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随机过程第一章总结


第一章小结

第一章小结
一、几个概念
二、随机过程的分布函数与密度函数 三、随机过程的数字特征

四、两个随机过程的联合分布和数字特征

第一章小结
问题一:可用哪些概率函数描述一个随机变量? 答:概率分布函数、概率密度函数、特征函数。 问题二: 可用哪些数字特征部分描述一个随机变量?

答:均值、方差、协方差、相关系数。 问题三:随机变量与通常意义上的变量有何区别与联 系? 答:随机变量具有通常意义上的变量的所有性质和 特征(即变量特性),还增加了变量取每个值的可能 性大小的描述(即概率特性)。因此,描述或刻画一 个随机变量时,还必须要特别考察其概率函数或各阶 矩函数。

第一章小结
【二】随机过程分布函数定义:
【定义一】随机过程的一维分布函数与密度函数:设 ?X ?t ?, t ? T ? 是一随机 过程,对于每一个固定的 t ? T , X ? t ? 是一随机变量,它的分布函 数是与 t 有关的,则称
F1 ? x , t ? ? P ? X ?t ? ? x ?, t?T

?1 ?

为随机过程的一维分布函数,若 F1 ? x , t ? 存在导数,则称
f1 ? x , t ? ? ? F1 ? x , t ? ?x

?2 ?

为随机过程的一维密度函数
F1 ? x , t ? ?

?

x

??

f 1 ? u , t ?du

?3 ?

第一章小结
【二】随机过程分布函数定义:
【定义二】随机过程的二维分布函数与密度函数:设 ?X ?t ?, t ? T ? 是一随机 过程,给定两个时刻 t1 , t 2 ? T ,随机变量 X ? t ? 和 X ?t ? 的联合分 1 2 布与 t 1 和 t 2 有关,记作
F 2 ? x 1 , x 2 , t1 , t 2 ? ? P ? X ?t1 ? ? x 1 , X ?t 2 ? ? x 2 ?, t1 , t 2 ? T

?1 ?

称为随机过程的二维分布函数,若 F ? x , x , t , t ? 存在二阶偏导数, 2 1 2 1 2 2 则称 ? F 2 ? x 1 , x 2 , t1 , t 2 ? f 2 ? x 1 , x 2 , t1 , t 2 ? ? ?2 ?
? x1? x 2

为随机过程的二维密度函数

第一章小结
【二】随机过程分布函数定义:
【定义三】随机过程的 n 维分布与密度函数:设随机过程 ?X ?t ?, t ? T ? ,当 时间 t 取任意 n 个数值 t1 , t 2 , ? , t n ? T 及 ? x 1 , x 2 , ? , x n ? ? R n 时, T 记 n 维随机向量 ? X ?t1 ?, X ?t 2 ?, ? , X ?t n ?? 的联合分布函数
F x ? x 1 , ? , x n , t1 , ? , t n ? ? P ? X ? t 1 ? ? x 1 , ? , X ? t n ? ? x n ?

?1 ?

称为随机过程的 n 维分布函数,若 F x ? x 1 , ? , x n , t1 , ? , t n ? 存在 n 阶偏 导数,则称
f x ? x 1 , ? , x n , t1 , ? , t n

??

? F x ? x 1 , ? , x n , t1 , ? , t n
n

?

? x1? x 2 ? ? x n

?2 ?

为随机过程的 n 维密度函数。

第一章小结
【二】随机过程分布函数的性质:
【性质一】对称性:对 ?1, 2 , ? , n ? 的任意排列 ?i1 , i 2 , ? , i n ? ,有
F x ? x 1 , x 2 , ? , x n , t1 , t 2 , ? , t n ? ? F x x i1 , x i 2 , ? , x i n , t i1 , t i 2 , ? , t i n

?

?

即随机过程的分布函数在下标的任意置换下是不变的。

【性质二】相容性:对 m ? n 有
F n ? x 1 , x 2 , ? , x m , ? , ? , ? , t1 , t 2 , ? , t m , t m ? 1 , ? t n ? ? F m ? x 1 , x 2 , ? , x m , t1 , t 2 , ? , t m

?

第一章小结
【三】数学期望和方差
【定义一】数学期望:设随机过程?X ?t ?, t ? T ? ,f ? x , t ? 是一维概率密 度函数,则称一阶原点矩
m ? t ? ? E ? X ? t ?? ?

?

?

为随机过程 X ? t ? 的数学期望。

??

xf

? x , t ?dx

【定义二】方差:设随机过程 ?X ?t ?, t ? T ? ,则称二阶中心矩
E

?? X ?t ? ? m ?t ?? ? ? ?
2

?

??

?x

? m ?t ??

