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广东省汕头市2015届高考数学二模试卷(理科)


广东省汕头市 2015 届高考数学二模试卷(理科)
一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分) 2 1. (5 分)已知集合 A={1,2z ,zi},B={2,4},i 为虚数单位,若 A∩B={2},则纯虚数 z 为 () A.i B . ﹣i C.2i D.﹣2i 2. (5 分)已知随机变量 X 服从正态分布 N(5,4) ,且 P( X>k)=P( X<k﹣4) ,则 k 的值为() A.6 B. 7 C. 8 D.9 3. (5 分)抛物线 y= x 的焦点到准线的距离为() A.2 B. 1 C. D.
2

4. (5 分)以下说法错误的是() A.“log3a>log3b”是“( ) <( ) 充分不必要条件 B. ?α,β∈R,使 sin(α+β)=sinα+sinβ C. ?m∈R,使 f(x)=m
2 a b

是幂函数,且在(0,+∞)上单调递增
2

D.命题“?x∈R,x +1>3x”的否定是“?x∈R,x +1<3x”

5. (5 分)已知 x,y 满足约束条件

,若 z=y﹣ax 取得最大值的最优解不唯一,

则实数 a 的值为() A. 或﹣1 B. 2 或 C.2 或﹣1 D.2 或 1

6. (5 分)某师傅用铁皮制作一封闭的工件,其三视图如图所示(单位长度:cm,图中水平线 与竖线垂直) ,则制作该工件用去的铁皮的面积为(制作过程铁皮的损耗和厚度忽略不计) ()

A.100(3+

)cm B.200(3+

2

)cm C.300(3+

2

)cm D.300cm

2

2

7. (5 分)某教育机构随机某校 20 个班级,调查各班关注汉字听写大赛的学生人数,根据所 得数据的茎叶图,以组距为 5 将数据分组成[0,5) ,[5,10) ,[10,15) ,[15,20) ,[20,25) , [25,30) ,[30,35) ,[35,40]时,所作的频率分布直方图如图所示,则原始茎叶图可能是()

A.

B.

C.

D.

8. (5 分)定义:若函数 f(x)的图象经过变换 T 后所得图象对应函数的值域与 f(x)的值 域相同,则称变换 T 是 f(x)的同值变换.下面给出四个函数及其对应的变换 T,其中 T 不 属于 f(x)的同值变换的是() 2 A.f(x)=(x﹣1) ,T 将函数 f(x)的图象关于 y 轴对称 x﹣1 B. f(x)=2 ﹣1,T 将函数 f(x)的图象关于 x 轴对称 C. f(x)=2x+3,T 将函数 f(x)的图象关于点(﹣1,1)对称 D. ,T 将函数 f(x)的图象关于点(﹣1,0)对称

二、填空题(共 5 小题) 9. (5 分)不等式|x﹣1|>x﹣1 的解集为. 10. (5 分)已知等差数列{an}满足 a2+a4+a2012+a2014=8,且 Sn 是该数列的前 n 和,则 S2015=. 11. (5 分)如图,设甲地到乙地有 4 条路可走,乙地到丙地有 5 条路可走,那么,由甲地经 乙地到丙地,再由丙地经乙地返回甲地,共有种不同走法

12. (5 分)如图,在△ ABC 中,∠B=

,点 D 在 BC 上,cos∠ADC= ,则 cos∠BAD=.

13. (5 分)执行如图所示的程序框图,如果输入的 t∈[﹣2,2],则输出的 S 的取值范围是

三、坐标系与参数方程选做题(满分 5 分) 14. (5 分) (坐标系与参数方程选讲选做题) 在极坐标系中,定点 AB 最短时,点 B 的极坐标为. ,点 B 在直线 上运动,当线段

四、几何证明选做题(满分 0 分) 15. 如图, PA 与圆 O 相切于 A, PCB 为圆 O 的割线, 并且不过圆心 O, 已知∠BPA=30°, PA=2 PC=1,则圆 O 的半径等于.



五、解答题(共 6 小题) 16. (12 分)已知函数 f(x)=Asin( (1)求 A 的值. x+ ) ,x∈R,且 f(﹣2015)=3

(2)指出函数 f(x)在 x∈[0,8]上的单调区间(不要求过程) . (3)若 f( ﹣1)+f( +1)= ,a∈[0,π],求 cos2a.

