
解法三: (I)同解法一. (II)如图,建立空间直角坐标,坐标原点为 E.

Z D1 A1

A1E, C1E, AC 1 1 与(I)同理可证, BD ? A 1E, BD ? C1E, ??A1EC1 为二面角 A1 ? BD ? C1 的平面角.
连结 由 E(0, 0, 0), A 3), C1 (0,3, 3). 1 (0, ?1, 得 EA`
? ? ?

C1 B1 D E Y C

? (0, ?1, 3), EC1 ? (0,3, 3).
? ?

?

A

X

B

EA1 . EC1 ? ?3 ? 3 ? 0,? EA1 ? EC1 ,即EA1 ? EC1. ? 二面角 A1 ? BD ? C1 的大小为 90o.
(III)如图,由
?

A(0, ?1,0), D(? 3,0,0), B( 3,0,0), C1(0,3, 3).
?

得 AD ? (? 3,1, 0), BC1 ? (? 3,3,

3).

AD . BC1 ? 3 ? 3 ? 6,| AD |? 2,| BC1 |? 15,? cos ? AD, BC1 ??

?

?

?

?

?

?

AD . BC1 | AD || BC1 |
? ?

?

?

?

6 15 ? . 5 2 15

? 异面直线 AD 与 BC1 所成角的大小为 arccos

15 . 5

【知识点分类点拔】解决关于向量问题时,一要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换,正确地 进行向量的各种运算,加深对向量的本质的认识.二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的 思想.向量的数量积常用于有关向量相等,两向量垂直、射影、夹角等问题中.常用向量的直角坐标运算来证 明向量的垂直和平行问题;利用向量的夹角公式和距离公式求解空间两条直线的夹角和两点间距离的问题. 用空间向量解决立体几何问题一般可按以下过程进行思考:①要解决的问题可用什么向量知识来解决?需 要用到哪些向量?②所需要的向量是否已知?若未知,是否可用已知条件转化成的向量直接表示?③所需 要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示,则它们分别最易用哪个未知向量表示?这些未知向量 与由已知条件转化的向量有何关系?④怎样对已经表示出来的所需向量进行运算,才能得到需要的结论? 【练 63】如图,在三棱锥 P ?

1 时,求直线 PA 与 2 平面 PBC 所成角的大小;(III) 当 k 取何值时, O 在平面 PBC 内的射影恰好为 ?PBC 的重心?
OP ? 底面ABC .(I) 求证 OD ? 底面PAB ; (II) 当 k ?
【答案】方法一: (I) O、D分别为 AC 、 PC 的中点.? OD // PA 又 PA ? 平面 PAB .? OD // 平面 PAB . 55
A o

AB ? BC ? kPA ,

点 O 、 D 分别是

ABC 中, AB ? BC , AC 、 PC 的中点,

P

D

C B

AB ? BC , OA ? OC ? OA ? OB ? OC , (II) 又 OP ? 平面 ABC ? PA ? PB ? PC . 取 BC 中点E,连结 PE ,则 BC ? 平面 POE . 作 OF ? PE 于 F,连结 DF ,则 OF ? 平面 PBC , ? ?ODF 是 OD 与平面 PBC 所成的角. 又 OD // PA, ? PA 与平面 PBC 所成角的大小等于 ?ODF .
在 Rt ?ODF 中, sin ?ODF ? OF ?

OD

210 30

z
.

? PA 与平面 PBC 所成的角为 arcsin 30

210

P

(III)由 II 知, OF ? 平面 PBC ,? F 是 O 在平面 PBC 内的射影. D 是 PC 的中点,若点 F 是 PBC 的重心,则 B 、 F 、 D 三点共线, ? 直线 OB 在平面 PBC 内的射影为直线 BD . OB ? PC ? PC ? BD ? PB ? BC ,即 K ? 1 . 反之,当 K ? 1 时,三棱锥 O ? PBC 为正三棱锥, ? O 在平面 PBC 内的射影为 ?PBC 的重心. 方法二: x OP ? 平面 ABC , OA ? OC, AB ? BC,

D

A

o B

C

?OA ? OB, OA ? OP, OB ? OP. 以 O 为原点,射线 OP 为非负 z 轴,建立空间直角坐标系 O ? xyz (如图),


y

2? 2 2 ? 2 2 1 ,又 ? OD OD (I) D 为 PC 的 中 点 , = , = ? ? ? ? P A? ( a , 0? , h) ? (? a, 0, h) 1 2 2 - PA ? OD // PA ? OD // 平面 PAB . 4

AB ? a, 则 A( 2 a, 0, 0) , B(0, 2 a, 0) , C (?

2

a, 0, 0) .设 OP ? h , 则 P(0,0, h)

2

(II)

K?

1 , 2

即 PA ? 2? , ? h ?

7 a ,? PA = ( 2 ? , 0, ? 7 a), 2 2 2
? ?

? ? 210 1 ? PA n 可求得平面 PBC 的法向量 n ? (1, ?1, ? ), cos ? PA, n ?? ? ? ? . 7 30 PA | n |
?

设 PA 与平面 PBC 所成的角为 ? ,则 sin ? ?| cos ? PA, n ?|?

?

?

210 ,? PA 与平面 PBC 所成的角为 30

arcsin

210 30
2 2 1 a, a, h). 6 6 3

(III)

? ??PBC 的重心 G(? 2 a, 2 a, 1 h), ?OG ? (?

6

6

3

OG ?

平 面

PBC . ?O G?

P. B 又 PB ? (0,

2 1 1 a, ?h), ? OG PB ? a 2 ? h 2 ? 0. 6 3 2

?h ?

2 a. ? PA ? OA2 ? h2 ? a, 即 k ? 1 反之,当 k ? 1 时,三棱椎 O ? PBC 为正三棱锥, 2

? O 在平面 PBC 内的射影为 ?PBC 的重心.
【易错点 64】常见几何体的体积计算公式,特别是棱锥,球的体积公式容易忽视公式系数,导致出错。 例 64、 (2003 年天津理 12)棱长为 a 的正方体中,连结相邻面的中心,以这些线段为棱的八面体的体积为

56



)A、

a3 3

B、

a3 4

C、

a3 6

D、

a3 12

【易错点分析】正确的分析图形,采用割补法。 解析:如图此八面体可以分割为两个正四棱锥,而
2 1 1 1 ?a? ?a? a AB ? ? ? ? ? ? ? . ?V八面体 ? ? a 2 ? a ? a 3 ,故选 C。 3 2 6 2 ? 2? ? 2? 2 2 2

【知识点归类点拨】计算简单几何体的体积,要选择某个面作为底面,选择的前提条件是这个面上的高易 求。 【练 64】如图四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 为 AD= 4 矩形,AB=8,
0

3 ,侧面 PAD 为

等边三角形,并且与底面成二面角为 60 。求

四棱锥 P—ABCD 的体积。 解析:如图,去 AD 的中点 E,连结 PE,则 PE 面 ABCD,垂足为 O,连结 OE。 根据三垂线定理的逆定理得 OE 条件可 ?PEO ? 60
0

? AD 。作 PO ? 平

? AD ,所以 ?PEO 为侧面 PAD 与底面所成二面角的平面角。由已知

, PE ? 6 ,所以 PO ? 3 3 ,四棱锥 P—ABCD 的体积

1 VP ? ABCD ? ? 8 ? 4 3 ? 3 3 ? 96 。 3
【易错点 65】求点到平面的距离的方法有直接法、等体积法、换点法。 例 65、如图,已知正三棱锥 P—ABC 的体积为 72 (1) (2)

3 ,侧面与底面所成的二面角的大小为 60 0 。
BC ;

证明 PA ?

求底面中心 O 到侧面的距离。

解析: (1)证明:取 BC 边的中点 D,连结 AD、PD,则

AD ? BC, PD ? BC ,故 BC ? 平面APD ? PA ? BC 。
(2)解:如图,由(1)可知平面 PBC ? 平面 APD,则 ? PDA 是侧面与底面所成二面角的平面角。 过点 O 做 OE

? PD ,E 为垂足,则 OE 就是点 O 到侧面的距离,设 OE 为 h,由题意可知点 O 在 AD 上,

??PDO ? 600 , OP ? 2h.

OD ?

2h 3 2 ,? BC ? 4h, ? S?ABC ? ? 4h ? ? 4 3h2 4 3

1 8 3 2 72 3 ? ? 4 3h2 ? 2h ? h ,? h ? 3 即底面中心 O 到侧面的距离为 3。 3 3
【知识点归类点拨】求点到平面的距离一般由该点向平面引垂线,确定垂足,转化为解三角形求边长,或 者利用空间向量表示点到平面的垂线段,设法求出该向量,转化为计算向量的模,也可借助体积公式利用 等积求高。 【练 65】 如图,直三棱柱 ABC—A1B1C1 中, 底面是等腰直角三角形,∠ACB=90°, 侧棱 AA1=2,D、E 分别是 CC1 与 A1B 的中点, 57

点 E 在平面 ABD 上的射影是△ABD 的垂心 G. (Ⅰ)求 A1B 与平面 ABD 所成角的大小 (结果用反三角函数值表示) ; (Ⅱ)求点 A1 到平面 AED 的距离. 解析:连结 BG,则 BG 是 BE 在面 ABD 的射影,即∠EBG 是 A1B 与平面 ABD 所成的角. 设 F 为 AB 中点,连结 EF、FC,

