当前位置:首页 >> 数学 >>

江苏省13大市2013年高三历次考试数学试题分类汇编6:数列


【推荐】江苏省 13 大市 2013 年高三历次考试数学试题分类汇编 6:数列
一、填空题 错误! 未指定书签。 . (扬州市 2012-2013 学年度第一学期期末检测高三数学试题) 如图所示:矩形 An Bn Cn Dn

的一边 An Bn 在 x 轴上,另两个顶点 Cn 、 Dn 在函数 f ( x) ? x ?

1 (

x ? 0) 的图像上,若点 Bn 的坐标为 x

? n, 0 ? (n ? 2, n ? N * ) ),矩形 An Bn Cn Dn 的周长记为 an ,则 a2 ? a3 ? ? ? ? ? a10 ? ____.
y Dn

Cn

O An
【答案】216

Bn

x

错误!未指定书签。 . (南京市、淮安市 2013 届高三第二次模拟考试数学试卷)已知数列{ an }的通项公式

为 an ? 7n ? 2 ,数列{ bn }的通项公式为 bn ? n2 .若将数列{ an },{ bn }中相同的项按从小到大的顺序 排列后看作数列{ cn },则 c9 的值为_____.
【答案】961 错误!未指定书签。 . (徐州、宿迁市 2013 届高三年级第三次模拟考试数学试卷)已知 Sn 是等差数列 ?an ? 的

?S ? 前 n 项和,若 S7 ? 7 , S15 ? 75 ,则数列 ? n ? 的前 20 项和为____. ?n?
【答案】55; 错误!未指定书签。 . (镇江市 2013 届高三上学期期末考试数学试题)在等比数列 {an } 中, S n 为其前 n 项

和,已知 a5 ? 2 S 4 ? 3 , a6 ? 2 S5 ? 3 ,则此数列的公比 q 为______.
【答案】

3;

错误!未指定书签。 . (江苏省泰州市 2012-20 13 学年度第一学期期末考试高三数学试题)各项均为正数的

等比数列 ?an ? 中,若 a1 ? 1 , a2 ? 2 , a3 ? 3 ,则 a4 的取值范围是_________
【答案】 ?

?9 ? ,8 ?2 ? ?

错误!未指定书签。 . (2012-2013 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(二)数学试题)在 1 和 9 之间插

入三个正数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的和为______.
【答案】 4

3 ?3

错误!未指定书签。 . (镇江市 2013 届高三上学期期末考试数学试题)观察下列等式:

3 1 1 3 × =1- 2, 1×2 2 2 1×2

1 4 1 1 3 1 4 1 5 1 1 × + × 2=1× + × 2+ × 3=12, 3,,由以上等式推测到一个一般的结论: 2 2×3 2 3×2 1×2 2 2×3 2 3×4 2 4×2 对于 n∈N , 3 1 4 1 n+2 1 × + × 2++ × n=______. 1×2 2 2×3 2 n? n+1? 2
【答案】 1 ?
*

?n ? 1? ? 2 n

1

错误!未指定书签。 . (江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市 2013 届高三第三次调研测试数学试卷)

, 过点 P(?1 0) 作曲线 C : y ? e x 的切线,切点为 T1 ,设 T1 在 x 轴上的投影是点 H1 ,过点 H1 再作曲线 C

的切线,切点为 T2 ,设 T2 在 x 轴上的投影是点 H 2 ,, 依次下去,得到第 n ? 1 (n ? N) 个切点 Tn ?1 .则点
Tn ?1 的坐标为______.
【答案】 n,n e

?

?
2

错误!未指定书签。 . (江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市 2013 届高三第三次调研测试数学试卷)

已知实数 a1,a2,a3,a4 满足 a1 ? a2 ? a3 ? 0 ,a1a4 ? a2a4 ? a2 ? 0 ,且 a1 ? a2 ? a3,则 a4 的取值范围是______.
【答案】

? ?1 ?2 5 ,?1?2 5 ?

错误!未指定书签。(江苏省苏锡常镇四市 2013 届高三教学情况调研(一)数学试题)设 S n , Tn 分别是等差数 .

列 ?an ? , ?bn ? 的前 n 项和,已知

S n 2n ? 1 ,n? N *, ? Tn 4n ? 2



a10 a11 ? ? _______. b3 ? b18 b6 ? b15
41 78

【答案】

错误!未指定书签。(苏州市 2012-2013 学年度第一学期高三期末考试数学试卷)某厂去年的产值为 1,若计 .

划在今后五年内每年的产值比上年增长 10%,则从今年起到第五年这五年内,这个厂的总产值约为 _________.(保留一位小数,取 1.15 ? 1.6 )
【答案】6.6 错误!未指定书签。 (南通市 2013 届高三第一次调研测试数学试卷) 若 Sn 为等差数列{an}的前 n 项 .

和,S9=-36,S13=-104,则 a5 与 a7 的等比中项为________.
【答案】答案: ?4 2 .

本题主要考查等差数列的基本概念及其简单运算. 法一 用性质.S9=9a5= -36,S13= 13a7= -104,于是 a5= -4,a7= -8,等比中项为 ?4 2 . 法二 用基本量.S9=9a1+36d= -36,S13=13a1+78d= -104,解得 a1=4,d= -2.下同法一.

错 误 ! 未 指 定 书 签 。 ( 常 州 市 2013 届 高 三 教 学 期 末 调 研 测 试 数 学 试 题 ) 已 知 数 列 .
n 1 4 12 , 2 ? an ?1 ? ? n ? N * ? ,则 ? a =______. 3 an ? 6 i ?1 i

?an ? 满 足

a1 ?

【答案】

2 ? 3n ? n ? 2 4

错误!未指定书签。 (江苏省无锡市 2013 届高三上学期期末考试数学试卷) 等差 数列{an}的公差为-2,且 .

a1,a3,a4 成等比数列,则 a20=_______________.
【答案】 ?30 错误!未指定书签。(南京市、盐城市 2013 届高三第三次模拟考试数学试卷)已知数列{an}的通项公式为 .
?an,an≤bn, an=-n+p,数列{bn}的通项公式为 bn=2n-5.设 cn=? 若在数列{cn}中,c8>cn(n∈N*,n≠8),则实 ?bn,an>bn, 数 p 的取值范围是________.

【答案】(12,17) 错误!未指定书签。(南京市、盐城市 2013 届高三年级第一次模拟考试数学试题)在等差数列 .

?an ? 中,



a3 ? a5 ? a7 ? 9 , 则其前 9 项和 S9 的值为
【答案】27

.

错误!未指定书签。 (连云港市 2012-2013 学年度第一学期高三期末考试数学试卷) 正项等比数列{an} . 中, a3a11 =16,则 log2 a2 ? log2 a12 =______. 【答案】4; 错误! 未指定书签。 . (苏北三市 (徐州、 淮安、 宿迁) 2013 届高三第二次调研考试数学试卷) 已知等比数列 {a n }

的前 n 项和为 S n ,若 a 2 a 8 ? 2a 3 a 6 , S 5 ? ?62 ,则 a1 的值是_____.
【答案】 ?2 错误!未指定书签。(南京市、淮安市 2013 届高三第二次模拟考试数学试卷)设数列{ an }是公差不为 0 的 .
2 2 2 2 等差数列,S 为其前 n 项和,若 a1 ? a2 ? a3 ? a4 , S5 ? 5 ,则 a7 的值为_____.

【答案】9 错误!未指定书签。(江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市 2013 届高三第三次调研测试数学试卷)各 .

项均为正数的等比数列 ?an ? 中, a2 ? a1 ? 1.当 a3 取最小值时,数列 ?an ? 的通项公式 an=______.
【答案】 2 n ?1 错误!未指定书签。 (扬州、南通、泰州、宿迁四市 2013 届高三第二次调研测试数学试卷)设数列{an}满 .

足: a3 ? 8, an?1 ? an ? 2?? 2an?1 ? an ? ? 0(n ?N* ) ,则 a1 的值大于 20 的概率为____. ?
【答案】 1 4 错误!未指定书签。(2012-2013 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(二)数学试题)已知数列 .

