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选修4-1-1 相似三角形的判定及有关性质


选修 4-1-1 相似三角形的判定及有关性质 一、填空题

1.如图,在△ABC 中,DE∥BC,DE 分别与 AB、AC 相交于点 D、E,AD∶AB=1∶ 3.若 DE=2,则 BC=__________. AD DE 1 2 解析:∵DE∥BC,∴ = ,即 = . AB BC 3 BC 解得 BC=6. 答案:6

BF 2.如图,

在△ABC 中,D 是 AC 的中点,E 是 BD 的中点,延长 AE 交 BC 于 F,则 FC =__________. 解析:如图,过 D 作 DG∥BC 交 AF 于 G,

∵E 是 BD 的中点,∴DG=BF. DG AD 1 又∵DG∥BC,∴ = = . FC AC 2 BF DG 1 ∴ = = . FC FC 2 1 答案: 2

3.如图,在△ABC 中,M、N 分别是 AB、BC 的中点,AN、CM 交于点 O,那么△ MON 与△AOC 面积的比是__________. 解析:∵M、N 分别是 AB、BC 的中点, 1 ∴MN∥AC,MN= AC. 2 ∴△MNO∽△CAO. S△MON ?MN?2 ?1?2 1 ∴ = = = . S△COA ? AC ? ?2? 4 答案:1∶4

4.如图,在△ABC 中,D 为 AC 边上一点,∠DBC=∠A,BC= 6,AC=3,则 CD =__________.

解析:∵∠DBC=∠A,∠C=∠C, ∴△CDB∽△CBA. BC CD 6 CD ∴ = ,即 = . AC BC 3 6 ∴CD=2. 答案:2

5.如图,∠B=∠D,AE⊥BC,∠ACD=90° ,且 AB=6,AC=4,AD=12.则 BE= __________. 解析:由于∠B=∠D. ∴∠AEB=∠C,从而得△ABE∽△ADC. AB AE ∴ = AD AC 解得 AE=2,故 BE= AB2-AE2=4 2. 答案:4 2

6.如图所示,在?ABCD 中,BC=24,E、F 为 BD 的三等分点,则 BM=__________; DN=__________. 解析:∵AD∥BC,BE=EF=FD, BM BE 1 ∴ = = . AD DE 2 ∵AD=BC=24,∴BM=12. ∵AD∥BC, DN FD 1 ∴ = = . BM FB 2 1 ∴DN= BM=6. 2 答案:12 6

7.如图,Rt△ABC 中,CD 为斜边 AB 上的高,CD=6,且 AD∶BD=3∶2,则斜边 AB 上的中线 CE 的长为__________. 解析:∵∠ACB=90° ,CD⊥AB, 2 ∴CD =AD· BD. 设 AD=3x,那么 BD=2x,AB=5x, ∵CD=6,∴6x2=62. ∴x= 6,AB=5x=5 6. ∵CE 是斜边 AB 上的中线, 1 5 ∴CE= AB= 6. 2 2 5 答案: 6 2

8.如图,D、E 两点分别在 AC、AB 上,且 DE 与 BC 不平行,请填上一个你认为适合 的条件:________________,使得△ADE∽△ABC.

解析:∵∠ A=∠ A,由两角对应相等,两三角形相似,可添加∠ 1=∠ B 或∠ 2 =∠ AE AD AED.由两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似,可添加 = . AC AB AE AD 答案:∠1=∠B 或∠2=∠E 或 = . AC AB

9.如图,在△ABC 中,D 为 BC 边的中点,E 为 AD 上的一点,延长 BE 交 AC 于点 F, AE 1 AF 若 = ,则 的值为__________. AD 4 AC 解析:过点 A 作 AG∥BC,交 BF 延长线于点 G. AE 1 AE 1 由 = ,得 = , AD 4 ED 3 AG AE 1 由△AGE∽△DBE,得 = = . BD ED 3 AG 1 由 D 为 BC 中点,知 BC=2BD,故 = . BC 6 AF AG 1 AF 1 ∵△AGF∽△CBF,∴ = = .故 = . FC BC 6 AC 7 1 答案: 7

10.如图,Rt△ABC 中,∠ACB=90° ,CD⊥AB 于 D,且 BC∶AC=2∶3,则 BD∶ AD=__________. BC2 BD 4 解析:由射影定理知 AC2=AD· AB,BC2=BD· AB,∴ 2= = . AC AD 9 4 答案: 9 三、解答题 11.(2014· 苏北模拟)如图 1,在 Rt△ABC 中,∠BAC=90° ,AD⊥BC 于点 D,点 O 是 AC 边上一点,连接 BO 交 AD 于 F,OE⊥OB 交 BC 边于点 E.