17. (12 分)随着三星 S6 手机的上市,很多消费者觉得价格偏高,尤其是大部分学生可望而 不可及,因此我市沃尔玛“三星手机专卖店”推出无抵押分期付款购买方式,该店对最近 100 名 采用分期付款的购买者进行统计,统计结果如下表所示: 付款方式 分1期 分2期 分3期 分4期 分5期 频数 35 25 a 10 b 已知分 3 期付款的频率为 0.15, 并且店销售一部三星 S6, 顾客分 1 期付款, 其利润为 1000 元; 分 2 期或 3 期付款,其利润为 1500 元;分 4 期或 5 期付款,其利润为 2000 元,以频率作为 概率.以此样本估计总体,试解决以下问题 (Ⅰ)求事件 A:“购买的 3 位顾客中,恰好有 1 名顾客分 4 期付款”的概率; (Ⅱ)用 X 表示销售一部三星 S6 手机的利润,求 X 的分布列及数学期望. 18. (14 分)如图,在三棱锥 P﹣ABC 中,PA⊥面 ABC,∠BAC=120°,且 AB=AC=AP,M 为 PB 的中点,N 在 BC 上,且 BN= BC (1)求证:MN⊥AB (2)求二面角 P﹣AN﹣M 的余弦值.

19. (14 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,首项 a1=1,且对于任意 n∈N+都有 2Sn﹣nan+1=0, 数列{bn}满足 bn= ,T(n)是数列{bn}的前 n 项和.

(1)求数列{an}的通项公式 (2)用数学归纳法证明:当 n≥2 时,n+T(1)+T(2)+T(3)+…+T(n﹣1)=nT(n) (3)设 An= + + …+ ,试证: <An< .

20. (14 分)已知 a>0,且 a≠1 函数 f(x)=loga(1﹣a ) (1)求函数 f(x)的定义域,判断并证明 f(x)的单调性 (2)当 a=e(e 为自然对数的底数)时,设 h(x)=(1﹣e ) (x ﹣m+1) ,若函数 h(x) 的极值存在,求实数 m 的取值范围以及函数 h(x)的极值.
f(x) 2

x

21. (14 分)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的一个焦点 F(

,0)其短轴上的一个端

点到 F 的距离为 (1)求椭圆 C 的;离心率及其标准方程 2 2 (2)点 P(x0,y0)是圆 G:x +y =4 上的动点,过点 P 作椭圆 C 的切线 l1,l2 交圆 G 于点 M, N,求证:线段 MN 的长为定值.

广东省汕头市 2015 届高考数学二模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分) 1. (5 分)已知集合 A={1,2z ,zi},B={2,4},i 为虚数单位,若 A∩B={2},则纯虚数 z 为 () A.i B . ﹣i C.2i D.﹣2i 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 根据 A,B,以及 A 与 B 的交集,得到元素 2 属于 A,列出关于 z 的方程,求出方程 的解即可确定出 z. 2 解答: 解:∵A={1,2z ,zi},B={2,4},且 A∩B={2}, 2 ∴2z =2 或 zi=2, 解得:z=±1(不合题意,舍去)或 z=﹣2i, 则纯虚数 z 为﹣2i. 故选:D. 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 2. (5 分)已知随机变量 X 服从正态分布 N(5,4) ,且 P( X>k)=P( X<k﹣4) ,则 k 的值为() A.6 B. 7 C. 8 D.9
2

考点: 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 根据正态曲线关于 x=5 对称,得到两个概率相等的区间关于 x=5 对称,得到关于 k 的方程,解方程即可. 解答: 解:∵随机变量 X 服从正态分布 N(5,4) ,且 P( X>k)=P( X<k﹣4) , ∴ ,

∴k=7, 故选 B. 点评: 本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,本题主要考查曲线关于 x=5 对 称,考查关于直线对称的点的特点,本题是一个基础题.
2

3. (5 分)抛物线 y= x 的焦点到准线的距离为() A.2 B. 1 C. D.

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据抛物线的方程求得抛物线的焦点坐标和准线的方程,进而利用点到直线的距离 求得焦点到准线的距离. 解答: 解:抛物线 y= x 可知焦点 F(0,1) ,准线方程 y=﹣1, ∴焦点到准线的距离是 1+1=2. 故选:A. 点评: 本题主要考查了抛物线的简单性质.考查了学生对抛物线标准方程的理解和运用, 属基础题. 4. (5 分)以下说法错误的是() A.“log3a>log3b”是“( ) <( ) 充分不必要条件 B. ?α,β∈R,使 sin(α+β)=sinα+sinβ C. ?m∈R,使 f(x)=m
2 a b 2