?an ? 的

通项公式为 an ? 2n ? 1,则数据 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 的方差为_____.

【答案】8 错误!未指定书签。 (江苏省盐城市 2013 届高三年级第二次模拟考试数学试卷) 若等比数列 .
2 am?3 ? 4 且 am am?4 ? a4 ( m ? N * 且 m ? 4 ),则 a1a5 的值为________.

?an ? 满足

【答案】16 错 误 ! 未 指 定 书 签 。 ( 扬 州 市 2012-2013 学 年 度 第 一 学 期 期 末 检 测 高 三 数 学 试 题 ) 数 列 .

?an ? 满 足

a1 ? 1, an ?1 ? 1 ? an (an ? 1) , (n ? N ? ) ,且
【答案】 ? 二、解 答题

1 1 1 ? ?? ? =2,则 a2013 ? 4a1 的最小值为____. a1 a2 a2012

7 2

错误!未指定书签。(江苏省苏锡常镇四市 2013 届高三教学情况调研(一)数学试题)设数列 .

?an ? 的各项均

为正数,其前 n 项的和为 S n ,对于任意正整数 m , n , S m ? n ? (1)若 a1 ? 1 ,求 a2 , a3 , a4 及数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 a4 ? a2 (a1 ? a2 ? 1) ,求证:数列 ?an ? 成等比数列.
【答案】

2a2 m (1 ? S 2 n ) ? 1 恒成立.

错 误 ! 未 指 定 书 签 。 ( 江苏 省 泰 州市 2012-2013 学年 度 第 一学 期 期末 考 试高三 数 学 试题 ) 已知数列 .

an ? n ? 16 , bn ? (?1)n n ?15 ,其中 n ? N *
(1)求满足 an ?1 = bn 的所有正整数 n 的集合 (2)n ? 16,求数列

bn 的最大值和最小值 an

(3)记数列 ?anbn ? 的前 n 项和为 Sn ,求所有满足 S2m ? S2n (m<n)的有序整数对(m,n)
【答案】(1)an+1=|bn|,n-15=|n-15|,当 n≥15 时,an+1=|bn|恒成立,

当 n<15 时,n-15=-(n-15) ,n=15 n 的集合{n|n≥15,n∈N*} (2)
n bn (?1) n ? 15 = n ? 16 an

(i)当 n>16 时,n 取偶数

1 bn n ? 15 = =1+ n ? 16 an n ? 16

当 n=18 时(

3 bn )max= 无最小值 2 an 1 bn =-1n ? 16 an

n 取奇数时

n=17 时(

bn )min=-2 无最大值 an
(?1) n (n ? 15) bn = n ? 16 an

(ii)当 n<16 时,

当 n 为偶数时

1 bn ? (n ? 15) = =-1n ? 16 n ? 16 an

n=14 时(

1 b 13 bn )max=- ( n )min=2 an 14 an 1 1 14 bn n ? 15 b = =1+ , n=1 , ( n )max=1= , n ? 16 15 15 an n ? 16 an

当 n 奇数

n=15,(

bn )min=0 an

综上,

3 bn 最大值为 (n=18)最小值-2(n=17) 2 an
n-1

(3)n≤15 时,bn=(-1) (n-15),a2k-1b2k-1+a2kb2k=2 (16-2k)≥0 ,n>15 时,bn=(-1) (n-15),a2k-1b2k-1+a2kb2k=2 (2k-16) >0,其中 a15b15+a16b16=0 ? S16=S14 m=7, n=8
错 误 ! 未 指 定 书 签 。 ( 常 州 市 2013 届 高 三 教 学 期 末 调 研 测 试 数 学 试 题 ) 已 知 数 列 {an } 是 等 差 数 .

n

列, a1 ? a2 ? a3 ? 15 ,数列 {bn } 是等比数列, b1b2b3 ? 27 . (1)若 a1 ? b2 , a4 ? b3 .求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (2)若 a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 是正整数且成等比数列,求 a3 的最大值.
【 答 案 】 解 :(1) 由 题 得 a2

? 5, b2 ? 3 , 所 以 a1 ? b2 ? 3 , 从 而 等 差 数 列 {an } 的 公 差 d ? 2 , 所 以

an ? 2n ? 1 ,从而 b3 ? a4 ? 9 ,所以 bn ? 3n ?1
(2)设等差数列 {an } 的公差为 d ,等比数列 ?bn ? 的公比为 q ,则 a1 ? 5 ? d , b1 ?
3 , a3 ? 5 ? d , b3 ? 3q . q

因为 a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 成等比数列,所以 (a1 ? b1 ) ? ( a3 ? b3 ) ? ( a2 ? b2 ) 2 ? 64 .

设?

?a1 ? b1 ? m , m, n ? N * , mn ? 64 , ? a3 ? b3 ? n

3 ? ?5 ? d ? ? m q 则? ,整理得, d 2 ? (m ? n)d ? 5(m ? n) ? 80 ? 0 . ?5 ? d ? 3q ? n ?
解得 d ?

n ? m ? (m ? n ? 10) 2 ? 36 (舍去负根). 2
2

? a3 ? 5 ? d , ? 要 使 得 a3 最 大 , 即 需 要 d 最 大 , 即 n ? m 及 ( m ? n ? 10)

取最 大

值.? m, n ? N * , mn ? 64 ,
? 当且仅当 n ? 64 且 m ? 1 时, n ? m 及 ( m ? n ? 10) 取最大值.
2

从而最大的 d ?

63 ? 7 61 , 2 73 ? 7 61 2

所以,最大的 a3 ?

错误!未指定书签。(2012-2013 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(二)数学试题)已知数列 .

?bn ? 满

足 b1 ?

1 1 , ? bn ?1 ? 2(n ? 2, n ? N *) . 2 bn

(1)求 b2 , b3 ,猜想数列 ?bn ? 的通项公式,并用数学归纳法证明;
n n (2)设 x ? bn , y ? bn ?1 ,比较 x 与 y 的大小.
x

y

【答案】[来源:学科网]

错 误 ! 未 指 定 书 签 。 ( 徐 州 、 宿 迁 市 2013 届 高 三年 级 第 三 次 模拟 考 试 数学试 卷 ) 已知数列 ?an ? 满 .

足: a1 ? a + 2(a ≥ 0) , an ?1 ?

an + a , n?N* . 2

⑴若 a ? 0 ,求数列 ?an ? 的通项公式; ⑵设 bn ? an?1 ? an ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn ,证明: Sn ? a1 .
【答案】⑴若 a ? 0 时, a1 ? 2 , an ?1 ?

an 2 ,所以 2an?1 ? an ,且 an ? 0 . 2

两边取对数,得 lg 2 + 2lg an?1 ? lg an , 化为 lg an?1 + lg 2 ? (lg an + lg 2) , 因为 lg a1 + lg 2 ? 2lg 2 , 所以数列 {lg an + lg 2} 是以 2lg 2 为首项,

1 2

1 为公比的等比数列 2

所以 lg an + lg 2 ? 2( )n?1 lg 2 ,所以 an ? 22 ⑵由 an ?1 ?

1 2

2?n ?1

an + a 2 ,得 2an?1 ? an + a ,① 2

当 n ≥ 2 时, 2a 2 ? an?1 + a ,② n ① ? ②,得 2(an?1 + an )(an?1 ? an ) ? an ? an?1 , 由已知 an ? 0 ,所以 an?1 ? an 与 an ? an?1 同号
2 因为 a2 ? a + 1 ,且 a ? 0 ,所以 a12 ? a2 ? (a + 2)2 ? (a + 1) ? a2 + 3a + 3 ? 0 恒成立,

所以 a2 ? a1 ? 0 ,所以 an?1 ? an ? 0 因为 bn ? an?1 ? an ,所以 bn ? ?(an?1 ? an ) , 所以 Sn ? ?[(a2 ? a1 ) + (a3 ? a2 ) + ? + (an?1 ? an )]

? ?(an?1 ? a1 ) ? a1 ? an?1 ? a1
错误!未指定书签。(南京市、盐城市 2013 届高三第三次模拟考试数学试卷)如图,一颗棋子从三棱柱的 .