2

f

? x , t ?dx


为随机过程 X ? t ? 的方差。记作 D ? X ?t ?? ? ? 2 ?t ? 或 Var ? X ?t ?? 同时,有公式:D ? X ?t ?? ? E ? X 2 ?t ?? ? m 2 ?t ?

第一章小结
【三】自相关函数和协方差函数
【定义三】自相关函数:设随机过程 ?X ?t ?, t ? T ? ,t1 , t 2 ? T 并且相应的 二元联合概率密度函数为 f 2 ? x 1 , x 2 , t1 , t 2 ? ,则称它们的二阶原点矩
R xx ? t1 , t 2 ? ? E ? X ? t1 ? X ? t 2 ?? ?

? ?
??

?

?

??

x 1 x 2 f 2 ? x 1 , x 2 , t1 , t 2 ?dx 1 dx 2

为随机过程 X ? t ? 的自相关函数,简称为相关函数,简记为R x ? t1 , t 2 ? 或 R ? t1 , t 2 ? 。
【定义四】自协方差函数:设 X ? t1 ? 和 X ?t 2 ? 是随机过程 X ? t ? 的任意两种 不同时刻 t1 和 t 2 的随机变量,称它们的二阶中心混合矩
C XX ? t1 , t 2 ? ? E ?? X ? t1 ? ? m ? t1 ??? X ? t 2 ? ? m ? t 2 ??? ?
? ?

? ? ?x
?? ??

1

? m 1 ?? x 2 ? m 2 ? f 2 ? x 1 , x 2 , t1 , t 2 ?dx 1 dx

2

为该随机过程 X ? t ? 的自协方差函数,简称为协方差函数,简记为 C X ?t1 , t 2 ? 或 C ? t1 , t 2 ? 。且有:C ? t1 , t 2 ? ? R ? t1 , t 2 ? ? m ? t1 ?m ? t 2 ?

第一章小结
【三】例题
【例一】设有正弦波过程 X ?t ? ? A cos ?? t ? ? ? ,其中振幅 A 取常数,角 频率? 取常数,相位 ? 是一个均匀分布于 ? ? ? , ? ?间的随机变量, 求 X ? t ? 的均值和相关函数。

【分析】(1)E ? X ?t ?? ?

(2)R ? t , t ? ? E ? X ? t ? X ? t ?? X 1 2 1 2
? ? ?

??
?

?

A cos ?? t ? ?

?

1 2?

d? ? 0

??
?

?

A cos ?? t1 ? ? ? cos ?? t 2 ? ?
2

?

1 2?

d?

A 2 A 2

2

cos ? ? t1 ? t 2 ? cos ??

2

由后面介绍内容知,该过程的均值是一常数,而自相关函数仅仅与 时间差有关,所以是一平稳随机过程。

第一章小结
【四】两个随机过程的联合分布函数和密度函数
【定义一】联合分布函数与密度函数:设 X ? t ? 和Y ?t ? 是两个随机过程, ' ' t 它们具有同一参数集 T , 1 , t 2 , ? , t n 和 t1' , t 2 , ? , t m 是参数集 T 内 的任意两组实数,则称? n ? m ? 维随机变量

? X ?t ?, X ?t ?, ? , X ?t ?; Y ?t ?, Y ?t ?, ? , Y ?t ??
' ' ' 1 2 n 1 2 m

T

的联合分布函数

F n , m ? x 1 , ? , x n , t1 , ? , t n ; y 1 , ? , y m , t1 , ? , t m ?
' ' ' '

? P ?X ? t1 ? ? x 1 , ? , X ? t n ? ? x n ; Y ?t1 ? ? y 1 , ? , Y ?t m ? ? y m ?

为随机过程 X ? t ? 和 Y ?t ? 的? n ? m ? 维联合分布函数。 相应的 ? n ? m ? 维 联合密度函数为:
f n , m ? x 1 , ? , x n , t1 , ? , t n ; y 1 , ? , y m , t1 , ? , t m ?
' '

?

?

n?m

F n , m ? x 1 , ? , x n , t1 , ? , t n ; y 1 , ? , y m , t1 , ? , t m ?
' '

? x1? x 2 ? ? x n ? y 1? y 2 ? ? y m

第一章小结
【四】两个随机过程的联合分布函数和密度函数
【定义二】两随机过程的相互独立:设如果对任意正整数n 和m 以及 ' ' ' 任意数组 t1 , t 2 , ? , t n 和 t1 , t 2 , ? , t m 联合分布函数或联合密度函数 满足下列关系
F n , m ? x 1 , ? , x n , t1 , ? , t n ; y 1 , ? , y m , t1 , ? , t m ?
' '

? F n ? x 1 , ? , x n , t1 , ? , t n ? F m ? y 1 , ? , y m , t1 , ? , t m ?
' '



f n , m ? x 1 , ? , x n , t1 , ? , t n ; y 1 , ? , y m , t1 , ? , t m ?
' '

? f n ? x 1 , ? , x n , t1 , ? , t n ? f m ? y 1 , ? , y m , t1 , ? , t m ?
' '

则称随机过程 X ? t ? 和 Y ?t ? 是相互统计独立的。

第一章小结
【四】两个随机过程的互相关函数和互协方差函数
【定义三】互相关函数:设两个随机过程 X ? t ? 和Y ?t ? 在任意两个不同时 刻 t1 , t 2 ? T 则称二阶混合原点矩
R XY ? t1 , t 2 ? ? E ? X ? t1 ?Y ? t 2 ?? ?

