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【名师一号】2014-2015学年北师大版高中数学必修2双基限时练10]


双基限时练(十)
一、选择题 1.在空间中,下列命题正确的是( A.若 a∥α,b∥a,则 b∥α B.若 a∥α,b∥α,a β,b β,则 α∥β C.若 α∥β,b∥α,则 b∥β D.若 α∥β,a α,则 a∥β 解析 对于 A,当 a∥α,b∥a 时,b 可能在 α 内,故 A 不正确; 对于 B,a,b 有可能平行,此时 α∥\β,故 B 不正确;对于 C,α∥β, b∥α,此时 b 有可能在平面 β 内,故 C 不正确. 答案 D )

2.平面 α∥平面 β,平面 γ∥平面 δ,且 α∩γ=a,α∩δ=b,β∩γ =c,β∩δ=d,则交线 a,b,c,d 的位置关系是( A.互相平行 C.相互异面 B.交于一点 D.不能确定 )

解析 由面面平行的性质定理,可知答案为 A. 答案 A

3.给出下列命题: ①一条直线与另一条直线平行,它就和经过另一条直线的任何平 面平行;②一条直线和一个平面平行,它就和这个平面内的所有直线 平行;③经过两条异面直线 a,b 外一点,必有一个平面与 a,b 都平 行;④经过两条异面直线中的一条,有且只有一个平面平行于另一条 直线. 其中正确的命题有( A.0 个 ) B.1 个

C.2 个 解析

D.3 个

①因为两条平行直线可确定一个平面,其中的一条直线可

能在另一条直线所在的平面内,故①不对;对于②,一条直线和一个 平面平行,它和这个平面内的直线有的平行,有的异面,故②不对; ③中,经过两条异面直线外一点 P,可作 a′∥a,b′∥b,a′∩b′ =P,可确定一个平面,但有可能 a α 或 b α,故③不正确;④显然 正确,故选 B. 答案 B

4.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E,F,G,H 分别为棱 AA1, BB1,CC1,DD1 上的点,且 E,F,G,H 四点共面,则四边形 EFGH 一定是( ) B.菱形 D.不一定是平行四边形

A.平行四边形 C.不是菱形

解析 据两平面平行的性质定理, 可知 EFGH 一定为平行四边形. 答案 A

5.过长方体 ABCD—A1B1C1D1 任意两条棱的中点作直线,其中与 平面 DBB1D1 平行的直线共有( A.4 条 C.8 条 ) B.6 条 D.12 条

解析 与面 BDD1B1 平行的平面有 EFGH,MNPQ,其中 E,F,G, H,M,N,P,Q 分别为棱的中点,每一个平面由中点构成的线有 6 条,据面面平行的性质定理,可知与面 BDD1B1 平行的线共有 12 条.

答案

D

6.过三棱柱 ABC-A1B1C1 的任意两条棱的中点作直线,其中与面 ABB1A1 平行的直线的条数有( A.4 C.6 解析 ) B.5 D.7 画出图形,结合图形作出判断.如图所示, E, F, G, H

分别是所在棱的中点, 显然 EF, EH, HG, GF, EG, FH 都与平面 ABB1A1 平行.

答案

C

二、填空题 7.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M,N 分别在 AB1,BC1 上,且 AM=BN,那么①AC∥MN;②MN∥面 ABCD;③MN∥面 A1B1C1D1.

其中正确的是________. 解析

如图,过 M,N 分别作 MG∥BB1,NH∥BB1,分别交 AB,BC 于 G,H 两点. MG AM AG ∴BB =AB = AB ,
1 1

NH BN BH 又CC =BC =BC ,又 ABCD—A1B1C1D1 为正方体,∴AB1=BC1,
1 1

又 AM=BN, ∴MG=NH,AG=BH. 故当 G,H 不是 AB,BC 的中点时,GH 故①不正确, 由 MG 綊 NH,知 MN∥GH, ∴MN∥面 ABCD,同理可得 MN∥面 A1B1C1D1. 答案 ②③ AC,

8.如图 a∥α,A 是 α 的另一侧的点,B,C,D∈a,线段 AB,AC, AD 交 α 于 E,F,G,若 BD=4,CF=4,AF=5,则 EG=________.

EG AF AF· BD 5×4 20 解析 由相似比BD=AC,∴EG= AC = 9 = 9 . 答案 20 9

9.如图,在四面体 ABCD 中,若截面 PQMN 是正方形,则在下 列命题中,正确的是________.