是幂函数,且在(0,+∞)上单调递增
2

D.命题“?x∈R,x +1>3x”的否定是“?x∈R,x +1<3x” 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑. 分析: A.“log3a>log3b”?a>b>0?“( ) <( ) ,即可判断出; B.?α,β=0∈R,使 sin(α+β)=sinα+sinβ; 3 C.?m=1∈R,使 f(x)=x 在(0,+∞)上单调递增; 2 2 D.命题“?x∈R,x +1>3x”的否定是“?x∈R,x +1≤3x”,即可判断出.
a b

解答: 解:A.“log3a>log3b”?a>b>0?“( ) <( ) ,因此“log3a>log3b”是“( ) <( ) 充分不必要条件,正确; B.?α,β=0∈R,使 sin(α+β)=sinα+sinβ,正确 C.?m=1∈R,使 f(x)=m
2 b

a

b

a

是幂函数,且 f(x)=x 在(0,+∞)上单调递增,正确;
2

3

D.命题“?x∈R,x +1>3x”的否定是“?x∈R,x +1≤3x”,因此不正确. 故选:D. 点评: 本题考查了函数的性质、简易逻辑的判定,考查了推理能力,属于基础题.

5. (5 分)已知 x,y 满足约束条件

,若 z=y﹣ax 取得最大值的最优解不唯一,

则实数 a 的值为() A. 或﹣1 B. 2 或 C.2 或﹣1 D.2 或 1

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,得到直线 y=ax+z 斜率的 变化,从而求出 a 的取值. 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图: (阴影部分 ABC) . 由 z=y﹣ax 得 y=ax+z,即直线的截距最大,z 也最大. 若 a=0,此时 y=z,此时,目标函数只在 A 处取得最大值,不满足条件, 若 a>0,目标函数 y=ax+z 的斜率 k=a>0,要使 z=y﹣ax 取得最大值的最优解不唯一, 则直线 y=ax+z 与直线 2x﹣y+2=0 平行,此时 a=2, 若 a<0,目标函数 y=ax+z 的斜率 k=a<0,要使 z=y﹣ax 取得最大值的最优解不唯一, 则直线 y=ax+z 与直线 x+y﹣2=0,平行,此时 a=﹣1, 综上 a=﹣1 或 a=2, 故选:C

点评: 本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数学思 想是解决此类问题的基本方法.注意要对 a 进行分类讨论,同时需要弄清楚最优解的定义. 6. (5 分)某师傅用铁皮制作一封闭的工件,其三视图如图所示(单位长度:cm,图中水平线 与竖线垂直) ,则制作该工件用去的铁皮的面积为(制作过程铁皮的损耗和厚度忽略不计) ()

A.100(3+

)cm B.200(3+

2

)cm C.300(3+

2

)cm D.300cm

2

2

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 本题以实际应用题为背景考查立体几何中的三视图.由三视图可知,该几何体的形 状如图,它是底面为正方形,各个侧面均为直角三角形[的四棱锥,用去的铁皮的面积即该棱 锥的表面积 解答: 解:由三视图可知,该几何体的形状如图,它是底面为正方形,各个侧面均为直角 三角形的四棱锥,用去的铁皮的面积即该棱锥的表面积,其底面边长为 10,故底面面积为 10×10=100, 与底面垂直的两个侧面是全等的直角, 两直角连年长度分别为 10, 20, 故它们的面积皆为 100, 另两个侧面也是全等的直角三角形,两直角边中一边是底面正方形的边长 10,另一边可在与 底面垂直的直角三角形中求得,其长为 故此两侧面的面积皆为 50 , 故此四棱锥的表面积为 S=100(3+ 故选:A =10
2



)cm .

点评: 考点是由三视图求几何体的面积、体积,考查对三视图的理解与应用,主要考查三 视图与实物图之间的关系, 用三视图中的数据还原出实物图的数据, 再根据相关的公式求表面 积与体积,本题求的是表面积.三视图的投影规则是主视、俯视 长对正;主视、左视高平齐, 左视、俯视 宽相等,本题以实际应用题为背景考查立体几何中的三视图.三视图是新课标的 新增内容,在以后的 2015 届高考中有加强的力度. 7. (5 分)某教育机构随机某校 20 个班级,调查各班关注汉字听写大赛的学生人数,根据所 得数据的茎叶图,以组距为 5 将数据分组成[0,5) ,[5,10) ,[10,15) ,[15,20) ,[20,25) , [25,30) ,[30,35) ,[35,40]时,所作的频率分布直方图如图所示,则原始茎叶图可能是()

A.

B.

C.

D.

