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由数列的递推公式求数列的通项公式的几种常用方法


由数列的递推公式的求数列的通项公式几种常用方法
(宁波市北仑中学 竺君祥 315800) 已知递推数列求其数列通项公式,是一类常见的问题,也是教学中的一个难点.本文介绍几种运用 数列的递推关系求数列通项公式的几种常用方法. 一. 迭加法

可 化 为 型 如 an?1 ? an ? f (n) 的 递 推 数 列 , 用 迭 加 法 求 其 通 项 公 式 . 且 通 项 公 式 为

a n ? a1 ? ? f (k )
k ?1

n ?1

证明: 例 1: 已知数列 {an } ,其中 a1 ? 1 , an?1 解 : 由 已 知 得

? an ? 2n ? 5 ,求它的通项公式.


an?1 ? an ? 2n ? 5 ,

a2 ? a1 ? 2 ? 1 ? 5 , a3 ? a2 ? 2 ? 2 ? 5 ,

a4 ? a3 ? 2 ? 3 ? 5 … … an ? an?1 ? 2 ? (n ? 1) ? 5 , 将 以 上 (n ? 1) 个 式 子 相 加 , 得

an ? a1 ? 2 ? [1 ? 2 ? 3 ? ? ? (n ? 1)] ? 5(n ? 1)

, 故

an ? a1 ? n(n ? 1) ? 5n ? 5

, 于 是

an ? a1 ? n 2 ? 4n ? 5 ,又 a1 ? 1 即 an ? n 2 ? 4n ? 4 .
二. 叠乘法

可化为型如

a n ?1 ? f (n) 的递推数列,用叠乘法求其通项公式. an
? 1 , an?1 ? 5n an ,求它的通项公式.

例 2: 已知数列 {an } ,其中 a1

解:由已知得

an?1 a a a a ? 5 n ,则 2 ? 5 , 3 ? 5 2 , 4 ? 53 ,……, n ? 5 n ?1 , an a1 a2 a3 a n ?1

n ( n ?1) n ( n?1) an 1? 2?3??( n ?1) 2 将以上 (n ? 1) 个式子相乘,得 ,又 a1 ? 1 ,故 an ? 5 2 . ?5 ?5 a1

三:差分法 可化为型如

? f (k )a
k ?1

n

k

? g (n) 的递推数列,用差分法求其通项公式.

1

例 3: 已知数列 {an } 满足 a1 通项公式. 解:由已知 a1

? 2a2 ? 3a3 ? 4a4 ? ? ? nan ? 2n 2 ? n (n ? N ) ,求数列 {an } 的
? 1 时, a1 ? 3 ;当

? 2a2 ? 3a3 ? 4a4 ? ? ? nan ? 2n 2 ? n ,…①


得,当 n

n ? 2 时, a1 ? 2a2 ? 3a3 ? 4a4 ? ? ? (n ? 1)an?1 ? 2(n ? 1) 2 ? (n ? 1)?
所以当 n

? 2 时,由①-②得: nan ? 4n ? 1 ,即 a n ? 4 ?

1 ,当 n ? 1 时也成立.所以,数列 {an } 的 n

通项公式为 a n

? 4?

1 . n

四:化归法 把递推数列的递推公式进行适当变形,化归为熟悉的等差或等比数列,再求其通项公式. 例 4: 已知数列 {an } ,其中 a1 解:因为, a1

? 1 , S n?1 ? 4an ? 2 ,求它的通项公式.
因为 , 从 而

? S1 ? 1,所以, a2 ? S 2 ? S1 ? 4a1 ? 2 ? 1 ? 5 ,
, 所 以

an ? S n ? S n?1 ? (4an?1 ? 2) ? (4an?2 ? 2) ? 4(an?1 ? an?2 )

an ? 2an?1 ? 2(an?1 ? 2an?2 )

a n ? 2an?1 ? 2 , 于是数列 { an ? 2an?1 }是以 a2 ? 2a1 ? 3 为首项,公比为 an?1 ? 2a n?2

2 的等比数列 , 所以

an ? 2an?1 ? 3 ? 2 n?2 (n >1 ) ,从而
3 4

a n a n ?1 3 a ? n ?1 ? ,所以数列{ n n 4 2 2 2n

}是以首项为

a1 1 ? ,公差为 2 2

的等差数列,于是

an 1 3 3n ? 1 n 3n ? 1 ? 2 ? (3n ? 1) ? 2 n ? 2 . ? ? (n ? 1) ? ,所以 a n ? n 4 2 4 4 2

例 5: 已知数列 {an } 满足 a1 解:设 an

? 1 , an ? 2an ?1 ? 3(n ? 2, n ? N ) ,求这个数列的通项公式.

,即 an ? ?an ?1 ? ?? ? ? , ? ? ? ? (an ?1 ? ? ) ( ? , ? 为待定常数)

则与已知的 递推公式

an ? 2an?1 ? 3 相比较 得 ? ? 2, ?? ? ? ? 3 ,所以 ? ? 3, ? ? 2 ,于是
2 的等比数列,于是

an ? 3 ? 2(an?1 ? 3) ,所以数列 {an ? 3} 是首项为 a1 ? 3 ? 4 ,公比为

an ? 3 ? 4 ? 2 n?1 (n ? N ) ,即 an ? 2n?1 ? 3 ,所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 2n?1 ? 3 .
2

五、数学归纳法 用数学归纳法求递推数列的通项公式是教学中的重点,其步骤是归纳、猜想、证明. 例 6:已知数列 {an } 中各项均正,且 S n

?

1 1 (a n ? ) ,求数列的通项公式. 2 an

解:

1 1 S1 ? a1 ? (a1 ? ) ,又 a1 ? 0 ,所以 a1 ? 1 ; S 2 ? a1 ? a2 ? 1 (a2 ? 1 ) , 2 a1 2 a2 ? 1 a2
,又 a 2

即 2 ? a2

1 1 1 ? 0 ,所以 a2 ? 2 ? 1; S 3 ? a1 ? a2 ? a3 ? (a3 ? ) ,即 2 2 ? a3 ? , 2 a3 a3

又 a3

? 0 ,所以, a3 ? 3 ? 2 .,猜想: an ? n ? n ? 1 ( n ? N ) .
? 1 时,由上述过程知结论正确, ? k (k ? 1) 时结论成立,即 ak ? k ? k ? 1 ,则 n ? k ? 1 时,

证明:①当 n

②假设 n

1 1 1 1 1 1 1 ) ? ( k ? k ? 1 ? k ? k ? 1) ak ?1 ? S k ?1 ? S k ? (ak ?1 ? ) ? (ak ? ) ? (ak ?1 ? 2 ak ?1 2 2 ak ?1 2 ak 1 1 ? (ak ?1 ? )? k 2 ak ?1
所以 ak ?1
2

? 2 k ak ?1 ? 1 ? 0 ,又 ak ?1 ? 0 ,所以 ak ?1 ? k ? 1 ? k ,即 n ? k ? 1 时成立.
? n ? n ? 1 .,所以数列 {an } 的通项公式为 an ? n ? n ? 1 .

由①,②知对任意 n ? N , an

3


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