①AC∥面 PQMN;②AC=BD;③BD∥面 PQMN;④AC⊥BD 解析 由 PQMN 为正方形,知 PQ∥MN, ∴PQ∥面 ADC.又 PQ 面 ABC, 面 ABC∩面 ADC=AC,∴PQ∥AC. ∴AC∥面 PQMN,同理 BD∥面 PQMN. 故①③正确,又 AC∥MN,BD∥MQ,MN⊥MQ, ∴AC⊥BD,故④正确. ∴正确的有①③④.

答案

①③④

三、解答题 10.如图,正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,D 是 BC 的中点.判断直 线 A1B 与平面 ADC1 的关系.



A1B∥面 ADC1,证明如下:

证法 1:如图①,连接 A1C 交 AC1 于 F, 则 F 为 A1C 的中点.连接 FD. ∵D 是 BC 的中点, ∴DF∥A1B. 又 DF 平面 ADC1,A1B ∴A1B∥平面 ADC1. 证法 2:如图②,取 C1B1 的中点 D1, 平面 ADC1,

则 AD∥A1D1,C1D∥D1B, ∴AD∥平面 A1D1B, 且 C1D∥平面 A1D1B. 又 AD∩C1D=D, ∴平面 ADC1∥平面 A1D1B. ∵A1B 平面 A1D1B, ∴A1B∥平面 ADC1. 11.如图,在直四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,底面 ABCD 为等腰 梯形,AB∥CD,AB=4,DC=2,E,E1 分别为 AD,AA1 的中点,F 为 AB 的中点. 求证:EE1∥面 FCC1.

证明

∵ABCD—A1B1C1D1 为直棱柱,

∴DD1∥CC1. 又 CC1 面 ADD1A1,DD1 面 ADD1A1,

∴CC1∥面 ADD1A1. 又 ABCD 为梯形,AB∥CD,AB=4,DC=2, F 为 AB 的中点, ∴AF∥DC,且 AF=DC. 故四边形 AFCD 为平行四边形,故 FC∥AD. 又 AD 面 ADD1A1,FC ∴FC∥面 ADD1A1. 又 FC∩CC1=C, ∴面 FCC1∥面 ADD1A1. 又 EE1 面 ADD1A1, ∴EE1∥面 FCC1. 12.在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,E 为线段 PD 上 PE BF 的点,F 为线段 AB 上的点,且ED= FA ,试判断 EF 与平面 PBC 的关 系,并证明. 面 AD1,

证明

EF∥平面 PBC.证明如下:

如图作 FG∥BC 交 CD 于点 G,连接 EG,

BF CG 则 FA =GD.

PE BF PE CG ∵ED= FA ,∴ED=GD. ∴PC∥EG. 又 FG∥BC,BC∩PC=C,FG∩GE=G, ∴平面 PBC∥平面 EFG.又 EF?平面 PBC, ∴EF∥平面 PBC. 思 维 探 究 13.

在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,点 D 为 AC 的中点,点 D1 是 A1C1 上 的一点. A1D1 (1)当D C 等于何值时,BC1∥平面 AB1D1?
1 1

(2)当 BC1∥平面 AB1D1 时,

求证:平面 BC1D∥平面 AB1D1.



A1D1 (1)D C =1.证明如下:如图,此时 D1 为线段 A1C1 的中点,连
1 1

接 A1B 交 AB1 于 O, 连接 OD1.由棱柱的定义知四边形 A1ABB1 为平行四 边形,∴点 O 为 A1B 的中点. 在△A1BC1 中,点 O,D1 分别为 A1B,A1C1 的中点, ∴OD1∥BC1. 又∵OD1 平面 AB1D1,BC1 ∴BC1∥平面 AB1D1, A1D1 ∴当D C =1 时,BC1∥平面 AB1D1.
1 1

平面 AB1D1,

(2)证明:由(1)知,当 BC1∥平面 AB1D1 时,点 D1 是线段 A1C1 的 中点,则有 AD∥D1C1,且 AD=D1C1, ∴四边形 ADC1D1 是平行四边形.∴AD1∥DC1. 又∵DC1 平面 AB1D1,AD1 平面 AB1D1,

∴DC1∥平面 AB1D1. 又∵BC1∥平面 AB1D1, BC1 平面 BC1D,DC1 平面 BC1D,DC1∩BC1=C1, ∴平面 BC1D∥平面 AB1D1.


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