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等差数列的定义与通项公式教案


等差数列的定义与通项公式
一.教学目标
(1)知识与技能:
正确理解等差数列的概念;初步掌握等差数列的通项公式,并会简单应用。

(2)过程与方法
通过对等差数列概念和通项公式的探究,培养学生观察、归纳、类比、猜想、推理等 发现规律的一般方法,通过阶梯性练习,提高学生的分析问题和解决问题的能力。

(3)情感、态度与价值观
通过对等差数列概念和通项公式的探究,培养学生严谨求实的学习作风和锲而不舍 的学习精神,养成细心观察、认真分析、善于总结的良好学习习惯。

(4)教学重点:
等差数列的定义、通项公式的探究

(5)教学难点
通项公式的推导、理解和灵活应用

二.知识复习
1.数列有几种表示方法? 2.数列的项与项数有什么关系? 3 函数与数列之间有什么关系?

三.教学过程
上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的数列的几种方法—— 列举法、通项公式、递推公式、图象法和前 n 项和公式这些方法从不同的角度 反映数列的特点.

1.创设情景
活动(1) :
请你将课前准备好的火柴摆成如图所的正方形,并将所用火柴的数目写成数列,并观 察所得数列有何规律?







n

规律:4,7,10,13,16,……

结论:从第 2 项起,每一项与前一项的差都等于 4 活动(2) :
请你将课前准备好的棋子摆 “上”字,并将所用棋子的数目写成数列,并观察所得数列 有何规律?并说出得出的两个数列有什么共同点?

?
2.等差数列的定义

?

?

规律:6,10,14,18,… 结论:从第 2 项起,每一项与前一项的差都等于 4

一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,这个数列就 叫做等差数列,这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母 d”表示) ⑴公差 d 一定是由后项减前项所得,而不能用前项减后项来求; (2)用递推公式如何表示?

an ? an?1 ? d (n ? 2) 或 an?1 ? an ? d (n ? 1)

练习:请同学们判断下列数列是不是等差数列,若是,请求出公差
(1)4,5,6,7,8,10,11. (2)1,4,7,10,13,16, (3)7x, 3x,-x,-5x,-9x,… (4)2,0,-2,-4,-6,… (5)5,5,5,5,5,5,…

3.等差数列的通项公式
(1) 设台阶第一级高度为 a1, 每一级的高度为 d, 找出第 n 级 an 与 n, a1, d 之间的关系?

a2 ? a1 ? d a3 ? a2 ? d ? (a1 ? d ) ? d ? a1 ? 2d a4 ? a3 ? d ? (a1 ? 2d ) ? d ? a1 ? 3d LL an ? a1 ? (n ? 1)d
这是不完全归纳法得到等差数列的通项公式

(2)迭加法:

a2 ? a1 ? d ,
a3 ? a2 ? d , a4 ? a3 ? d


an ? an?1 ? d
将上面 n-1 个式子相加得:

an ? a1 ? (n ?1)d
(3)迭代法: 留给同学们小组合作解决

4.例题互析:
例 1:求等差数列 8,5,2,…的通项公式与第 20 项。

例 2: 等差数列-5,-9,-13,…第几项是-401?

例 3 小明、小明的爸爸和小明的爷爷三个人在年龄恰好构成一个等差数列,他们三人的年 龄之和为 120 岁,爷爷的年龄比小明年龄的 4 倍还多 5 岁,求他们祖孙三人的年龄.

5.探究等差数列与一次函数的关系
分别在直角坐标内描出数列的图像

(1)数列:-2,0,2,4,6,8,10,… (2)数列:7,4,1,-2,… (3)数列:4,4,4,4,4,4,4,…
总结:等差数列的图象为相应直线上的点。

6.达标检测:
(1)求等差数列 1,4,7,10,…的第 10 项。 (2)在等差数列{an}中,已知 a1=1,a20=-37,求公差 d。 (3) 在等差数列{an}中, 已知 a1=1 , 公差 d= -2 ,则-397 是该数列的第几项?

(4)在等差数列{an}中,已知 d=-2 ,a12=-21,求 a1 7.知识小结
一个定义: an+1-an=d (d 是常数,n∈N+) 一个公式:an=a1+(n-1)d 三种思想:方程思想 函数思想 数形结合思想 三种方法:迭加法 迭代法 不完全归纳法

8.课后作业:
(1)课本练习题 A 组第 1、2 题 (2)选做题 B 组 3、4 (3)寻找生活中等差数列的实例 .


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