1 一个顶点沿棱移到相邻的另一个顶点的概率均为 , 刚开始时, 棋子在上底面点 A 处, 若移了 n 次后, 3 棋 子落在上底面顶点的概率记为 pn. (1)求 p1,p2 的值; (2)求证: ∑ 1 n2 > . i=14Pi-1 n+1
n

A C

B

D F (第 23 题)

E

【答案】解(1)p1= ,

2 3

2 2 1 2 5 p2= × + ×(1- )= . 3 3 3 3 9

???????? 2 分

(2)因为移了 n 次后棋子落在上底面顶点的概率为 pn,故落在下底面顶点的概率为 1-pn.

2 1 1 1 于是移了 n+1 次后棋子落在上底面顶点的概率为 pn+1= pn+ (1-pn)= pn+ . 3 3 3 3 ???????? 4 分 1 1 1 从而 pn+1- = (pn- ). 2 3 2 1 1 1 所以数列{pn- }是等比数列,其首项为 ,公比为 . 2 6 3 1 1 1 - 1 1 1 所以 pn- = × )n 1.即 pn= + × n. ( 2 6 3 2 2 3 用数学归纳法证明: 1 3 1 3 1 ①当 n=1 时,左式= = ,右式= ,因为 > ,所以不等式成立. 2 5 2 5 2 4× -1 3 1 1 78 4 78 4 当 n=2 时,左式= + = ,右式= ,因为 > ,所以不等式成立. 2 5 55 3 55 3 4× -1 4× -1 3 9 ②假设 n=k(k≥2)时,不等式成立,即 ∑
k

???????? 6 分

1 k2 > . i=14Pi-1 k+1
k

则 n=k+1 时,左式= ∑

1 1 k2 1 k2 3k+1 + > + = + k+1 . 1 1 1 4Pk+1-1 k+1 k+1 3 +2 i=14Pi-1 4( + × k+1)-1 2 2 3

(k+1)2 k2 3k+1 要证 + k+1 ≥ , k+1 3 +2 k+2 只要证 只要证 只要证 (k+1)2 3k+1 k2 ≥ - . k+1 3 +2 k+2 k+1 k2+3k+1 3k+1 ≥ 2 . k+1 3 +2 k +3k+2 2 1 ≤ . 3k+1 k2+3k+1

只要证 3k+1≥2k2+6k+2. 因为 k≥2, 所以 3k+1=3(1+2)k≥3(1+2k+4C2)=6k2+3=2k2+6k+2+2k(2k-3)+1>2k2+6k+2, k (k+1)2 k2 3k+1 所以 + k+1 ≥ .[来源:Z#xx#k.Com] k+1 3 +2 k+2 即 n=k+1 时,不等式也成立. 由①②可知,不等式 ∑ 1 n2 > 对任意的 n∈N*都成立. ????????10 分 i=14Pi-1 n+1
n

错误!未指定书签。(南通市 2013 届高三第一次调研测试数学试卷)已知数列{an}中,a2=1,前 n 项和为 Sn, .

且 Sn ?

n(an ? a1 ) . 2

(1)求 a1; (2)证明数列{an}为等差数列,并写出其通项公式; (3)设 lg bn ?

an ?1 ,试问是否存在正整数 p,q(其中 1<p<q),使 b1,bp,bq 成等比数列?若存在,求出所有满 3n

足条件的数组(p,q);若不存在,说明理由.
【答案】解:(1)令 n=1,则 a1=S1=

1(a1 ? a1 ) =0 2
① ② ③ ④

(2)由 Sn ? 得

n(an ? a1 ) na ,即 Sn ? n , 2 2

Sn ?1 ?

(n ? 1)an ?1 . 2

②-①,得

(n ? 1)an ?1 ? nan .

于是, nan ? 2 ? (n ? 1)an ?1 .

③+④,得 nan ? 2 ? nan ? 2nan ?1 ,即 an ? 2 ? an ? 2an ?1 又 a1=0,a2=1,a2-a1=1, 所以,数列{an}是以 0 为首项,1 为公差的等差数列. 所以,an=n-1 (3)假设存在正整数数组(p, q),使 b1,bp,bq 成等比数列,则 lgb1,lgbp,lgbq 成等差数列, 于是,

2p 1 q ? ? 3 p 3 3q 2p 1 ? ) (☆). 3p 3 2( p ? 1) 2 p 2 ? 4 p 2p ? p ? p ?1 <0,故数列{ p }(p≥3)为递减数列, 3 p ?1 3 3 3

所以, q ? 3q (

易知(p,q)=(2,3)为方程(☆)的一组解 当 p≥3,且 p∈N*时, 于是

2p 1 ? ≤ 2 ? 3 ? 1 <0,所以此时方程(☆)无正整数解. 3 33 3p 3

综上,存在唯一正整数数对(p,q)=(2,3),使 b1,bp,bq 成等比数列 注 在得到③式后,两边相除并利用累乘法,得通项公式并由此说明其为等差数列的,亦相应评分.但 在做除法过程中未对 n≥2 的情形予以说明的,扣 1 分. 本题主要考查等差数列与等比数列的基础知识及基本运算,考查创新能力.两个基本数列属 C 能要求, 属高考必考之内容,属各级各类考试之重点. 第(3)问中,若数列{an}为等差数列,则数列{ k an }(k>0 且 k≠1)为等比数列;反之若数列{an}为等比数 列,则数列{ log a an }(a>0 且 a≠1)为等差数列. 第(3)问中,如果将问题改为“是否存在正整数 m,p,q(其中 m<p<q),使 bm,bp,bq 成等比数列?若存在, 求出所有满足条件的数组(m,p,q);若不存在,说明理由.”那么,答案仍然只有唯一组解.此时,在解 题时,只须添加当 m≥2 时,说明方程组无解即可,其说明思路与原题的解题思路基本相同. a 对于第(2)问,在得到关系式: (n ? 1)an ?1 ? nan 后,亦可将其变形为 n ?1 ? n ,并进而使用累乘法(迭 an n ?1 乘法),先行得到数列{an}的通项公式,最后使用等差数列的定义证明其为等差数列亦可.但需要说明 n≥2.

考虑到这是全市的第一次大考,又是考生进入高三一轮复习将近完成后所进行的第一次大规模的检 测,因而在评分标准的制定上,始终本着让学生多得分的原则,例如本题中的第(1)问 4 分,不设置任何 的障碍,基本让学生能得分.

错误!未指定书签。 (江苏省盐城市 2013 届高三年级第二次模拟考试数学试卷) 已知数列 {an } 满足 .
n a1 ? 2 , an?1 ? an ?1 ? (n ? 1) .

(1)证明: an ? n ( n ? 3 ); (2)证明: 2 ? 3 3 ? 4 4 ? ? ? n n ? 2 .

盐城市 2013 届高三年级第二次模拟考
【答案】(1)因为 a1
3 ? 2, a2 ? 2, 所以 a3 ? a2 ? 3 ? 5 ? 3.

k 假设当 n ? k ? 1 时,因为 ak ?1 ? k k ?1 ? k 2 ? k ? 9k ? 2k ? 2 , k 所以, ak ?1 ? ak ?1 ? k ?1 ? k ? 1. 由数学归纳法知,当 n ? 3 时 an ? n n n (2)由(1)知, an ? an?1 ? n ? 0, 得 an?1 ? n ,

n? 所以 an?1 ? n n. 所以 an?1 ? ? n ? 1? ? 2

n

n? n , 即 an?1 ? ? n ? 1? ? n n , 2

n ?1 n ? 1 ? n n ,以此类推,得 2 ? a1 ? 所以 an ? 2 ?

2 ? 3 3 ? 4 4 ? ? ? n n ,问题得证

错误!未指定书签。(江苏省盐城市 2013 届高三年级第二次模拟考试数学试卷)设 S n 是各项均为非零实数 .