考点: 茎叶图. 专题: 概率与统计. 分析: 根据频率分布直方图,分别计算每一组的频数即可得到结论. 解答: 解:由频率分布直方图可知:第一组的频数为 20×0.01×5=1 个, [0,5)的频数为 20×0.01×5=1 个, [5,10)的频数为 20×0.01×5=1 个, [10,15)频数为 20×0.04×5=4 个, [15,20)频数为 20×0.02×5=2 个, [20,25)频数为 20×0.04×5=4 个, [25,30)频数为 20×0.03×5=3 个, [30,35)频数为 20×0.03×5=3 个, [35,40]频数为 20×0.02×5=2 个, 则对应的茎叶图为 A, 故选:A. 点评: 本题主要考查茎叶图的识别和判断,利用频分布直方图计算相应的频数是解决本题 的关键,比较基础.

8. (5 分)定义:若函数 f(x)的图象经过变换 T 后所得图象对应函数的值域与 f(x)的值 域相同,则称变换 T 是 f(x)的同值变换.下面给出四个函数及其对应的变换 T,其中 T 不 属于 f(x)的同值变换的是() 2 A.f(x)=(x﹣1) ,T 将函数 f(x)的图象关于 y 轴对称 x﹣1 B. f(x)=2 ﹣1,T 将函数 f(x)的图象关于 x 轴对称 C. f(x)=2x+3,T 将函数 f(x)的图象关于点(﹣1,1)对称 D. ,T 将函数 f(x)的图象关于点(﹣1,0)对称

考点: 函数的图象. 专题: 计算题;新定义. 分析: 对于 A:T 是将函数 f(x)的图象关于 y 轴对称,此变换不改变函数的值域;对于 B: f(x)=2 ﹣1,其值域为(﹣1,+∞) ,将函数 f(x)的图象关于 x 轴对称,得到的函数解 x﹣1 析式是 y=﹣2 +1,再求出其值域即可进行判断;对于 C:f(x)=2x+3,T 将函数 f(x)的 图象关于点(﹣1,1)对称,得到的函数解析式是 2﹣y=2(﹣2﹣x)+3,即 y=2x+3,它们是 同一个函数;对于 D: 称,得到的函数解析式是 y= ,T 将函数 f(x)的图象关于点(﹣1,0)对 ,它们的值域都为[﹣1,1],从而得出答案.
x﹣1

解答: 解:对于 A:T 是将函数 f(x)的图象关于 y 轴对称,此变换不改变函数的值域,故 T 属于 f(x)的同值变换; 对于 B:f(x)=2 ﹣1,其值域为(﹣1,+∞) ,将函数 f(x)的图象关于 x 轴对称,得到 x﹣1 的函数解析式是 y=﹣2 +1,值域为(1,+∞) ,T 不属于 f(x)的同值变换; 对于 C:f(x)=2x+3,T 将函数 f(x)的图象关于点(﹣1,1)对称,得到的函数解析式是 2﹣y=2(﹣2﹣x)+3,即 y=2x+3,它们是同一个函数,故 T 属于 f(x)的同值变换; 对于 D: 数解析式是 y= ,T 将函数 f(x)的图象关于点(﹣1,0)对称,得到的函 ,它们的值域都为[﹣1,1],故 T 属于 f(x)的同值变换;
x﹣1

故选 B. 点评: 本小题主要考查函数单调性的应用、函数的图象、函数的图象变换等基础知识,考 查运算求解能力,考查化归与转化思想.属于基础题. 二、填空题(共 5 小题) 9. (5 分)不等式|x﹣1|>x﹣1 的解集为(﹣∞,1) . 考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 通过|x﹣1|>x﹣1 可知 x﹣1 为负数,计算即可. 解答: 解:∵|x﹣1|>x﹣1, ∴x﹣1<0, ∴x<1, 故答案为: (﹣∞,1) .

点评: 本题考查求解绝对值不等式,去掉绝对值符号是解决本题的关键,注意解题方法的 积累,属于基础题. 10. (5 分) 已知等差数列{an}满足 a2+a4+a2012+a2014=8, 且 Sn 是该数列的前 n 和, 则 S2015=4030. 考点: 等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 等差数列{an}满足 a2+a4+a2012+a2014=8,可得 2(a1+a2015)=8,再利用等差数列的前 n 项和公式即可得出. 解答: 解:∵等差数列{an}满足 a2+a4+a2012+a2014=8, ∴2(a1+a2015)=8,解得 a1+a2015=4. ∴S2015= =4030.