D, E分别是CC1 , A1B的中点, 又DC ? 平面ABC ,? CDEF 为矩形 连结DE , G是?ADB的重心,? G ? DF .在直角三角形EFD中 1 EF 2 ? FG ? FD ? FD 2 , EF ? 1,? FD ? 3. 3 1? 2 6 于是ED ? 2, EG ? ? . 3 3 FC ? CD ? 2,? AB ? 2 2, A1 B ? 2 3, EB ? 3. ? sin ?EBG ? EG 6 1 2 ? ? ? . EB 3 3 3 2 . 3

? A1 B与平面ABD所成的角是 arcsin
(Ⅱ)连结 A1D,有 VA ? AED
1

? VD? AA1E

? ED ? AB, ED ? EF, 又EF ? AB ? F ,
? ED ? 平面A1 AB , 设 A1 到平面 AED 的距离为 h,
则 S ?AED ? h ?

S ?A1AB ? ED

? A1 K ?

2 6. 3

故 A1 到平面 AED 的距离为

2 6 3

.

【易错点 62】二面角平面角的求法,主要有定义法、三垂线法、垂面法等。

例 62、 如图所示,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,已知 AA1=A1C1=a,E 为 BB1 的 中点,若截面 A1EC⊥侧面 AC1.求截面 A1EC 与底面 A1B1C1 所成锐二面角度数. 解法 1 ∵截面 A1EC∩侧面 AC1=A1C.连结 AC1,在正三棱 ABC-A1B1C1 中,

∵截面 A1EC⊥侧面 AC1,

数就是所求二面角的度数.易得∠A1AC1=45°,故所求二面角的度数是 45°. 解法 2 如图 3 所示,延长 CE 与 C1B1 交于点 F,连结 AF,则截面 A1EC∩面 A1B1C=AF. ∵EB1⊥面 A1B1C1,∴过 B1 作 B1G⊥A1F 交 A1F 于点 G,

58

连接 EG,由三垂线定理知∠EGB1 就是所求二面角的平面角.

即所求二面角的度数为 45°. 【知识点归类点拨】二面角平面角的作法:(1)垂面法:是指根据平面角的定义,作垂直于棱的平面,通 过这个平面和二面角两个面的交线得出平面角。(2)垂线法:是指在二面角的棱上取一特殊点,过此点在 二面角的两个半平面内作两条射线垂直于棱, 则此两条射线所成的角即为二面角的平面角; (3) 三垂线法: 是指利用三垂线定理或逆定理作出平面角; 【练 65】如图,已知直三棱柱 ABC-A1B1C1,侧棱长为 2,底面△ABC 中, ∠B=90°,AB=1,BC=

3 ,D 是侧棱 CC 上一点,且 BD 与底面所成角为 30°.
1

(1)求点 D 到 AB 所在直线的距离.

(2)求二面角 A1-BD-B1 的度数.

解析:①∵CC1⊥面 ABC, ∠B=90°,∴DB⊥AB, ∴DB 的长是点 D 到 AB 所在直线的距离, ∠DBC 是 BD 与底面所成的角,即∠DBC=30°,

∵BC=

3,

∴BD=

BC 3 ? cos?DBC cos30?

=2 .

②过 B1 作 B1E⊥BD 于 E,连 A1E,∵BB1⊥AB,AB⊥BC,且 BB1∩BC=B,∴AB⊥平面 BCC1B1,∵A1B1∥AB,∴A1B1 ⊥平面 BCC1B1,∵B1E⊥BD,∴A1E⊥BD,即∠A1EB1 是面 A1BD 与面 BDC1B1 所成二面角的平面角. ∵BC= 连 B1D .

3 ,BD=2,∴CD=1 .∵CC =2,∴D 为 CC 的中点
1 1

∴S△BDB1=

1 2

SBCC1B1



1 2

B1E?BD=

1 2

BC?CC1 即

1 2

B1E?2=

1 2

3 ?2∴B E= 3 在 Rt△A B E 中,
1 1 1

tan∠A1EB1=

A1 B1 1 3 3 ? ? ? ,? ?A1 EB1 ? arctan ? B1 E 3 3 6 3

【易错点 66】直线与双曲线的位置关系可通过分析直线方程与渐进线方程的位置关系,也可以联立直线方 程与双曲线方程通过判别式,两种方法往往会忽视一些特殊情形。

例 66、过点(0,3)作直线 l,如果它与双曲线 A、1 B、2 C、3 D、4

x2 y 2 ? ? 1 只有一个公共点,则直线 l 的条数是( 4 3



59

【易错点分析】在探讨直线与双曲线的位置关系时,可以考虑直线方程与双曲线方程的解的情况,但容易 忽视直线与渐进线平行的特殊情况,这时构成的方程是一次的。 解析:用数形结合的方法:过点(0,3)与双曲线只有一个公共点的直线分两类。一类是平行于渐进线的, 有两条;一类是与双曲线相切的有两条。 如图所示:

y

( 0 x , 3

O

故选(D)

)

60


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