的数列 ?an ? 的前 n 项和,给出如下两个命题上: 命题 p : ?an ? 是等差数列;命题 q :等式 成立,其中 k, b 是常数. ⑴若 p 是 q 的充分条件,求 k, b 的值; ⑵对于⑴中的 k 与 b ,问 p 是否为 q 的必要条件,请说明理由;

1 1 1 kn ? b ? ??? ? 对任意 n ( n ? N * )恒 a1a 2 a 2 a3 a n a n ?1 a1a n?1

2 2 ⑶若 p 为真命题,对于给定的正整数 n ( n ? 1 )和正数 M,数列 ?an ? 满足条件 a1 ? an?1 ? M ,试求 S n

的最大值.

【答案】解:(1)设

?a ? 的公差为 d ,则原等式可化为
n

1? 1 1 1 1 1 1 ? kn ? b 1 nd kn ? b , 所以 ? , ? ? ? ? ? ??? ? ?? d ? a1 a2 a2 a3 an an ?1 ? a1an ?1 d a1an?1 a1an?1
即 ? k ?1? n ? b ? 0 对于 n ? N 恒成立,所以 k ? 1, b ? 0.
?

(2)当 k ? 1, b ? 0 时,假设 p 是否为 q 的必要条件,即“若
? 任意的 n n ? N 恒成立,则 an ? 为等差数列”.

1 1 1 n ①对于 ? ?? ? ? a1a2 a2 a3 an an?1 a1an?1

?

?

?

当 n ? 1 时,

1 1 显然成立 ? a1a2 a1a2 1 1 1 n ?1 ②,由①-②得, ? ?? ? ? a1a2 a2 a3 an?1an a1an?1

当 n ? 2 时,

1 1 ? n n ?1 ? ? ? ? ? ,即 nan ? ? n ?1? an?1 ? a1 ③. an an?1 a1 ? an?1 an ?
当 n ? 2 时, a1 ? a3 ? 2a2 ,即 a1 、 a2 、 a3 成等差数列, 当 n ? 3 时, ? n ?1? an?1 ? ? n ? 2? an ? a1 ④,即 2an ? an?1 ? an?1 .所以 an ? 为等差数列,即 p 是否为

?

q 的必要条件
2 2 (3)由 a1 ? an?1 ? M ,可设 a1 ? r cos? , an?1 ? r sin ? ,所以 r ?

M.
r sin ? ? r cos ? , n

设 an ? 的公差为 d ,则 an?1 ? a1 ? nd ? r sin ? ? r cos? ,所以 d ? 所以 an ? r sin ? ?
2

?

? a1 ? an ? n ? ? n ? 1? cos? ? ? n ? 1? sin ? r r sin ? ? r cos ? , Sn ? n 2 2
2

?

? n ? 1? ? ? n ? 1?
2

? M ?

2 2 M ? n 2 ? 1? ,所以 Sn 的最大值为 M ? n 2 ? 1? 2 2

错误!未指定书签。(镇江市 2013 届高三上学期期末考试数学试题)一位幼儿园老师给班上 k ( k ? 3) 个小朋 .

友分糖果.她发现糖果盒中原有糖果数为 a0 ,就先从别处抓 2 块糖加入盒中,然后把盒内糖果的

1 分 2

1 给第一个小朋友;再从别处抓 2 块糖加入盒中,然后把盒内糖果的 分给第二个小朋友;,以后她总是 3
在分给一个小朋友后,就从别处抓 2 块糖放入盒中,然后把盒内糖果的

1 分给第 n( n ? 1,2,3,? k ) 个 n ?1

小朋友.如果设分给第 n 个小朋友后(未加入 2 块糖果前)盒内剩下的糖果数为 an . (1) 当 k ? 3 , a0 ? 12 时,分别求 a1 , a2 , a3 ; (2) 请用 an ?1 表示 an ;令 bn ? ( n ? 1)an ,求数列 {bn } 的通项公式; (3)是否存在正整数 k ( k ? 3) 和非负整数 a0 ,使得数列 {an } ( n ? k ) 成等差数列,如果存在,请求出所 有的 k 和 a0 ,如果不存在,请说明理由.

【答案】解:(1)当 k ? 3 , a0 ? 12 时, a1 ? ?a0 ? 2 ? ?

1 ?a0 ? 2? ? 7 , 2

1 ?a1 ? 2? ? 6 , a3 ? ?a2 ? 2? ? 1 ?a2 ? 2? ? 6 3 4 1 (2)由题意知: an ? ?an ?1 ? 2 ? ? ?an ?1 ? 2? ? n ?an ?1 ? 2? , n ?1 n ?1
即 ?n ? 1?an ? n?an ?1 ? 2 ? ? nan ?1 ? 2n , ? bn ? ( n ? 1)an ,? bn ? bn ?1 ? 2n,

a2 ? ?a1 ? 2 ? ?

? bn ? bn ?1 ? 2n, bn ?1 ? bn ?2 ? 2n ? 2, ? b1 ? b0 ? 2.
累加得 bn ? b0 ?

?2 ? 2n ? n ? n?n ? 1? ,
2

又 b0 ? a0 ,? bn ? n?n ? 1? ? a0

(3)由 bn ? n?n ? 1? ? a0 ,得 an ? n ?

a0 , n ?1

若存在正整数 k ( k ? 3) 和非负整数 a0 ,使得数列 {an } ( n ? k ) 成等差数列, 则 a1 ? a3 ? 2a2 , 即 (1 ? a0 ) ? 3 ?

1 2

a0 ? a ? ? 2 ? 2 ? 0 ? ? a0 ? 0 , 4 3? ?

当 a0 ? 0 时, an ? n ,对任意正整数 k ( k ? 3) ,有 {an } ( n ? k ) 成等差数列

[注:如果验证 a0 , a1 , a2 不能成等差数列,不扣分] 【说明】本题主要考查数列的定义、通项求法;考查反证法;考查递推思想;考查推理论证能力;考查 阅读理解能力、建模能力、应用数学解决问题能力.本题还可以设计:如果班上有 5 名小朋友,每个小 朋友都分到糖果,求 a0 的最小值.

错误!未指定书签。(南京市、盐城市 2013 届高三第三次 模拟考试数学试卷)记等差数列{an}的前 n 项和为 .

Sn.
(1)求证:数列{ }是等差数列; (2)若 a1=1,且对任意正整数 n,k(n>k),都有 Sn+k+ Sn-k=2 Sn成立,求数列{an}的通项公式; (3)记 bn=aan (a>0),求证:

Sn n

b1+b2+?+bn b1+bn ≤ . n 2

【答案】解(1)设等差数列{an}的公差为 d,则 Sn=na1+

n(n-1) Sn n-1 d,从而 =a1+ d. 2 n 2

所以当 n≥2 时, -

Sn Sn-1 n-1 n-2 d =(a1+ d)-(a1+ d)= . n n-1 2 2 2

即数列{ }是等差数列 (2)因为对任意正整数 n,k(n>k),都有 Sn+k+ Sn-k=2 Sn成立, 所以 Sn+1+ Sn-1=2 Sn,即数列{ Sn}是等差数列 设数列{ Sn}的公差为 d1,则 Sn= S1+(n-1)d1=1+(n-1)d1, 所以 Sn=[1+(n-1)d1] ,所以当 n≥2 时,
2

Sn n

an=Sn-Sn-1=[1+(n-1)d1]2-[1+(n-2)d1]2=2d2n-3d2+2d1, 1 1
因为{an}是等差数列,所以 a2-a1=a3-a2,即 (4d2-3d2+2d1)-1=(6d2-3d2+2d1)-(4d2-3d2+2d1), 1 1 1 1 1 1 所以 d1=1,即 an=2n-1. 又当 an=2n-1 时,Sn=n , Sn+k+ Sn-k=2 Sn对任意正整数 n,k(n>k)都成立,
2

因此 an=2n-1 (3)设等差数列{an}的公差为 d,则 an=a1+(n-1)d,bn=aan, 所以

bn d =aan an-1=a , bn-1

即数列{bn}是公比大于 0,首项大于 0 的等比数列 记公比为 q(q>0). 以下证明:b1+bn≥bp+bk,其中 p,k 为正整数,且 p+k=1+n. 因为(b1+bn)-(bp+bk)=b1+b1q -b1q -b1q =b1(q -1)( q -1). 当 q>1 时,因为 y=q 为增函数,p-1≥0,k-1≥0, 所以 q -1≥0,q -1≥0,所以 b1+bn≥bp+bk. 当 q=1 时,b1+bn=bp+bk. 当 0<q<1 时,因为 y=q 为减函数,p-1≥0,k-1≥0, 所以 q -1≤0,q -1≤0,所以 b1+bn≥bp+bk. 综上,b1+bn≥bp+bk,其中 p,k 为正整数,且 p+k=1+n 所以 n(b1+bn)=(b1+bn)+(b1+bn)++(b1+bn) ≥(b1+bn)+(b2+bn-1)+(b3+bn-2)++(bn+b1) =(b1+b2++bn)+(bn+bn-1++b1), 即
p-1 k-1 x p-1 k-1 x n-1 p-1 k-1 p-1 k-1

b1+b2+?+bn b1+bn ≤ n 2
+

错误! 未指定书签。 江苏省无锡市 2013 届高三上学期期末考试数学试卷) . ( 已知数列{an}中,a1=2,n∈N ,an>0,

数列{an}的前 n 项和 Sn,且满足 an ?1 ?

