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指数函数及其性质


§2.2.1 指数函数及其性质
教材P54~56

一、课前回顾
初中时我们学了乘方和幂,我们知道:
2个2相乘

2? 2

3个2相乘
4个2相乘

2? 2? 2 2? 2? 2? 2
2 ? 2? 2 ? 2


2 3 2 2
4

2

x 个2相乘



x

2


x

二、新课引入
x 年后 同学们,从前面的学习中我们知道: 我国的GDP为2000年的 y 倍,可以表示为:
y ? 1.073 x

人们获得了生物遗体中碳14的含量 P 与死亡 年数 t 之间的关系为:

?1? P?? ? ?2?

t 5730

三、获得新知
如果用字母 a 代替数 和 1.073 ,那么前面 的两个函数的解析式都可以表示为:

1、什么是指数函数

1 ? 1 ? 5730 ? ? ?2?

y?a

x

的形式,其中自变量 x 是指数,底数 a 是一个大于0 且不等于1的常量。 其中 x 是自变量,函数的定义域为 R .
x ?a ? 0, 且a ? 1? y ? a 一般地,函数 叫做指数函数,

2、指数函数图像与性质

请画出函数 y ? 2 x 与
y g ?x ?
y
5 4 3 2 1 – 4 – 3 – 2 – 1 – 1 – 2

x

?1? g ?x ? ? ? ? ?2?

x

的图像

y
5

y ? 2x

4 3 2 1

?1? g ?x ? ? ? ? ?2?

x

O

1

2

3

4

x

– 3

– 2

– 1 – 1 – 2

O

1

2

3

4

x

2、指数函数图像与性质
一般地,指数函数 y ? a x ?a ? 0,且 a ? 1? 的图像和性 质如下表所示. 0 ? a ?1 a ?1


?0 ? a ? 1?
y ?1

y

y

y ? ax

y ? ax ?a ? 1?
(0, 1)

y ?1
(0, 1)


定义域
值 性 域 质 (1)过定点 (2)在

O

x

O

x

?0,1? ,即 x ? 0时,y ? 1
上是减函数 (2)在

?0, ? ??

R

R

R

上是增函数

y

?0, ? ??

的值域为

四、巩固新知

1、判断下列函数是否为指数函数: 1 x 3 (1) y ? x ; 不是 (2) y ? ?? 3? ;不是 x x ? ? y ? ? ? 3 y ? ? 3 (3) ; 不是 (4) ;是
2、求下列函数的定义域:
1 x

(1 ) y ? 3
解:

x ?2



(2)
解:

?1? y ?? ? ?2?



? ?

x ? 2 在根号内

x-2 ? 0

所以函数定义为 x x ? 2 .

?

?

? ?

x

x?0

在分母

所以函数定义域为 x x ? 0 .

?

?

课堂小结
一般地,指数函数 y ? a x ?a ? 0,且 a ? 1? 的图像和性 质如下表所示. 0 ? a ?1 a ?1


?0 ? a ? 1?
y ?1

y

y

y ? ax

y ? ax ?a ? 1?
(0, 1)

y ?1
(0, 1)


定义域
值 性 域 质 (1)过定点 (2)在

O

x

O

x

?0,1? ,即 x ? 0时,y ? 1
上是减函数 (2)在

?0, ? ??

R

R

R

上是增函数

课后作业

教科书P59 习题A组:5题


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