故答案为:4030. 点评: 本题考查了等差数列的性质与等差数列的前 n 项和公式,考查了推理能力与计算能 力,属于中档题. 11. (5 分)如图,设甲地到乙地有 4 条路可走,乙地到丙地有 5 条路可走,那么,由甲地经 乙地到丙地,再由丙地经乙地返回甲地,共有 400 种不同走法

考点: 计数原理的应用. 专题: 排列组合. 分析: 分两步,从甲到丙由 4×5=20 种,从丙到甲由 4×5=20 种,根据分步计数原理可得答 案. 解答: 解:分两步,从甲到丙由 4×5=20 种,从丙到甲由 4×5=20 种, 根据分步计数原理得,由甲地经乙地到丙地,再由丙地经乙地返回甲地,共有 20×20=400 种, 故答案为:400. 点评: 本题考查了分步计数原理,属于基础题. 12. (5 分)如图,在△ ABC 中,∠B=

,点 D 在 BC 上,cos∠ADC= ,则 cos∠BAD=



考点: 余弦定理.

专题: 三角函数的求值. 分析: 根据三角形边角之间的关系,结合两角差的余弦函数公式可得到结论. 解答: 解: (1)在△ ABC 中,∵cos∠ADC= , ∴sin∠ADC= = , = .

则 cos∠BAD=cos (∠ADC﹣∠B) =cos∠ADC?cosB+sin∠ADC?sinB= 故答案为: .

点评: 本题主要考查解三角形的应用,利用两角差的余弦函数公式是解决本题本题的关键, 难度不大,属于基础题. 13. (5 分)执行如图所示的程序框图, 如果输入的 t∈[﹣2,2],则输出的 S 的取值范围是[﹣3, 6]

考点: 循环结构. 专题: 函数的性质及应用;算法和程序框图. 分析: 根据程序框图,分析程序的功能,结合输出自变量的范围条件,利用函数的性质即 可得到结论. 解答: 解:若 0≤t≤2,则不满足条件输出 S=t﹣3∈[﹣3,0], 若﹣2≤t<0,则满足条件,此时 t=2t +1∈(1,9],此时不满足条件, 输出 S=t﹣3∈(﹣2,6], 综上:S=t﹣3∈[﹣3,6], 故答案为:[﹣3,6]. 点评: 本题主要考查程序框图的识别和判断,利用函数的取值范围是解决本题的关键,属 于基础题. 三、坐标系与参数方程选做题(满分 5 分) 14. (5 分) (坐标系与参数方程选讲选做题) 在极坐标系中,定点 AB 最短时,点 B 的极坐标为 ,点 B 在直线 . 上运动,当线段
2

考点: 简单曲线的极坐标方程. 专题: 直线与圆. 分析: 将直线 ρcosθ+ ρsinθ=0 化为一般方程, 再利用线段 AB 最短可知直线 AB 与已知直 线垂直,设出直线 AB 的方程,联立方程求出 B 的坐标,从而求解. 解答: 解:∵x=ρcosθ,y=ρsinθ,代入直线 ρcosθ+ ρsinθ=0, 可得 x+ y=0…①, ∵在极坐标系中,定点 A(2, ) ,

∴在直角坐标系中,定点 A(0,﹣2) , ∵动点 B 在直线 x+ y=0 上运动, ∴当线段 AB 最短时,直线 AB 垂直于直线 x+ y=0, ∴kAB= , 设直线 AB 为:y+2= x,即 y= x﹣2…②, 联立方程①②求得交点 B( ∴ρ= 故答案为 =1,tanθ= =﹣ . ,﹣ ) , ,∴θ= .

点评: 此题主要考查极坐标与一般方程之间的转化,是一道基础题,注意极坐标与一般方 程的关系:ρ= ,tanθ= ,x=ρcosθ,y=ρsinθ.

四、几何证明选做题(满分 0 分) 15. 如图, PA 与圆 O 相切于 A, PCB 为圆 O 的割线, 并且不过圆心 O, 已知∠BPA=30°, PA=2 PC=1,则圆 O 的半径等于 7.



考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 计算题;压轴题. 2 分析: 连 AO 并延长, 根据切线的性质定理得到 Rt△ PAD, 根据切割线定理得到 PA =PC?PB, 根据相交弦定理得到 CD?DB=AD?DE,最后即可解得圆 O 的半径. 解答: 解:如图,连 AO 并延长,交圆 O 与另一点 E,交割线 PCB 于点 D, 则 Rt△ PAD 中,由∠DPA=30°, ,得 AD=2,PD=4,而 PC=1, 故 CD=3, 由切割线定理,得 PA =PC?PB,即 故 DB=8.
2

,则 PB=12,

设圆 O 的半径为 R,由相交弦定理,CD?DB=AD?DE,即 3×8=2(2R﹣2) ,得 R=7; 故答案为 7.

点评: 本小题主要考查圆的切割线定理和相交弦定理.属于基础题. 五、解答题(共 6 小题) 16. (12 分)已知函数 f(x)=Asin( x+ ) ,x∈R,且 f(﹣2015)=3

(1)求 A 的值. (2)指出函数 f(x)在 x∈[0,8]上的单调区间(不要求过程) . (3)若 f( ﹣1)+f( +1)= ,a∈[0,π],求 cos2a.

考点: 二倍角的余弦;复合三角函数的单调性. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: (1)由题意及诱导公式可得 sin( =Asin =A,即可解得 A; )=Asin( )

(2)由正弦函数的性质即可求得函数 f(x)的单调递增区间,单调递减区间; (3)由诱导公式化简已知等式可得 sin α∈[0,π],sin ,α∈[0,π],从而可求 sin2α,结合范围

>0,可求 2α 范围,利用同角三角函数关系式即可得解. + )=Asin( )=Asin

解答: 解: (1)∵由题意,f(﹣2015)=Asin( ( )=Asin =A,

∴解得:A=3…(4 分) (2)函数 f(x)的单调递增区间为[0,1],[5,8],单调递减区间为[1,5]…(6 分) (3) ∵f ( ( ∴sin 由(sinα+cosα) =
2

﹣1) +f (

+1) =3sin[

× (

﹣1) +

]+3sin[

× (

+1) +

]=3sinα+3sin

)=3sinα+3cosα= , ,α∈[0,π], 可得:2sinαcosα=﹣ ,

即 sin2α=﹣

, >0, , ,

又∵α∈[0,π],sin ∴ ∴2 ∴cos2α<0,

∴由 sin 2α+cos 2α=1 可解得: cos2α=﹣

2

2

=﹣

=﹣

… (12 分)

点评: 本题主要考查了复合三角函数的单调性,二倍角的余弦公式,诱导公式,同角三角 函数关系式以及三角函数的图象与性质,属于基本知识的考查. 17. (12 分)随着三星 S6 手机的上市,很多消费者觉得价格偏高,尤其是大部分学生可望而 不可及,因此我市沃尔玛“三星手机专卖店”推出无抵押分期付款购买方式,该店对最近 100 名 采用分期付款的购买者进行统计,统计结果如下表所示: 付款方式 分1期 分2期 分3期 分4期 分5期 频数 35 25 a 10 b 已知分 3 期付款的频率为 0.15, 并且店销售一部三星 S6, 顾客分 1 期付款, 其利润为 1000 元; 分 2 期或 3 期付款,其利润为 1500 元;分 4 期或 5 期付款,其利润为 2000 元,以频率作为 概率.以此样本估计总体,试解决以下问题 (Ⅰ)求事件 A:“购买的 3 位顾客中,恰好有 1 名顾客分 4 期付款”的概率; (Ⅱ)用 X 表示销售一部三星 S6 手机的利润,求 X 的分布列及数学期望. 考点: 离散型随机变量的期望与方差;二项分布与 n 次独立重复试验的模型. 专题: 概率与统计. 分析: (1)随机抽取一位购买者,分 4 期付款的概率为 0.1 求得 P(A) (2)由分期付款的 期数得出利润的概率求得分布列. 解答: 解: (1)由题意得:随机抽取一位购买者,分 4 期付款的概率为 0.1 所以 P(A)= (2)由 因为 35+25+a+10+b=100,所以 b=15 (2)记分期付款的期数为 ξ,依题意得 P(ξ=1)=0.35,P(ξ=2)=0.25.P(ξ=3)=0.15,P (ξ=4)=0.1,P(ξ=5)=0.15 因为 X 可能取得值为 1000 元,1500 元,2000 元 并且易知 P(X=1000)=P(ξ=1)=0.35 P(X=1500)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=0.4 P(X=2000)=P(ξ=4)+P(ξ=5)=0.1+0.15=0.25 所以 X 得分布列 X 1000 1500 2000 P 0.35 0.4 0.25

所以 X 得数学期望 E(X)=1000×0.35+1500×0.4+2000×0.25=1450 点评: 主要考察随机变量的期望和方差,属于基础题型,在 2015 届高考中属于常见题型. 18. (14 分)如图,在三棱锥 P﹣ABC 中,PA⊥面 ABC,∠BAC=120°,且 AB=AC=AP,M 为 PB 的中点,N 在 BC 上,且 BN= BC (1)求证:MN⊥AB (2)求二面角 P﹣AN﹣M 的余弦值.