2 . Sn?1Sn ? 2

(Ⅰ)求{Sn}的通项公式; (Ⅱ)设{bk}是{Sn)中的按从小到大顺序组成的整数数列. (1)求 b3; + (2)存在 N(N∈N ),当 n≤N 时,使得在{Sn}中,数列{bk}有且只有 20 项,求 N 的范围.

【答案】

错误!未指定书签。(江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市 2013 届高三第三次调研测试数学试卷)已 .

知数列 ?an ? 是首项为 1,公差为 d 的等差数列,数列 ?bn ? 是首项为 1,公比为 q (q ? 1) 的等比 数列. (1)若 a5 ? b5 , q ? 3 ,求数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和; (2)若存在正整数 k (k≥2) ,使得 ak ? bk .试比较 a n 与 bn 的大小,并说明理由.
【答案】解:(1)依题意, a5 ? b5 ? b1q5?1 ? 1? 34 ? 81 ,

故d ?

a5 ? a1 81 ? 1 ? ? 20 , 5 ?1 4

所以 an ? 1 ? 20(n ? 1) ? 20n ? 19 , 令 Sn ? 1?1 ? 21? 3 ? 41? 32 ? ??? ? (20n ? 19) ? 3n?1 , 则 3Sn ? ①

1? 3 ? 21? 32 ? ??? ? (20n ? 39) ? 3n?1 ? (20n ? 19) ? 3n , ②

① ? ②得, ?2Sn ? 1+20 ? 3 ? 32 ? ??? ? 3n?1 ? (20n ? 19) ? 3n ,

?

?

? 1+20 ?

3(1 ? 3n?1 ) ? (20n ? 19) ? 3n 1? 3

? (29 ? 20n) ? 3n ? 29 ,

所以 Sn ?

(20n ? 29) ? 3n ? 29 2

(2)因为 ak ? bk , 所以 1 ? (k ? 1)d ? qk ?1 ,即 d ?

q k ?1 ? 1 , k ?1

故 an ? 1 ? (n ? 1) 又 bn ? qn?1 ,

qk ?1 ? 1 , k ?1

? q k ?1 ? 1? 所以 bn ? an ? q n ?1 ? ?1 ? (n ? 1) k ?1 ? ? ?
? 1 ?(k ? 1) ? q n ?1 ? 1? ? (n ? 1) ? q k ?1 ? 1?? ? k ?1 ?

q ?1 ? (k ? 1) ? qn?2 ? qn?3 ? ??? ? q ? 1? ? (n ? 1) ? qk ?2 ? qk ?3 ? ??? ? q ? 1?? ? k ?1 ? (ⅰ)当 1 ? n ? k 时,由 q ? 1 知 ? bn ? an ? ? q ?1 ? (k ? n) ? qn?2 ? qn?3 ? ??? ? q ? 1? ? (n ? 1) ? qk ?2 ? qk ?3 ? ??? ? qn?1 ?? ? k ?1 ?

q ?1 ?(k ? n)(n ? 1)qn?2 ? (n ? 1)(k ? n)q n?1 ? ? k ?1 ?

??

(q ? 1)2 qn?2 (k ? n)(n ? 1) k ?1

?0, (ⅱ)当 n ? k 时,由 q ? 1 知

bn ? an ? ?

q ?1 ? (k ? 1) ? qn?2 ? qn?3 ? ??? ? qk ?1 ? ? (n ? k ) ? qk ?2 ? qk ?3 ? ??? ? q ? 1?? ? k ?1 ?

q ?1 ?(k ? 1)(n ? k )qk ?1 ? (n ? k )(k ? 1)q k ?2 ? ? k ?1 ?

? (q ? 1)2 qk ?2 (n ? k ) ? 0 ,
k 综上所述,当 1 ? n ? k 时, an ? bn ;当 n ? k 时, an ? bn ;当 n ? 1, 时, an ? bn .

(注:仅给出“ 1 ? n ? k 时, an ? bn ; n ? k 时, an ? bn ”得 2 分.)
[来源:学*科*网] 错误!未指定书签。(南通市 2013 届高三第一次调研测试数学试卷)解答时应写出文字说明、证明过程或 .

演算步骤. 已知数列{an}满足: a1 ? 2a ? 2, an ?1 ? a an ?1 ? 1(n ? N* ) . (1)若 a ? ?1 ,求数列{an}的通项公式; (2)若 a ? 3 ,试证明: 对 ?n ? N* ,an 是 4 的倍数.
a ?1 【答案】解:(1)当 a ? ?1 时, a1 ? ?4, an ?1 ? (?1) n ? 1 .

令 bn ? an ? 1 ,则 b1 ? ?5, bn ?1 ? (?1)bn . 因 b1 ? ?5 为奇数, bn 也是奇数且只能为 ?1 ,

??5, n ? 1, ??4, n ? 1, 所以, bn ? ? 即 an ? ? ??1, n ? 2, ?0, n ? 2.

(2)当 a ? 3 时, a1 ? 4, an ?1 ? 3an ?1 ? 1 下面利用数学归纳法来证明:an 是 4 的倍数. 当 n ? 1 时, a1 ? 4 ? 4 ? 1 ,命题成立; 设当 n ? k (k ? N* ) 时,命题成立,则存在 t ? N*,使得 ak ? 4t , [来源:学科网]

? ak ?1 ? 3ak ?1 ? 1 ? 34t ?1 ? 1 ? 27 ? (4 ? 1) 4(t ?1) ? 1 ? 27 ? (4m ? 1) ? 1 ? 4(27 m ? 7) ,
3 其中, 4m ? 44(t ?1) ? C1 t ?1) ? 44t ?5 ? ? ? (?1) r C r t ?1) ? 44t ? 4 ? r ? ? ? C4t t??1) ? 4 , 4( 4( 4(

? m ? Z ,? 当 n ? k ? 1 时,命题成立.
? 由数学归纳法原理知命题对 ?n ? N* 成立

错误! 未指定书签。 南京市、 ( . 盐城市 2013 届高三年级第一次模拟考试数学试题) 若数列

?an ? 是首项为 6 ? 12t ,

公差为 6 的等差数列;数列 (1)求数列

?bn ? 的前 n 项和为 Sn ? 3n ? t .

?an ? 和?bn ? 的通项公式; ?bn ? 是 等 比 数 列 ,
试 证 明 : 对 于 任 意 的 n( n ? N , n ? 1) , 均 存 在 正 整 数

(2) 若 数 列

cn , 使 得

bn?1 ? acn

, 并求数列

?cn ? 的前 n 项和 Tn ;
使得“ d k ? d k ?1 与 d k ? d k ?1 ”同

(3)设数列

?d n ? 满足 d n ? an ? bn , 且?d n ? 中不存在这 样的项 d k ,

? 时成立(其中 k ? 2 , k ? N ), 试求实数的取值范围.

