当前位置:首页 >> 高三数学 >>

由数列的递推公式求数列的通项公式的几种常用方法


由数列的递推公式的求数列的通项公式几种常用方法
(宁波市北仑中学 竺君祥 315800) 已知递推数列求其数列通项公式,是一类常见的问题,也是教学中的一个难点.本文介绍几种运用 数列的递推关系求数列通项公式的几种常用方法. 一. 迭加法

可 化 为 型 如 an?1 ? an ? f (n) 的 递 推 数 列 , 用 迭 加 法 求 其 通 项 公 式 . 且 通 项 公 式 为

a n ? a1 ? ? f (k )
k ?1

n ?1

证明: 例 1: 已知数列 {an } ,其中 a1 ? 1 , an?1 解 : 由 已 知 得

? an ? 2n ? 5 ,求它的通项公式.


an?1 ? an ? 2n ? 5 ,

a2 ? a1 ? 2 ? 1 ? 5 , a3 ? a2 ? 2 ? 2 ? 5 ,

a4 ? a3 ? 2 ? 3 ? 5 … … an ? an?1 ? 2 ? (n ? 1) ? 5 , 将 以 上 (n ? 1) 个 式 子 相 加 , 得

an ? a1 ? 2 ? [1 ? 2 ? 3 ? ? ? (n ? 1)] ? 5(n ? 1)

, 故

an ? a1 ? n(n ? 1) ? 5n ? 5

, 于 是

an ? a1 ? n 2 ? 4n ? 5 ,又 a1 ? 1 即 an ? n 2 ? 4n ? 4 .
二. 叠乘法

可化为型如

a n ?1 ? f (n) 的递推数列,用叠乘法求其通项公式. an
? 1 , an?1 ? 5n an ,求它的通项公式.

例 2: 已知数列 {an } ,其中 a1

解:由已知得

an?1 a a a a ? 5 n ,则 2 ? 5 , 3 ? 5 2 , 4 ? 53 ,……, n ? 5 n ?1 , an a1 a2 a3 a n ?1

n ( n ?1) n ( n?1) an 1? 2?3??( n ?1) 2 将以上 (n ? 1) 个式子相乘,得 ,又 a1 ? 1 ,故 an ? 5 2 . ?5 ?5 a1

三:差分法 可化为型如

? f (k )a
k ?1

n

k

? g (n) 的递推数列,用差分法求其通项公式.

1

例 3: 已知数列 {an } 满足 a1 通项公式. 解:由已知 a1

? 2a2 ? 3a3 ? 4a4 ? ? ? nan ? 2n 2 ? n (n ? N ) ,求数列 {an } 的
? 1 时, a1 ? 3 ;当

? 2a2 ? 3a3 ? 4a4 ? ? ? nan ? 2n 2 ? n ,…①


得,当 n

n ? 2 时, a1 ? 2a2 ? 3a3 ? 4a4 ? ? ? (n ? 1)an?1 ? 2(n ? 1) 2 ? (n ? 1)?
所以当 n

? 2 时,由①-②得: nan ? 4n ? 1 ,即 a n ? 4 ?

1 ,当 n ? 1 时也成立.所以,数列 {an } 的 n

通项公式为 a n

? 4?

1 . n

四:化归法 把递推数列的递推公式进行适当变形,化归为熟悉的等差或等比数列,再求其通项公式. 例 4: 已知数列 {an } ,其中 a1 解:因为, a1

? 1 , S n?1 ? 4an ? 2 ,求它的通项公式.
因为 , 从 而

? S1 ? 1,所以, a2 ? S 2 ? S1 ? 4a1 ? 2 ? 1 ? 5 ,
, 所 以

an ? S n ? S n?1 ? (4an?1 ? 2) ? (4an?2 ? 2) ? 4(an?1 ? an?2 )

an ? 2an?1 ? 2(an?1 ? 2an?2 )

a n ? 2an?1 ? 2 , 于是数列 { an ? 2an?1 }是以 a2 ? 2a1 ? 3 为首项,公比为 an?1 ? 2a n?2

2 的等比数列 , 所以

an ? 2an?1 ? 3 ? 2 n?2 (n >1 ) ,从而
3 4

a n a n ?1 3 a ? n ?1 ? ,所以数列{ n n 4 2 2 2n

}是以首项为

a1 1 ? ,公差为 2 2

的等差数列,于是

an 1 3 3n ? 1 n 3n ? 1 ? 2 ? (3n ? 1) ? 2 n ? 2 . ? ? (n ? 1) ? ,所以 a n ? n 4 2 4 4 2

例 5: 已知数列 {an } 满足 a1 解:设 an

? 1 , an ? 2an ?1 ? 3(n ? 2, n ? N ) ,求这个数列的通项公式.