考点: 用空间向量求平面间的夹角;直线与平面垂直的性质. 专题: 空间向量及应用. 分析: (1)以 A 为原点,AN 为 x 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,可得 的坐标,证数量积为 0 即可; (2)平面 PAN 的法向量可取为 =(0,1,0) ,待定系数可得平面 AMN 的法向量 ,计算 和

向量的夹角余弦值即可得到二面角 P﹣AN﹣M 的余弦值. 解答: 解: (1)由题意可得∠BAN=30°,∴∠NAC=120°﹣30°=90°, 以 A 为原点,AN 为 x 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系, 可得 A(0,0,0) ,B( ∴ ∴ =( ? ,﹣ ,0) , =0,∴MN⊥AB ,﹣ ,0) ,M( =( , , ,﹣ , ) ,N( ) , ,0,0) ,

(2)由(1)知 P(0,0,1) ,C(0,1,0) , =( ,﹣ , ) , =( ,0,0) ,

平面 PAN 的法向量可取为

=(0,1,0) ,

设平面 AMN 的法向量 =(x,y,z) ,



,故可取量 =(0,2,1) ,

∴cos< ,

>=

=

∴二面角 P﹣AN﹣M 的余弦值为

点评: 本题考查空间向量法解决立体几何问题,涉及二面角的求解,属中档题. 19. (14 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,首项 a1=1,且对于任意 n∈N+都有 2Sn﹣nan+1=0, 数列{bn}满足 bn= ,T(n)是数列{bn}的前 n 项和.

(1)求数列{an}的通项公式 (2)用数学归纳法证明:当 n≥2 时,n+T(1)+T(2)+T(3)+…+T(n﹣1)=nT(n) (3)设 An= + + …+ ,试证: <An< .

考点: 数列与不等式的综合. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: (1)根据数列中 an 与前 n 项和为 Sn 的关系,化简 2Sn﹣nan+1=0 得到 利用累积法求出数列{an}的通项公式; (2)由(1)求出 bn,再利用数学归纳法证明结论即可; (3)由(1)可得 ,利用放缩法可得 ,即可证明左边不等式成立,再利用基本不等式得: ,即可证明右边不等式成立. 解答: 解: (1)由题意得,①当 n=1 时,2S1﹣na2=0,则 a2=2S1=2a1=2…1 分, ②由 2Sn﹣nan+1=0 得, 2Sn+1﹣nan+2=0,…2 分 ,

两式相减得:2an+1﹣(n+1)an+2+nan+1=0,即





,所以对于任意 n∈N+都有

…3 分

所以 an= 即对于任意 n∈N+都有 an=n…5 分; 证明: (2)由(1)知,bn=

=



= ,用数学归纳法证明如下:

①当 n=2 时,左边=2+T(1)=2+b1=2+1=3, 右边=2T(2) (1+ )=3=左边,所以 n=2 时结论成立…6 分, ②假设 n=k(k≥3)时结论成立, 则 k+T(1)+T(2)+T(3)+…+T(k﹣1)=kT(k)…7 分 那么当 n=k+1 时,k+1+T(1)+T(2)+T(3)+…+T(k﹣1)+T(k) =kT(k)+T(k)+1=(k+1)T(k)+1 = =(k+1)T(k+1)…9 分

综上,当 n≥2 时,n+T(1)+T(2)+T(3)+…+T(n﹣1)=nT(n)成立…10 分 (3)由(1)知, 先证左边的式子:由于 所以 再证右边的式子:由于 所以 , 1+2+3+…+n= , 1+2+3+…+n+ …12 分, ,

=

=



…14 分

综上,对于任意 n∈N+都有

<An<



点评: 本题考查数列中 an 与前 n 项和为 Sn 的关系,累积法求数列的通项公式,以及数学归 纳法、放缩法、基本不等式的在数列中应用,综合强,属于难题. 20. (14 分)已知 a>0,且 a≠1 函数 f(x)=loga(1﹣a ) (1)求函数 f(x)的定义域,判断并证明 f(x)的单调性
x

(2)当 a=e(e 为自然对数的底数)时,设 h(x)=(1﹣e ) (x ﹣m+1) ,若函数 h(x) 的极值存在,求实数 m 的取值范围以及函数 h(x)的极值. 考点: 利用导数研究函数的极值. 专题: 综合题;导数的综合应用. 分析: (1)据对数函数的真数大于 0,列出不等式求出定义域;求出导函数,利用导函数 大于 0 函数得到递增;导函数小于 0 函数单调递减. (2)求出导函数,令导函数为 0,导函数是否有根进行分类讨论;导函数的根是否在定义域 内再一次引起分类讨论,利用极值的定义求出极值. 解答: 解: (1)由题意知,1﹣a 0 所以当 0<a<1 时,f(x)的定义域是(0,+∞) ,a>1 时,f(x)的定义域是(﹣∞,0) , f′(x)= =
x x x>

f(x)

2

当 0<a<1 时,x∈(0,+∞) ,因为 a ﹣1<0,a >0,故 f'(x)<0,所以 f(x)是减函数. x x 当 a>1 时,x∈(﹣∞,0) ,因为 a ﹣1<0,a >0,故 f'(x)<0,所以 f(x)是减函数; x 2 x 2 (2)h(x)=e (x ﹣m+1) (x<0) ,所以 h'(x)=e (x +2x﹣m+1) , 2 令 h'(x)=0,即 x +2x﹣m+1=0,由题意应有△ ≥0,即 m≥0. ①当 m=0 时,h'(x)=0 有实根 x=﹣1,在 x=﹣1 点左右两侧均有 h'(x)>0,故 h(x)无 极值. ②当 0<m<1 时,h'(x)=0 有两个实根 x1=﹣1﹣ 当 x 变化时,h'(x)的变化情况如下表: x (﹣∞,x1) h′(x) + 0 h(x) 递增 极大值 ∴h(x)的极大值为 x1 ﹣ 递减 (1+ (x1,x2) 0 + 极小值 递增 ,x2=﹣1+ x2 .

(x2,0)

) ,h(x)的极小值为 2 .

(1﹣

) .

③当 m≥1 时,h'(x)=0 在定义域内有一个实根 x=﹣1﹣ 同上可得 h(x)的极大值为 (1+ ) .

综上所述,m∈(0,+∞)时,函数 h(x)有极值. 当 0<m<1 时,h(x)的极大值为 ) . 当 m≥1 时,h(x)的极大值为 (1+ ) . (1+ ) ,h(x)的极小值为 2 (1﹣

点评: 本题考查利用导数的符号讨论函数的单调性;利用导数研究函数的极值;在含参数 的函数中需要分类讨论.

21. (14 分)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的一个焦点 F(

,0)其短轴上的一个端

点到 F 的距离为 (1)求椭圆 C 的;离心率及其标准方程

(2)点 P(x0,y0)是圆 G:x +y =4 上的动点,过点 P 作椭圆 C 的切线 l1,l2 交圆 G 于点 M, N,求证:线段 MN 的长为定值.

2

2

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)利用椭圆 C: + =1(a>b>0)的一个焦点 F( ,0)其短轴上的一个端

点到 F 的距离为 ,求出 c,a,可得 b,即可求椭圆 C 的离心率及其标准方程; (Ⅱ)分类讨论:l1,l2 经过点 P(x0,y0) ,又分别交其准圆于点 M,N,无论两条直线中的 2 2 斜率是否存在,都有 l1,l2 垂直.即可得出线段 MN 为准圆 x +y =4 的直径. 解答: 解: (1)由题意,a= ,c= , ∴b=1, ∴e= = ,椭圆的方程为 ;

(2)证明:①当直线 l1,l2 中有一条斜率不存在时,不妨设直线 l1 斜率不存在, 则 l1:x=± , 当 l1:x= 时,l1 与准圆交于点( ,1) , ( ,﹣1) , 此时 l2 为 y=1(或 y=﹣1) ,显然直线 l1,l2 垂直; 同理可证当 l1:x=﹣ 时,直线 l1,l2 垂直. 2 2 ②当 l1,l2 斜率存在时,设点 P(x0,y0) ,其中 x0 +y0 =4. 设经过点 P(x0,y0)与椭圆相切的直线为 y=t(x﹣x0)+y0, 2 2 2 代入椭圆方程得(1+3t )x +6t(y0﹣tx0)x+3(y0﹣tx0) ﹣3=0. 2 2 2 由△ =0 化简整理得(3﹣x0 )t +2x0y0t+1﹣y0 =0, 2 2 2 2 2 ∵x0 +y0 =4,∴有(3﹣x0 )t +2x0y0t+x0 ﹣3=0. 设 l1,l2 的斜率分别为 t1,t2, ∵l1,l2 与椭圆相切, 2 2 2 ∴t1,t2 满足上述方程(3﹣x0 )t +2x0y0t+x0 ﹣3=0. , ∴t1?t2=﹣1,即 l1,l2 垂直. 综合①②知:∵l1,l2 经过点 P(x0,y0) ,又分别交其准圆于点 M,N,且 l1,l2 垂直. 2 2 ∴线段 MN 为准圆 x +y =4 的直径,|MN|=4, ∴线段 MN 的长为定值. 点评: 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、新定义、直线与椭圆相切?△ =0、直线垂直 与斜率的关系、 分类讨论等基础知识与基本技能方法, 考查了推理能力和计算能力, 属于难题.


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