南京市、盐城市 2013 届高三年级第一次模拟考试 数学附加题部分 (本部分满分 40 分,考试时间 30 分钟)
【答案】解: (1)因为

?an ? 是等差数列,所以 an ? (6 ? 12t ) ? 6(n ? 1) ? 6n ? 12t
bn ? (3n ? 1) ? (3n?1 ? 1) ? 2 ? 3n?1 ,

而数列

?bn ? 的前 n 项和为 Sn ? 3n ? t ,所以当 n ? 2 时,

n ?1 ? 3 ? t, bn ? ? n ?1 ?2 ? 3 , n ? 2 又 b1 ? S1 ? 3 ? t ,所以

(2)证明:因为

?bn ? 是等比数列,所以 3 ? t ? 2 ? 31?1 ? 2 ,即 t ? 1 ,所以 an ? 6n ? 12
? 2 ? 3n ? 6 ? 3n?1 ? 6 ? (3n?1 ? 2) ? 12 ,

对任意的 n( n ? N , n ? 1) ,由于 bn?1

n ?1 cn ? 3n?1 ? 2 ? N * ,则 acn ? 6(2 ? 3 ) ? 12 ? bn?1 ,所以命题成立 令

1 ? 3n 1 n 1 ?cn ? 的前 n 项和 Tn ? 2n ? 1 ? 3 ? 2 ? 3 ? 2n ? 2 数列
?6(3 ? t )(1 ? 2t ), n ? 1 dn ? ? n n ? 2, ? 4(n ? 2t )3 , (3)易得
由于当 n ? 2 时,

d n?1 ? d n ? 4(n ? 1 ? 2t )3

n ?1

3 ? 8[n ? (2t ? )] ? 3n ? 4(n ? 2t )3 2 ,所以
n

①若

2t ?

3 7 ?2 t? 2 4 ,则 d n?1 ? d n ,所以当 n ? 2 时,?d n ? 是递增数列,故由题意得 ,即

d1 ? d 2 ,即 6(3 ? t )(1 ? 2t ) ? 36(2 ? 2t ) ,解得

?5 ? 97 ?5 ? 97 7 ?t ? ? 4 4 4,

②若

2 ? 2t ?

3 7 9 ?3 ?t ? 2 4 ,则当 n ? 3 时,?d n ? 是递增数列,, ,即 4 t? 7 4

2 3 故由题意得 d 2 ? d 3 ,即 4(2t ? 2)3 ? 4(2t ? 3)3 ,解得

③若

m ? 2t ?

3 m 3 m 5 ? m ? 1(m ? N , m ? 3) ? ? t ? ? (m ? N , m ? 3) 2 2 4 ,即 2 4 ,

则当 2 ? n ? m 时,

?d n ? 是递减数列,

当 n ? m ? 1 时,

?d n ? 是递增数列,
m ?1

则由题意,得 d m ? d m?1 ,即 4(2t ? m)3

m

? 4(2t ? m ? 1)3

,解得

t?

2m ? 3 4

?5 ? 97 ?5 ? 97 2m ? 3 ?t ? t? 4 4 4 (m ? N , m ? 2) 综上所述,的取值范围是 或
错误!未指定书签。(镇江市 2013 届高三上学期期末考试数学试题)已知函数 f ( x ) ? ln(2 ? x ) ? ax 在区间 .

(0,1) 上是增函数.
(1)求实数 a 的取值范围; (2)若数列 ?an ? 满足 a1 ? (0,1) , an ?1 ? ln(2 ? an ) ? an , n ? N* ,证明 0 ? an ? an ?1 ? 1 .

【答案】解:(1)? 函数 f ( x ) ? ln(2 ? x ) ? ax 在区间 (0,1) 上是增函数.

? f ??x ? ?

?1 ? a ? 0 在区间 (0,1) 上恒成立, 2? x 1 1 ,又 g ?x ? ? 在区间 (0,1) 上是增函数 ?a ? 2? x 2? x

? a ? g ?1? ? 1 即实数 a 的取值范围为 a ? 1
(2)先用数学归纳法证明 0 ? an ? 1 . 当 n ? 1 时, a1 ? (0,1) 成立, 假设 n ? k 时, 0 ? ak ? 1 成立, 当 n ? k ? 1 时,由(1)知 a ? 1 时,函数 f ?x ? ? ln ?2 ? x ? ? x 在区间 (0,1) 上是增函数

? ak ?1 ? f ?ak ? ? ln ?2 ? ak ? ? ak
即 0 ? ak ?1 ? 1 成立, 下证 a n ? an ?1 .

? 0 ? ln 2 ? f ?0 ? ? f ?ak ? ? f ?1? ? 1 ,
[来源:学科网]

? 当 n ? N ? 时, 0 ? an ? 1 成立

? 0 ? an ? 1, ? an ?1 ? an ? ln ? 2 ? an ? ? ln1 ? 0.

?a n ? an ?1 .

综上 0 ? an ? an ?1 ? 1

错误!未指定书签。(苏北三市(徐州、淮安、宿迁)2013 届高三第二次调研考试数学试卷)已知数列 {a n } .

满足 a n?1 ?

1 2 1 a n ? na n ? 1(n ? N * ), 且 a1 ? 3. 2 2

(1) 计算 a 2 , a 3 , a 4 的值,由此猜想数列 {a n } 的通项公式,并给出证明;
n (2) 求证:当 n ? 2 时, a n ? 4n n .

徐州市 2012—2013 学年度高三第一次质量检
【答案】⑴ a2 ? 4 , a3 ? 5 , a4 ? 6 ,猜想: an ? n + 2(n ? N* )

①当 n ? 1 时, a1 ? 3 ,结论成立; ②假设当 n ? k (k ≥1, k ?N* ) 时,结论成立,即 ak ? k + 2 ,

2 则当 n ? k + 1 时, ak ?1 ? ak ? kak ? 1= (k + 2)2 ? k (k +2)+1=k +3=(k +1)+2 ,

1 2

1 2

1 2

1 2

即当 n ? k + 1 时,结论也成立,由①②得,数列{an } 的通项公式为 an ? n + 2(n ? N* ) ⑵原不等式等价于 (1 + )n ≥ 4 . 证明:显然,当 n ? 2 时,等号成立; 当 n ? 2 时, (1 ? )n ? C0 ? C1 n n

2 n

2 n

2 2 2 2 2 n 2 ? C2 ( )2 ? ? ? Cn ( )n ≥ C0 ? C1 ? C2 ( )2 ? C3 ( )3 n n n n n n n n n n n

> C0 ? C1 n n

2 2 2 ? C2 ( )2 ? 5 ? ? 4 , n n n n

n 综上所述,当 n ≥ 2 时, an ≥ 4nn

错误!未指定书签。(扬州市 2012-2013 学年度第一学期期末检测高三数学试题)已知数列 {an } 的前 n 项和 .

为 Sn . (Ⅰ)若数列 {an } 是等比数列,满足 2a1 公式; (Ⅱ)是否存在等差数列 {an } ,使对任意 n ? N * 都有 an ? S n ? 2n 2 (n ? 1) ?若存在,请求出所有满足条 件的等差数列;若不存在,请说明理由. [来源:Zxxk.Com]
【答案】解:(Ⅰ)设等比数列

? a3 ? 3a 2 , a3 ? 2 是 a 2 , a 4 的等差中项,求数列 ?a n ? 的通项

?a n ?的首项为 a1 ,公比为 q ,

依题意,有 ? 由

? a1 (2 ? q 2 ) ? 3a1 q, (1) ? 2a1 ? a3 ? 3a 2 , 即? 3 2 ?a 2 ? a 4 ? 2(a3 ? 2). ?a1 (q ? q ) ? 2a1 q ? 4. (2)

(1) 得 q 2 ? 3q ? 2 ? 0 ,解得 q ? 1 或 q ? 2 . ? 1 时,不合题意舍;
? 2 时,代入(2)得 a1 ? 2 ,所以, a n ? 2 ? 2 n ?1 ? 2 n

当q 当q

(Ⅱ)假设存在满足条件的数列 {an } ,设此数列的公差为 d ,则 方法 1: [a1 ? (n ? 1)d ][a1 n ?

n(n ? 1) d ] ? 2n 2 (n ? 1) ,得 2

d2 2 3 3 1 n ? ( a1 d ? d 2 )n ? (a12 ? a1 d ? d 2 ) ? 2n 2 ? 2n 对 n ? N * 恒成立, 2 2 2 2

?d2 ? 2 ? 2, ? ?3 2 则 ? a1 d ? d ? 2, 2 ? 1 2 ? 2 3 ?a1 ? 2 a1 d ? 2 d ? 0, ?
解得 ?