图1

图2

(1)求证:△ABF∽△COE; AC OF (2)当 O 为 AC 边中点, =2 时,如图 2,求 的值; AB OE AC OF (3)当 O 为 AC 边中点, =n 时,请直接写出 的值. AB OE 解析:(1)证明:∵AD⊥BC,∴∠DAC+∠C=90° , ∵∠BAC=90° ,∴∠BAF=∠C. ∵OE⊥OB,∴∠BOA+∠COE=90° , ∵∠BOA+∠ABF=90° ,∴∠ABF=∠COE. ∴△ABF∽△COE; (2)方法一:作 OG⊥AC,交 AD 的延长线于 G. ∵AC=2AB,O 是 AC 边的中点, ∴AB=OC=OA. 由(1)有△ABF∽△COE, ∴△ABF≌△COE,∴BF=OE. ∵∠BAD+∠DAC=90° , ∠DAB+∠ABD=90° ,∴∠DAC=∠ABD, 又∠BAC=∠AOG=90° ,AB=OA. ∴△ABC≌△OAG,∴OG=AC=2AB. ∵OG⊥OA,∴AB∥OG,∴△ABF∽△GOF, OF OG OF OF OG ∴ = , = = =2. BF AB OE BF AB 方法二: ∵∠BAC=90° ,AC=2AB,AD⊥BC 于 D, ∴Rt△BAD∽Rt△BCA. AD AC ∴ = =2. BD AB 设 AB=1,则 AC=2,BC= 5,BO= 2, 2 1 ∴AD= 5,BD= 5. 5 5 ∵∠BDF=∠BOE=90° ,∴△BDF∽△BOE, BD BO ∴ = . DF OE 由(1)知 BF=OE,设 OE=BF=x, 1 5 5 2 ∴ = ,∴x= 10DF. DF x 1 1 2 在△DFB 中 x2= + x2,∴x= . 5 10 3 1 2 ∴OF=OB-BF= 2- 2= 2, 3 3 2 2 OF 3 ∴ = =2. OE 1 2 3 OF (3) =n. OE

12.已知在△ABC 中,点 D 在 BC 边上,过点 C 任作一直线与 AB、AD 分别交于点 F、 E. AE 2AF (1)如图①,DG∥CF 交 AB 于点 G,当 D 是 BC 的中点时,求证: = . ED FB

BD 1 AE 3AF (2)如图②,当 = 时,求证: = . DC 2 ED 2FB

BD m AE AF = 时,猜想: 与 之间是否存在着一定的数量关系?若存在,请 DC n ED FB 写出它们之间的关系式,并给出证明过程;若不存在,请说明理由. 解析:(1)∵DG∥CF,BD=DC, 1 ∴BG=FG= BF. 2 AE AF AE AF 2AF ∵FE∥DG,∴ = .∴ = = . ED FG ED 1 BF BF 2 (3)如图,当

AE AF (2)过点 D 作 DG∥CF 交 AB 于 G 点,∴ = . ED FG BD 1 又 = , DC 2 2 ∴DC=2BD= BC. 3 FG DC 2 ∵DG∥FC,∴ = = . BF BC 3 2 AE AF 3AF ∴FG= BF,∴ = = . 3 ED 2 2BF BF 3 BD m AE m+n AF (3)当 = 时,有等式: = · . DC n ED n FB

证明如下:如题图,过 D 作 DG∥CF 交 AB 于 G 点. AE AF ∴ = . ED FG BD m BC m+n 又∵ = ,∴ = . DC n DC n BF BC m+n ∵DG∥FC,∴ = = . FG DC n

∴FG=

m+n AF n AE AF BF.∴ = = · . ED n n BF m+n BF m+n


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