,即 an ? ?an ?1 ? ?? ? ? , ? ? ? ? (an ?1 ? ? ) ( ? , ? 为待定常数)

则与已知的 递推公式

an ? 2an?1 ? 3 相比较 得 ? ? 2, ?? ? ? ? 3 ,所以 ? ? 3, ? ? 2 ,于是
2 的等比数列,于是

an ? 3 ? 2(an?1 ? 3) ,所以数列 {an ? 3} 是首项为 a1 ? 3 ? 4 ,公比为

an ? 3 ? 4 ? 2 n?1 (n ? N ) ,即 an ? 2n?1 ? 3 ,所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 2n?1 ? 3 .
2

五、数学归纳法 用数学归纳法求递推数列的通项公式是教学中的重点,其步骤是归纳、猜想、证明. 例 6:已知数列 {an } 中各项均正,且 S n

?

1 1 (a n ? ) ,求数列的通项公式. 2 an

解:

1 1 S1 ? a1 ? (a1 ? ) ,又 a1 ? 0 ,所以 a1 ? 1 ; S 2 ? a1 ? a2 ? 1 (a2 ? 1 ) , 2 a1 2 a2 ? 1 a2
,又 a 2

即 2 ? a2

1 1 1 ? 0 ,所以 a2 ? 2 ? 1; S 3 ? a1 ? a2 ? a3 ? (a3 ? ) ,即 2 2 ? a3 ? , 2 a3 a3

又 a3

? 0 ,所以, a3 ? 3 ? 2 .,猜想: an ? n ? n ? 1 ( n ? N ) .
? 1 时,由上述过程知结论正确, ? k (k ? 1) 时结论成立,即 ak ? k ? k ? 1 ,则 n ? k ? 1 时,

证明:①当 n

②假设 n

1 1 1 1 1 1 1 ) ? ( k ? k ? 1 ? k ? k ? 1) ak ?1 ? S k ?1 ? S k ? (ak ?1 ? ) ? (ak ? ) ? (ak ?1 ? 2 ak ?1 2 2 ak ?1 2 ak 1 1 ? (ak ?1 ? )? k 2 ak ?1
所以 ak ?1
2

? 2 k ak ?1 ? 1 ? 0 ,又 ak ?1 ? 0 ,所以 ak ?1 ? k ? 1 ? k ,即 n ? k ? 1 时成立.
? n ? n ? 1 .,所以数列 {an } 的通项公式为 an ? n ? n ? 1 .

由①,②知对任意 n ? N , an

3


相关文章:
递推公式求通项公式的几种方
由递推公式求通项公式的常用方法由数列的递推公式求通项公式是高中数学的重点...为公比的等比数列,根据等比数列的通项公式得 an+ n =() 2 2 3 1 1 ...
专题由递推关系求数列的通项公式(含答案)
专题 一、目标要求 由递推关系求数列的通项公式 通过具体的例题,掌握由递推关系求数列通项的常用方法: 二、知识梳理求递推数列通项公式是数列知识的一个重点,...
由递推关系求通项公式的类型与方法
递推关系求通项公式的类型与方法 - 由递推关系求通项公式的类型与方法 递推公式是给出数列的基本方式之一,在近几年高考题中占着不小的比重。2008 年高考 ...
求数列通项公式的十种方法,例题答案详解
求数列通项公式的十一种方法(方法全,例子全,归纳细) 总述:一.利用递推关系式求数列通项的 11 种方法: 累加法、 累乘法、 待定系数法、 阶差法(逐差法) ...
根据递推公式,求数列通项公式的常用方法 总结归纳
数列| 递推| 根据递推公式,求数列通项公式的常用方法 总结归纳_教育学_高等教育_教育专区。根据递推公式,求数列通项公式的常用方法 总结归纳,免费供广大师生学习...
高二数学由递推公式求通项公式的常见方法
高二数学由递推公式求通项公式的常见方法 - 由数列的递推公式求通项公式 一 准备知识 所谓数列,简单地说就是有规律的(有限或无限多个)数构成的一列数,常记...
由递推公式求通项公式的三种方法
下面介绍由递推公式求通项公式的几种 方法. 1.累加法 [典例 1] 数列{an}的首项为 3,{bn}为等差数列且 bn=an+1-an(n∈N ).若 b3=-2,b10 =12,...
由递推关系求数列的通项公式教案
递推关系求数列的通项公式教案_数学_高中教育_教育专区。由递推关系求数列的...这一节课我们来学习另外几种常用的方法求通项公式。 (2)例题讲解 例 1 (1...
九类常见递推数列求通项公式方法
1 + 3 且 a1 = 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 解:方法 1(递推法)...由数列递推公式求其通项... 5页 2下载券 递推数列通项公式的常用... ...
已知数列递推公式求通项公式的几种方法
已知数列递推公式求通项公式的几种方法_高一数学_数学_高中教育_教育专区。求数列通项公式的方法 一、公式法 例 1 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3...
更多相关标签: