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集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数(2013高考真题为例) 第6课时


2016 届文科人教版数学
集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数(2013 高考真题为例)



名:

沈金鹏 数学学院

院 、 系: 专

业: 数学与应用数学

2015 年 11 月 25 日

第一部分


专题一

第 6 课时

(本栏目内容,在学生用书中以独立形式分册装订!) 1.(2013· 山东聊城三模)一火车锅炉每小时煤的消耗费用与火车行驶速度的立方成正比,已 知当速度为 20 km/h 时,每小时消耗的煤价值 40 元,其他费用每小时需 400 元,火车的最高速 度为 100 km/h,火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少? 解析: 设火车的速度为 x km/h,甲、乙两城距离为 a km.

1 由题意,令 40=k· 203,∴k= , 200 400? a 2 则总费用 f(x)=(kx3+400)· =a? ?kx + x ?. x 1 2 400? ∴f(x)=a? ?200x + x ?(0<x≤100). 由 f′(x)= a?x3-40 000? 3 =0,得 x=20 5. 100x2
[来源:学科网 ZXXK]

3 3 当 0<x<20 5时,f′(x)<0;当 20 5<x<100 时,f′(x)>0. 3 ∴当 x=20 5时,f(x)取最小值, 3 即速度为 20 5 km/h 时,总费用最少. 2.(2013· 北京昌平一模)已知函数 f(x)=-x3+ax2-4(a∈R). π (1)若函数 y=f(x)的图象在点 P(1,f(1))处的切线的倾斜角为 ,求 f(x)在[-1,1]上的最小值; 4 (2)若存在 x0∈(0,+∞),使 f(x0)>0,求 a 的取值范围. 解析: (1)f′(x)=-3x2+2ax.

π 根据题意得,f′(1)=tan =1,∴-3+2a=1,即 a=2. 4 ∴f(x)=-x3+2x2-4,则 f′(x)=-3x2+4x. 4 令 f′(x)=0,得 x1=0,x2= . 3 x f′(x) f(x) -1 -1 (-1,0) - ? 0 0 -4 (0,1) + ? -3 1

∴当 x∈[-1,1]时,f(x)的最小值为 f(0)=-4.

2a? (2)∵f′(x)=-3x? ?x- 3 ?. ①若 a≤0,则当 x>0 时,f′(x)<0,∴f(x)在(0,+∞)上单调递减. 又 f(0)=-4,则当 x>0 时,f(x)<-4. ∴当 a≤0 时,不存在 x0>0,使 f(x0)>0. ②若 a>0,则当 0<x< 当 x> 2a 时,f′(x)<0. 3 2a 时,f′(x)>0; 3

2a? ?2a ? 从而 f(x)在? ?0, 3 ?上单调递增,在? 3 ,+∞?上单调递减. 2a? 8a3 4a 3 4a3 ∴当 x∈(0,+∞)时,f(x)max=f? =- + - 4 = -4. ?3? 27 9 27 根据题意得, 4a3 -4>0,即 a3>27.∴a>3. 27

综上可知,a 的取值范围是(3,+∞). 3.(2012· 浙江卷)已知 a∈R,函数 f(x)=4x3-2ax+a. (1)求 f(x)的单调区间; (2)证明:当 0≤x≤1 时,f(x)+|2-a|>0. 解析: (1)由题意得 f′(x)=12x2-2a.

当 a≤0 时,f′(x)≥0 恒成立,此时 f(x)的单调递增区间 为(-∞,+∞). 当 a>0 时,f′(x)=12?x-

?

a?? x+ 6??

a? , 6? a? ? 和 6? ? a ,+∞?, 6 ?

此时函数 f(x)的单调递增区间为?-∞,-

?

单调递减区间为?-

?

a , 6

a? . 6?

(2)证明:由于 0≤x≤1,故当 a≤2 时,f(x)+|a- 2|=4x3-2ax+2≥4x3-4x+2. 当 a>2 时,f(x)+|a-2|=4x3+2a(1-x)-2≥4x3+4(1-x)-2=4x3-4x+2. 设 g(x)=2x3-2x+1,0≤x≤1,则 g′(x)=6x2-2=6?x-

?

3?? 3? . x+ 3 ?? 3?

于是 x g′(x) g ( x) 所以 g(x)min=g? 1 0

?0, 3? 3? ?
- 减

3 3 0 极小值

? 3,1? ?3 ?
+ 增

1
[来 源:Z&xx&k.Com]

1

?

4 3 3? =1- >0. 9 3?

所以当 0≤x≤1 时,2x3-2x+1>0.

故 f(x)+|a-2|≥4x3-4x+2>0. 1 4.(2013· 山西高三上学期诊断考试)已知函数 f(x)= m(x-1)2-2x+3+ln x,m≥1. 2 3 (1)当 m= 时,求函数 f(x)在区间[1,3]上的极小值; 2 (2)求证:函数 f(x)存在单调递减区间[a,b]; (3)是否存在实数 m, 使曲线 C: y=f(x)在点 P(1,1)处的切线 l 与曲线 C 有且只有一个公共点? 若存在,求出实数 m 的值;若不存在,请说明理由. 解析: 1 (1)f′(x)=m(x-1)-2+ (x>0). x 1? 3?x-2?? ?x-3? 1 ,令 f ′(x)=0,得 x1=2,x2= . 2x 3

3 当 m= 时,f′(x)= 2

f (x),f′(x)在 x∈(0,+∞)上的变化情况如下表: x f′(x) f(x)

?0,1? ? 3?
+ 单调递增

1 3 0 极大值

?1,2? ?3 ?
- 单调递减

2 0 极小值

(2,+∞) + 单调递增
Z+X+X+K] [来源:学+科+网

1 所以当 x=2 时, 函数 f(x)在 x∈[1,3]上取到极小值,且极小值为 f(2)=ln 2- . 4 (2)证明:令 f′(x)=0,得 mx2-(m+2)x+1=0.(*) 因为 Δ= (m+2)2-4 m=m2+4>0,所以方程(*)存在两个不等实根,记为 a,b( a<b).

?a+b= m 因为 m≥1,所以? 1 ?ab=m>0

m+ 2 >0 ,

所以 a>0,b>0,即方程(*)有两个不等的正根,因此 f′(x)<0 的解为(a,b). 故函数 f(x)存在单调递减区 间[a,b]. (3)因为 f′(1)=-1,所以曲线 C:y=f(x)在点 P(1,1)处的切线 l 的方程为 y=-x+2.若切线 1 l 与曲线 C 有且只有一个公共点,则方程 m(x-1)2-2x+3+ln x=-x+2 有且只有一个实根. 2 显然 x=1 是该方程的一个根. 1 x- ? m?x-1?? m ? ? 1 1 令 g(x)= m(x-1)2-x+1+ln x,则 g′(x)=m(x-1)-1+ = . 2 x x 当 m=1 时,有 g′(x)≥0 恒成立,所以 g(x)在(0,+∞)上单调递增,所以 x=1 是方程的唯 一解,m=1 符合题意.
[来源:学科网 ]

1 当 m>1 时,由 g′(x)=0,得 x1=1,x2= ,则 x2∈(0,1),易得 g (x)在 x1 处取到极小值, m 在 x2 处取到极大值.

1? 所以 g(x2)>g(x1)=0,又当 x 趋 近 0 时,g(x)趋近-∞,所以函数 g(x)在? ?0,m?内也有一个 解,m>1 不符合题意. 综上,存在实数 m=1 使得曲线 C:y=f(x)在点 P(1,1)处的切线 l 与曲线 C 有且只有一个公 共点.


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