?d ? 2, ?d ? ?2, 或? 此时 an ? 2n ,或 an ? ?2n . ?a1 ? 2, ?a1 ? ?2.

故存在等差数列 {an } ,使对任意 n ? N * 都有 an ? S n ? 2n 2 (n ? 1) .其中 an ? 2n , 或 an ? ?2n 方法 2:令 n ? 1 , a12 ? 4 ,得 a1 ? ?2 ,
2 令 n ? 2 ,得 a2 ? a1 ? a2 ? 24 ? 0 ,

①当 a1 ? 2 时,得 a2 ? 4 或 a2 ? ?6 , 若 a2 ? 4 ,则 d ? 2 , an ? 2n , S n ? n(n ? 1) ,对任意 n ? N * 都有 an ? S n ? 2n 2 (n ? 1) ; 若 a2 ? ?6 ,则 d ? ?8 , a3 ? ?14 , S3 ? ?18 ,不满足 a3 ? S3 ? 2 ? 32 ? (3 ? 1) .

②当 a1 ? ?2 时,得 a2 ? ?4 或 a2 ? 6 , 若 a2 ? ?4 ,则 d ? ?2 , an ? ?2n , S n ? ? n(n ? 1) ,对任意 n ? N * 都有 an ? S n ? 2n 2 (n ? 1) ; 若 a2 ? 6 ,则 d ? 8 , a3 ? 14 , S3 ? 18 ,不满足 a3 ? S3 ? 2 ? 32 ? (3 ? 1) . 综 上 所 述 , 存 在 等 差 数 列 {an } , 使 对 任 意 n ? N * 都 有 an ? S n ? 2n 2 (n ? 1) . 其 中 an ? 2n , 或

an ? ?2n
错误!未指定书签。(苏北三市(徐州、淮安、宿迁)2013 届高三第二次调研考试数学试卷)已知 a ? 0, b ? 0, .

且 a ? b ? 0, 令 a1 ? a, b1 ? b, 且对任意正整数 k ,当 a k ? bk ? 0 时, a k ?1 ?

1 1 3 a k ? bk , bk ?1 ? bk ; 当 2 4 4

1 1 3 a k ? bk ? 0 时, bk ?1 ? ? a k ? bk , a k ?1 ? a k . 4 2 4
(1) 求数列 {a n ? bn } 的通项公式; (2) 若对任意的正整数 n , a n ? bn ? 0 恒成立,问是否存在 a, b 使得 {bn } 为等比数列?若存在,求出
a, b 满足的条件;若不存在,说明理由;

(3) 若对任意的正整数 n, a n ? bn ? 0, 且 b2n ?

3 b2n?1 , 求数列 {bn } 的通项公式. 4

1 1 3 an ? bn 且 bn?1 ? bn , 2 4 4 1 1 3 1 所以 an?1 ? bn?1 ? an ? bn ? bn ? (an ? bn ) , [来源:学科网] 2 4 4 2 1 1 3 又当 an ? bn ? 0 时, bn?1 ? ? an ? bn 且 an?1 ? an , 4 2 4 3 1 1 1 an?1 ? bn?1 ? an ? an ? bn ? (an ? bn ) , 4 4 2 2 1 因此,数列 ?a n ? bn ?是以 a ? b 为首项, 为公比的等比数列, 2
【答案】⑴当 an ? bn ≥ 0 时, an?1 ?

所以, a n ? bn ? (a ? b) ? ?

?1? ?2?

n ?1

⑵因为 an ? bn ? 0 ,所以 a n ?1

3 ? 3? ? a n ,所以 an ? a ? ? 4 ? 4?
n ?1

n ?1

,

?1? bn ? (a ? b) ? ? ?2?

n ?1

?1? ? an ? (a ? b) ? ? ? 2?

? 3? ? a? ? ? 4?

n ?1

,

假设存在 a , b ,使得 ?bn ? 能构成等比数列,则 b1 ? b , b2 ? 故(

2b ? a 4b ? 5a , b3 ? , 4 16

2b ? a 2 4b ? 5a ) ?( )b ,化简得 a ? b ? 0 ,与题中 a ? b ? 0 矛盾, 4 16

故不存在 a , b 使得 ?bn ? 为等比数列 ⑶因为 an + bn ? 0 且 b2 n ? 所以

3 1 1 b2 n ?1 ,所以 b2 n ? ? a 2 n ?1 ? b2 n ?1 4 4 2

3 1 1 1 3 1 b2 n ?1 ? ? a2n?1 ? b2n?1 ? ? a2n?1 ? b2n?1 ? b2n?1 4 4 2 4 4 4
3 4 1 4

所以 (b2n?1 ? b2n?1 ) ? ? (a2n?1 ? b2n?1 ) ,

?1? 由⑴知, a2 n ?1 ? b2 n ?1 ? (a ? b) ? ? ?2?

2n?2

,所以 b2 n ?1 ? b2 n ?1 ? ?

a?b?1? ? ? 3 ?2?

2n?2

b2n?1 ? b1 ? (b3 ? b1 ) ? ?(b2n?1 ? b2n?3 )
?b? a?b? ?1? ?1? ?1? ?1? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? ?2? ?2? ? 2? ? 2? ?
2 4 6 2n?4

? ? ? ?

? ? 1 ?n ?1 ? n ?1 ?1 ? ? a?b? ?4? ? 4(a ? b) ? ? 1 ? ? ? ? ?b? ?b? ?1 ? ? ? ? , 3 ? 1? 1 ? 9 ? ?4? ? ? ? ? 4 ? ? ?

n 3 3 (a ? b) ? ? 1 ? ? b2 n ? b2 n ?1 ? b ? 1? ? ? ? , ? 4 4 3 ? ?4? ? ? ?
n ?1 ? ? ? ?b ? 4(a ? b) ?1 ? ? 1 ? 2 ? , n为奇数时, ? ? ?4? ? 9 ? ? ? ? ? 所以, bn ? ? n ? 3 (a ? b) ? ? 1 ? 2 ? ?1 ? ? ? b? ? , n为偶数时. 3 ? ?4? ? ?4 ? ? ?

错误!未指定书签。(扬州、南通、泰州、宿迁四市 2013 届高三第二次调研测试数学试卷)设无穷数列 ?an ? .

满足: ?n ? Ν ? , an ? an?1 , an ? N? .记 bn ? aan, n ? aan ?1 (n ?N* ) . c (1)若 bn ? 3n(n ? N* ) ,求证: a1 =2,并求 c1 的值; (2)若 ?cn ? 是公差为 1 的等差数列,问 ?an ? 是否为等差数列,证明你的结论.

数学 II(附加题)
【答案】 【解】(1)因为 an ? N? ,所以若 a1 ? 1 ,则 aa1 ? a1 ? 3 矛盾,

≥ 若 a1≥3 ? aa1 ,可得 1 a1≥3 矛盾,所以 a1 ? 2

于是 a2 ? aa1 ? 3 ,从而 c1 ? aa1 ?1 ? a3 ? aa2 ? 6 (2) ?an ? 是公差为 1 的等差数列,证明如下:
an?1 ? an ? n≥2 时, an ? an?1 ,所以 an≥an?1 ? 1 ? an≥am ? (n ? m) , (m ? n)

? aan?1 ?1≥aan ?1 ? an?1 ? 1 ? (an ? 1) ,
≥ 即 cn?1 ? cn≥an?1 ? an ,由题设, 1 an ?1 ? an ,又 an ?1 ? an≥1 ,

所以 an ?1 ? an ? 1,即 ?an ? 是等差数列

错误!未指定书签。(连云港市 2012-2013 学年度第一学期高三期末考试数学试卷)已知数列{an}中,a2=a(a .

为非零常数),其前 n 项和 Sn 满足:Sn=

n(an-a1)
2

(n?N*).

(1)求数列{an}的通项公式; 1 2 (2)若 a=2,且 am ? Sn ? 11 ,求 m、n 的值; 4

(3)是否存在实数 a、b,使得对任意正整数 p,数列{an}中满足 an ? b ? p 的最大项恰为第 3p-2 项?若存 在,分别求出 a 与 b 的取值范围;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)证明:由已知,得 a1=S1=

1?(a1-a1) nan =0,?Sn= , 2 2

(n+1)an+1 则有 Sn+1= , 2 ?2(Sn+1-Sn)=(n+1)an+1-nan,即(n-1)an+1=nan n?N*, ?nan+2=(n+1)an+1, 两式相减得,2an+1=an+2+an n?N*, 即 an+1-an+1=an+1-an n?N*, 故数列{an}是等差数列. 又 a1=0,a2=a,?an=(n-1)a (2)若 a=2,则 an=2(n-1),?Sn=n(n?1).

1 2 2 2 2 2 由 am ? Sn ? 11 ,得 n ?n+11=(m?1) ,即 4(m?1) -(2n?1) =43, [来源:Z。xx。k.Com] 4 ?(2m+2n?3)(2m-2n?1)=43 ∵43 是质数, 2m+2n?3>2m-2n?1, 2m+2n?3>0,
?2m-2n-1=1 ?? ,解得 m=12,n=11 ?2m+2n-3=43

(III)由 an+b?p,得 a(n-1)+b?p. 若 a<0,则 n? 若 a>0,则 n?

p-b +1,不合题意,舍去; a p-b +1. a

∵不等式 an+b?p 成立的最大正整数解为 3p-2, [来源:Z#xx#k.Com] p-b ?3p-2? +1<3p-1,

a

即 2a-b<(3a-1)p?3a-b,对任意正整数 p 都成立. 1 ?3a-1=0,解 得 a= , 3 2 2 此时, -b<0?1-b,解得 <b?1. 3 3 1 2 故存在实数 a、b 满足条件, a 与 b 的取值范围是 a= , <b?1 3 3
错误!未指定书签。(苏州市 2012-2013 学年度第一学期高三期末考试数学试卷) .

设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,满足 an ? S n ? An 2 ? Bn ? 1 ( A ? 0 ).

3 9 , a2 ? ,求证数列 ?an ? n? 是等比数列,并求数列 ?an ? 的通项公式; 2 4 B ?1 (2)已知数列 ?an ? 是等差数列,求 的值. A
(1)若 a1 ?

【答案】

错误!未指定书签。(南京市、淮安市 2013 届高三第二次模拟考试数学试卷)已知数列 {an } 的各项都为正 .

数,且对任意 n ? N * ,都有 an?1 ? an an?2 ? k (k 为常数).
2

(1)若 k ? (a2 ? a1 ) ,求证: a1 , a2 , a3 成等差数列;(2)若 k=0,且 a2 , a4 , a5 成等差数列,求
2

a2 的值; a1

(3)已知 a1 ? a, a2 ? b ( a , b 为常数),是否存在常数 ? ,使得 an ? an?2 ? ? an?1 对任意 n ? N * 都成立? 若存在.求出 ? ;若不存在,说明理由.
【答案】

错误!未指定书签。(2012-2013 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(二)数学试题)已知等差数列 .

?an ?

的公差 d 不为零,且 a3 ? a7 , a2 ? a4 ? a6 .
2

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,求满足 Sn ? 2an ? 20 ? 0 的所有正整数 n 的集合.
【答案】

错误!未指定书签。(常州市 2013 届高三教学期末调研测试数学试题)空间内有 n 个平面,设这 n 个平面最 .

多将空间分成 an 个部分. (1)求 a1 , a2 , a3 , a4 ; (2)写出 an 关于 n 的表达式并用数学归纳法证明.
【答案】解:(1) a1

? 2, a2 ? 4, a3 ? 8, a4 ? 15 ;

(2) an ?

当 n ? 1 时显然成立,

1 3 (n ? 5n ? 6) .证明如下: 6
?

1 3 (k ? 5k ? 6) , 6 则当 n ? k ? 1 时,再添上第 k ? 1 个平面,因为它和前 k 个平面都相交,所以可得 k 条互不平行且不共 点 的 交 线 , 且 其 中 任 3 条 直 线 不 共 点 , 这 k 条 交 线 可 以 把 第 k ?1 个 平 面 划 最 多 分 成 1 [(k ? 1) 2 ? (k ? 1) ? 2)] 个部分,每个部分把它所在的原有空间区域划分成两个区域.因此,空间区域 2 1 2 的 总 数 增 加 了 [ (k ? 1) ? k ? 1) 2 ) ] ( ? 2 1 1 1 个 , ? ak ?1 ? ak ? [(k ? 1) 2 ? (k ? 1) ? 2)] ? (k 3 ? 5k ? 6) ? [(k ? 1) 2 ? (k ? 1) ? 2)] 2 6 2 1 ? [(k ? 1)3 ? 5(k ? 1) ? 6)] , 6 即当 n ? k ? 1 时,结论也成立. 1 综上,对 ?n ? N ? , an ? (n3 ? 5n ? 6) . [来源:学*科*网] 6
设 n ? k (k ? 1, k ? N ) 时结论成立,即 ak ?


相关文章:
江苏省13大市2013年高三历次考试数学试题分类汇编6:数列
【推荐】江苏省 13 大市 2013 年高三历次考试数学试题分类汇编 6:数列一、填空题 错误! 未指定书签。 1 (扬州市 2012-2013 学年度第一学期期末检测高三数学试...
13大市2013年高三历次考试数学试题分类汇编6:数列
【推荐】江苏省 13 大市 2013 年高三历次考试数学试题分类汇编 6:数列一、填空题 1 . (扬州市 2012-2013 学年度第一学期期末检测高三数学试题)如图所示:矩形 ...
【推荐】江苏省13大市2013年高三历次考试数学试题分类汇编6:数列
【推荐】江苏省 13 大市 2013 年高三历次考试数学试题分类汇编 6:数列一、填空题 1 . (扬州市 2012-2013 学年度第一学期期末检测高三数学试题) 如图所示:矩形...
江苏省13大市2013年高三历次考试数学试题分类汇编11:概率
【推荐】江苏省 13 大市 2013 年高三历次考试数学试题分类汇编 11:概率一、填空题 1 . (江苏省泰州市 2012-2013 学年度 第一学期期末考试高三数学试题)如图,...
【推荐】江苏省13大市2013年高三历次考试数学试题分类汇编
【推荐】江苏省 13 大市 2013 年高三历次考试数学试题分类汇编 2:函数一、填空题 1 . (江苏省 泰州、南通、扬州、 宿迁、淮安五 市 2013 届高三第三次调 ...
江苏省13大市2013年高三历次考试数学试题分类汇编14:常用逻辑用语
江苏省13大市2013年高三历次考试数学试题分类汇编14:常用逻辑用语江苏省13大市2013...R ,s: 数列 ( n ? a ) ? 2 ? 是递增数 列;t:a ? 1 ,则 s 是...
【推荐】江苏省13大市2013年高三历次考试数学试题分类汇编15:导数
【推荐】江苏省13大市2013年高三历次考试数学试题分类汇编15:导数_数学_高中教育...x2 ,对一切正整数 n ,数列 {an } x2 ? x ? 1 定义如下: a1 ? 1 ...
江苏省13大市2013年高三历次考试数学试题分类汇编15:导数
【推荐】江苏省 13 大市 2013 年高三历次考试数学试题分类汇编 15:导数一、填空...x ?1 ,对一切正 整数 n ,数列 {an } 定义如下: a1 ? 且 an ?1 ? ...
江苏省13大市2013年高三历次考试数学试题分类汇编12:统计
高三历次考试数学试题分类汇编高三历次考试数学试题分类汇编隐藏>> 江苏省 13 大市 2013 年高三历次考试数学试题分类汇编 12 :统计一、填空题 1(南京市、盐城市 ...
更多相关标签: