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湖南省师范大学附属中学2015-2016学年高二上学期期中考试文数试题


时量 120 分钟,满分 150 分 第 I 卷(必修 5 模块结业考试,满分 100 分) 一、选择题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分,在每个小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求. 1. 在等差数列 ?an ? 中,首项 a1 ? 2 公差 d ? 2, an ? 32 ,则项数 n 为 ( A.13 B.14 C.15
2

r />)

D.16
2 2

2. 在 ?ABC 中,已知 a ? b ? c ? 2ab ,则∠C= ( A.30° B.45°C. 150° D.135° 3. 已知 2, a ,4 成等比数列,则实数 a 等于( A. 2 2 B. ?2 2 C. ?2 2 )
2

)

)

D. 8

4. 下列不等式中成立的是( A.若 a > b ,则 ac ? bc
2

2 2 B. 若 a ? b ,则 a ? b

C. 若 a ? b ? 0 ,则 a ? ab ? b
2

2

D. 若 a ? b ? 0 ,则

a b ? b a

5.



?an ? 为等差数列, Sn


为其前 n 项和,若首项 a1 ? 7 ,公差 d ? ?2 ,则使 Sn ,最

大的序号 n 为( A.2

B. 3 C. 4 D. 5

6.

?x ? y ? 2 ? 0 ? 在平面直角坐标系中,不等式组 ? x ? y ? 2 ? 0 ,表示的平面区域的面积是( ? y?0 ?
A. 4 2 B. 4 C. 2 2 ) D.2



7.

下列结论中正确的是(

A. 当 x ? 0 且 x ? 1 时, lg x ? C. 当 x ? 3 时, x ?

1 ?2 lg x

B. 当 x ? 0 时, x ? D.当 0 ? x ? 1 时, x ?

1 ?2 x

1 的最小值是 2 x

1 无最大值 x

二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.请把答案填在答题卷对应题号后的横

线上. 8. 9.

?ABC 中, B ?

?
4

, b ? 2, a ? 4 ,则角 A 等于___________.
a b

若实数 a 、 b 满足 a ? b ? 2 ,则 3 ? 3 的最小值是_________.

10. 设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 S7 ? 42 ,则 a4 =_______. 三、解答题:本大题共 4 个小题,共 50 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

11.(本小题满分 12 分) 已知 a, b, c 分别为 ?ABC 内角 A,B,C 的对边, b ? 2a sin B ,且 b ? a . (1)求 A; (2)若 a ? 2, c ? 2 3 ,求 ?ABC 的面积. 12. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ?10ax ? 16a2 . (1) 求关于 x 的不等式 f ( x) ? 0 的解集; (2) 设 a ? 0 ,且当 x ? (0, ??) 时,不等式 13.(本小题满分 13 分) 某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验,计划搭载若干件新产品 A、B,该所要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生的收益来 决定具体搭载安排,有关数据如下表:

f ( x) ? ?2 恒成立,求 a 的取值范围. x

每件产品 A 研制成本、搭载 20 费用之和(万元) 产品重量(千克) 预计收益(万元) 10 80

每件产品 B 计划最大资金额 30 300 万元 5 60 最大搭载重量 110 千克

如何安排这两种产品的搭载件数,才能使总预计收益达到最大,最大收益是多少? 14.(本小题满分 13 分)

已知正项等比数列 ?an ? 满足: a1 ? (1) 求数列 ?an ? 的通项公式;

1 1 , a2 ?a4 ? . 2 64

(2) 记数列 ?nan ? 的前 n 项为 Tn ,求证:对于任意正整数 n , 第 II 卷(满分 50 分)

1 ? Tn ? 2 . 2

一、选择题:本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分,在每个小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 15. “ p 为真命题”是“ p ? q 为真命题”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 )

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

16. 已知向量 a ? (cos750 ,sin 750 ), b ? (cos150 ,sin150 ) ,则 a ? b 的值为( A.

1 2

B.1

C.2

D.3

17. 将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角 A ? BD ? C ,有如下四个结论: ① AC ? BD ② ?ACD 是等边三角形 ③ AB 与平面 BCD 所成的角为 60° ④ AB 与 )

CD 所成的角为 60°.其中正确结论的个数是(
A.1 B. 2 C.3 D.4

二、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共 15 分,请把答案填在答题卷对应题号后的横 线上. 18. 将函数 y ?