? ?
??

?

?

??

xyf

XY

?x,

y , t1 , t 2 ?dxdy

为随机过程 X ? t ? 和 Y ?t ? 的互相关函数,其中 f XY ? x , y , t1 , t 2 ? 为随 机过程 X ? t ? 和 Y ?t ? 在时刻 t1 , t 2 的联合密度函数。 【定义四】互协方差函数:两个随机过程 X ? t ? 和Y ?t ? 的二阶混合中心矩
C XY ?t1 , t 2 ? ? E ?? X ? t1 ? ? m X ?t1 ???Y ?t 2 ? ? m Y ?t 2 ???

称为随机过程 X ? t ? 和 Y ?t ? 的互协方差函数。由定义知互协方差函 数与互相关函数的关系式: ?t , t ? ? R ?t , t ? ? m ?t ?m ?t ? C
XY 1 2 XY 1 2 X 1 Y 2

第一章小结
【四】两个随机过程的互相关函数和互协方差函数
【性质一】对称性:C XY ?t1 , t 2 ? ?
C YX ? t 2 , t1 ?

【性质二】若随机过程 X ? t ? 和 Y ?t ? 相互独立,则有 R XY ?t1 , t 2 ? ? m X ?t1 ?m Y ?t 2 ? 及 C XY ? t1 , t 2 ? ?

0

【性质三】若随机过程 X ? t ? 和 Y ?t ? 对于任意的 t1 , t 2 都有 C XY ? t1 , t 2 ? ? 0 或 R XY ?t1 , t 2 ? ? m X ?t1 ?m Y ?t 2 ? 则称随机过程 X ? t ? 和 Y ?t ? 是互不相关的。 特别地,如果两个随机过程是相互独立的,则它们必然互不 相关,反之不一定成立,但对两个正态随机过程而言,不相 关与相互独立是相互等价的。

第一章小结
【三】复随机过程
【定义一】复随机变量:设 X , Y 为同一概率空间上的两个取实数值的随 机变量,并设 Z ? X ? jY ,则称 Z 为该概率空间上的复随机变量。 如果 X 和 Y 的一阶矩和二阶矩都存在,则
E ? Z ? ? E ? X ? ? jE ?Y
2

?

D ? Z ? ? E Z ? E ? Z ? ? E ?Z ? E ? Z ???Z ? E ? Z ?? ? E ? X ? E ? X

?

?

?

??2 ? ?Y

? E ?Y

??2 ?

称 E ? Z ?, D ? Z ? 为复随机变量

Z

的均值和方差。

【定义二】复随机过程:设 X ? t ? 和 Y ?t ? 是具有相同的参数集 T 上的 两个随机过程,则 Z ?t ? ? X ?t ? ? jY ?t ? 称为复随机过程。若 X ? t ? 和
为均值 2 D ?Z ?t ?? ? E Z ?t ? ? m Z ?t ? 为方差函数, ? t , t ? ? E ?Z ? t ? Z ? t ?? 为 函数, Rz 1 2 1 2 自相关函数,自协方差函数定义为:
C z ?t1 , t 2 ? ? E ?Z ?t1 ? ? m Z ?t1 ???Z ?t 2 ? ? m Z ?t 2 ?? ? R z ?t1 , t 2 ? ? m Z ?t1 ?m Z ?t 2 ?
Y ?t ? 的数学期望和二阶矩都存在,则定义 m z ? t ? ? E ? Z ? t ??

?

?

第一章小结
【四】复随机过程
【性质一】对称性: ?t , t ? ? C ?t , t ? Cz 2 1 z 1 2 【性质二】互相关函数和互协方差函数:两个复过程 Z 1 ?t ? 和 Z 2 ?t ? 的 互相关函数和互协方差函数分别为:
RZ
1Z 2

? t1 , t 2 ? ?

E Z 1 ? t1 ? Z 2 ? t 2 ?

?

?
1 2

CZ

1Z 2

? t1 , t 2 ? ?

RZ

1Z 2

? t 1 , t 2 ? ? m Z ? t 1 ?m Z ? t 2 ?


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