? 3 1 sin 2 x ? cos 2 x 的图像向右平移 ? 个单位( 0 ? ? ? )得到函数 2 2 2

y ? sin 2x 的图像,则 ? =____________________.
19.设正实数 x, y , z 满足 x2 ? xy ? 4 y 2 ? z ? 0 .则当 为__________________. 三、解答题:本大题共 2 小题,共 25 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 20. (本小题满分 12 分) 已知圆 C: x ? y ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 .
2 2

z 取得最小值时, x ? 4 y ? z 的最大值 xy

(1) 写出圆 C 的标准方程,并指出圆心坐标和半径大小 ;

(2) 是否存在斜率为 1 的直线 m,使 m 被圆 C 截得的弦为 AB,且 OA ? OB (O 为坐标 原点) .若存在,求出直线 m 的方程;若不存在,说明理由. 21. (本小题满分 13 分) 对于函数 f1 ( x), f 2 ( x), h( x) ,如果存在实数 a 、 b 使得 h( x) ? af1 ( x) ? bf 2 ( x) ,那么称

h( x) 为 f1 ( x), f 2 ( x) 的生成函数.
(1) 下面给出两组函数, h( x) 是否为 f1 ( x), f 2 ( x) 的生成函数?并说明理由; 第一组: f1 ( x) ? sin x, f 2 ( x) ? cos x, h( x) ? sin( x ?

?
3

);

第二组: f1 ( x) ? x2 ? x, f 2 ( x) ? x2 ? x ? 1, h( x) ? x2 ? x ? 1. (2) 设 f1 ( x) ? log 2 x , f 2 ( x) ? log 1 x , a ? 2, b ? 1 ,生成函数 h( x) ,若不等式
2

3h2 ( x) ? 2h( x) ? t ? 0 在 x ?? 2, 4? 上有解,求实数 t 的取值范围.

参考答案 第I 卷 一、选择题 1.D 2.B 3.C 4. D 5. C 6. B 7. B

二、填空题 8.

? 9. 6 10. 6 6

三、解答题 11.【解析】 (1)由 b ? 2a sin B 及正弦定理得

sin B ? 2sin A sin B ??????????????????..(2 分)
因为 B ? (0, ? ) ,所以 sin B ? 0 ,从而 sin A ?

1 ???????(4 分) 2

在 ?ABC 中,由 b ? a 知 B ? A ,故 A 必为锐角,所以 A ?

?

6

???(6 分)

(2)由 a ? 2, c ? 2 3, A ?

?
6

及余弦定理 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ,得 b2 ? 6b ? 8 ? 0 ,

解之得 b ? 2 或 4,又 b ? a ,故 b ? 4 ???????????????.(10 分) 所以 S ?

1 bc sin A ? 2 3 ?????????????.(12 分) 2

12.【解析】 (1)由 f ( x) ? 0 得 x2 ? 10ax ? 16a 2 ? 0 ,即 ( x ? 2a)( x ? 8a) ? 0 ???(2 分) 所以①当 a ? 0 时, f ( x) ? 0 的解集是 (2a,8a) ;?????????????...(3 分) ②当 a ? 0 时, f ( x) ? 0 的解集是 ?0? ;???????????????????..(4 分) ③当 a ? 0 时, f ( x) ? 0 的解集是 (8a, 2a) ;?????????????????.(5 分) (2) x ? (0, ??) 时,不等式

f ( x) ? ?2 恒成立,等价于 x ? (0, ??) 时, x

? f ( x) ? ? ?2 ?????????????????????????????(7 分) ? ? x ? ? min
而 x ? (0, ??) 时,

f ( x) 16a 2 16a 2 ? x? ? 10a ? 2 x? ? 10a ? ?2a , x x x

当且仅当 x ? 故函数

16a 2 即 x ? 4a 时等号成立????????????????(10 分) x

f ( x) 在 (0, ??) 上的最小值是 ?2a , x

由 ?2a ? ?2 ,得 a ? 1 ,又 a ? 0 ,故 a 的取值范围是 (0,1) ?????????.(12 分) 13.【解析】设搭载 A 产品 x 件,B 产品 y 件, 则总预计收益 z ? 80 x ? 60 y ??????????????????????(2 分)

?20 x ? 30 y ? 300 ? 10 x ? 5 y ? 110 ? 由题意知 ? ,且 x ? N , y ? N ,?????????????(6 分) x?0 ? ? y?0 ?
由此作出可行域如图所示,?????????????????????????(8 分)

作出直线 la : 4 x ? 3 y ? 0 并平移,由图象知, 当直线经过 M 点时, z 能取到最大值,??????????????????(10 分) 由?

?2 x ? 3 y ? 30 ?x ? 9 解得 ? 且满足 x ? N , y ? N , ? 2 x ? y ? 22 ?y ? 4

即 M (9, 4) 是最优解,?????????????????????????..(11 分) 所以 zmax ? 80 ? 9 ? 60 ? 4 ? 960 (万元) ,????????????????...(12 分) 答:搭载 A 产品 9 件,B 产品 4 件,能使总预计收益达到最大值,最大预计收益为 960 万 元.?????????????????????????????????.(13 分)
2 2 14.【解析】 (1)由 ?an ? 为等比数列知 a2 ? ,故 a3 ? a4 ? a3

1 1 , a3 ? ????.(2 分) 64 8

所以 q 2 ?

1 a3 1 ? ,又 q ? 0 ,故 q ? ,?????????????????.(4 分) 2 a1 4

n ∴ an ? ( ) (n ? N ) ????????????????????????(6 分)

1 2

1 n ,???????????????????.. 2 2n 1 2 3 4 n ?1 n 所以 Tn ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 ? n ,① 2 2 2 2 2 2 2 3 4 n ?1 n 2Tn ? 1 ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 2 ? n ?1 ,② 2 2 2 2 2 1 1 1 n ②-①得: Tn ? 1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 ? n , 2 2 2 2
n (2)由(1) an ? ( ) ,故 nan ?

1 1 ? ( )n 2 ? n ? 2 ? n ? 2 ,???????????????????.(10 分) Tn ? 1 2n 2n 1? 2 n ?1 由 Tn ?1 ? Tn ? (n ? 1)an ?1 ? n ?1 ? 0 ,得 T1 ? T2 ? T3 ? ? ? Tn , 2 1 故 Tn ? T1 ? ??????????????????????????..(12 分) 2 n?2 又 Tn ? 2 ? n ? 2 , 2 1 因此对于任意正整数 n, ? Tn ? 2 ???????????????????..(13 分) 2
一、 选择题:本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分,在每小题给出的四个选项中,只

有一项是符合题目要求的. 15. B 16. B 【 解 析 】 法 ; 1 :

a ?b ?

a 2 ? 2a? b ? b2 ? 2 ? 2(cos 750 cos150 ? sin 750 sin150 )
0

? 2 ? 2cos 60 ? 1
法 2: a ? b ? 1,且 a 与 b 的夹角为 60°,则 a ? b ? a ? b ? 1 17. C 【解析】①②④正确,③AB 与平面 BCD 所成的角应为 45°. 二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分,请把答案填在答题卷对应题号后 的横线上. 18. 19.

? 12
3 2
【 解 析 】 由 已 知

z ? x2 ? xy ? 4 y 2



x 4y z x2 ? xy ? 4 y 2 x 4 y x 4y ,即 x ? 2 y 时 ? ? ? ? 1 ? 2 ? ? 1 ? 3 ,当且仅当 ? y x xy xy y x y x
x ? 4 y ? z ? 2 y ? 4 y ? 4 y 2 ? 2 y 2 ? 4 y 2 ? ?6 y 2 ? 6 y 1 等号成立,则 ,当 y ? 时, 1 2 3 2 ? ?6( y ? ) ? 2 2
( x ? 4 y ? z ) max ? 3 . 2

三、解答题:本大题共 2 小题,共 25 分,解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤. 20. 【解析】 (1) 圆 C 的标准方程为:( x ?1) ? ( y ? 2) ? 9 ,则圆心 C 的坐标为 (1, ?2) ,
2 2

半径为 3;????????????????????????????(4 分) (2)假设存在这样的直线 m,根据题意可设直线 m : y ? x ? b .

? x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 4 ? 0 联立直线与圆的方程 ? 得: 2 x2 ? 2(b ? 1) x ? b2 ? 4b ? 4 ? 0 , y ? x?b ?
2 因为直线与圆相交,所以 ? ? 0 ,即 b ? 6b ? 9 ? 0 ,

b 2 ? 4b ? 4 且满足 x1 ? x2 ? ?b ?1 , x1 x2 ? , 2
设 A( x1, y1 ), B ? x2 , y2 ? ,则 y1 ? x1 ? b, y2 ? x2 ? b , 由 OA ? OB 得 OA? OB ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 所以 x1x2 ? ( x1 ? b)( x2 ? b) ? 2x1x2 ? b( x1 ? x2 ) ? b2 ? 0 , 即 b ? 3b ? 4 ? 0 ,得 b ? ?4 或 b ? 1 ,且均满足 b ? 6b ? 9 ? 0 ,
2 2

??? ? ??? ?

故所求直线 m 存在,方程为 y ? x ? 4 或 y ? x ? 1 .??????????(12 分)

(2)依题意得 h( x) ? 2 f1 ( x) ? f 2 ( x) ? 2log 2 x ? log 1 x ? log 2 x ,????(6 分)
2

不等式 3h ( x) ? 2h( x) ? t ? 0 在在 x ? ? 2, 4? 上有解,
2

即 t ? ?3h2 ( x) ? 2h( x) ? ?3log2 2 x ? 2log 2 x 在 x ? ? 2, 4? 上有解,① 令 y ? ?3log2 2 x ? 2log 2 x , x ? ? 2, 4? , 则①等价于 t ? ymax ,????????????????????????..(10 分) 令 s ? log2 x ,则 s ??1, 2? ,

2 ?5 ,?????????.(12 由 y ? ?3log2 2 x ? 2log2 x ? ?3s ? 2s ,知 y 的最大值是

分) 所以 t 的取值范围是 (??, ?5) ???????????????????????(13 分)


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