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山西省晋中市2013届高三第一次四校联考数学(文)试题


命题: 康杰中学 忻州一中 临汾一中 长治二中 (满分 150 分,考试时间 120 分) 一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.)
2 1. 记集合 M ? { x | x ? 1 ? 1}, N ? { x | x ? 3 x ? 0} ,则 M ? N ?

A

. ? x 2 ? x ? 3 ?

B. ? x x ? 0 或 x ? ? 2 ?
1 a ? 1 b 的

C. ? x ? 2 ? x ? 3 ?

D. ? x 0 ? x ? 2 ?

2. 若 a , b ? R , 且 ab ? 0 , 则 a ? b 是 A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
[来源:GkStK.Com]

3. 已知数列 { a n } 是等差数列,且 a 7 ? 2 a 4 ? ? 1, a 3 ? 0 ,则公差 d ? A.-2 B. ?
1 2

C.
?
2

1 2 4 5 4 3

D.2
, 则 tan ? ?

4. 已知 ? 为第四象限的角,且 sin( A. ?
3 4

??) ?

B.

3 4

C. ?

D.

4 3
[来源:学优高考网 GkStK]

5. 设 { a n } 是由正数组成的等比数列,S n 为数列的前 n 项的和, 已知 a 2 a 4 =1, S 3 ? 7 ,则 S 5 ? A.
15 2

B.

31 4

C.

33

D.

17

2 4 ? ? ? ? ? ? ? 6.平面向量 a , b ,已知 a =(4,3) 2 a ? b =(3,18) , ,则 a , b 夹角的余弦值等于

8 A. 65

8 B.- 65

16 C. 65

D.-

16 65

? x ? y ? ?1 ? 7.若实数 x , y 满足 ? x ? y ? 1 ?3x ? y ? 3 ?

则 2 x ? y 的最大值为

A. 7

B.1

C.2

D.9

8.已知函数 f ( x ) 在 ? ? ? , 2 ? 为增函数,且 f ( x ? 2 ) 是 R 上的偶函数,若 f ( a ) ? f (3) , 则实数 a 的取值范围是 A. a ? 1 B. a ? 3 C. 1 ? a ? 3
?
2
f ( ? x ) ? f ( x ) ,则

D. a ? 1 或 a ? 3
) 的最小正周期为 ? ,且

9. 设 函 数 f ( x ) ? s i n ? x ? ? ) ? c o s ? x ? ? ) ( ? ? 0 , ? ? ( (

A. f ( x ) 在 ( 0 ,

?
2

) 单调递减

B. f ( x ) 在 (

?
4

,

3? 4

) 单调递减

C. f ( x ) 在 ( 0 ,

?
2

) 单调递增

D. f ( x ) 在 (

?
4

,

3? 4

) 单调递增

10.设 P 为等边 ? ABC 所在平面内一点,满足 CP ? CB ? 2 CA ,若 AB ? 1 ,则
PA ? PB 的值为

A.4

B. 3
1
n ?1

C . 2
[( 1 2 )
n ?1

D. 1
] ,则 { a n }

11. 已知数列 { a n } 的通项公式 a n ? ( )
2

?

1 3

A.最大项为 a 1 ,最小项为 a 3 C.最大项为 a 1 ,最小项不存在

B.最大项为 a 1 ,最小项为 a 4 D.最大项不存在,最小项为 a 4

12. 已知定义在实数集 R 上的函数 f ( x ) 满足 f (1) ? 2 ,且 f ( x ) 的导函数 f ? ( x ) 在 R 上恒有
f ' ( x ) ? 1, 则不等式 f ( x ) ? x ? 1 的解集为

A. (1, ?? )

B. ( ?? , ? 1)

C. ( ? 1,1)

D. ( ?? , ? 1) ? (1, ?? )

二、填空题: (本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分. 把答案填在答题纸的相应位置. ) 13. 曲线 y ? x (2 ln x ? 1) 在点(1, 1)处的切线方程是_______________________
1 0 ? an ? ? 2an , 2 ,若 a =3,则 a 14. 数列 { a n } 满足 a n ? 1 = ? =____________ 2012 1 5 1 ? 2 a n ? 1, ? a ? 1 n 2

15. 在 ? A B C 中 , D 是 边 AC 上 的 点 , 且 AB ? AD ,
sin C ? ____________
x ?1 ? 2e 16.设 f ( x ) ? ? 2 ? log 3 ( x ? 1 )

2 AB ?

3 BD , BC ? 2 BD ,



x ? 2 x ? 2

,则不等式 f ( x ) ? 2 的解集为____________

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分. 把解答过程书写在答题纸的相应位置. ) 17. (本小题满分 10 分) 在 ? A B C 中 , 角 A 为 锐 角 , 记 角 A, B , C 所 对 的 边 分 别 为 a , b, c , 设 向 量
? ? m ? (cos A , sin A ), n ? ( c o s , ? s i nA ) A

,且 m 与 n 的夹角为 3 .

?

?

π

(1)求 m ? n 的值及角 A 的大小; (2)若 a ?
7,c ? 3 ,求 ? A B C 的面积 S .

?

?

18.(本小题满分 12 分)

[来源:高[考∴试﹤题∴库]

S 已知等差数列 ?a n ? 的首项 a 1 ? 20 , 前 n 项和记为 S n , 满足 S 10 ? S 15 , n 取何值时, n 取 求

得最大值,并求出最大值.

19. (本小题满分 12 分) 设锐角 ? ABC 的三个内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,已知 a , b , c 成等比数列, 且 sin A sin C ?
3 4

(1) 求角 B 的大小; (2) 若 x ? [ 0 , ? ) ,求函数 f ( x ) ? sin( x ? B ) ? sin x 的值域.

20. (本小题满分 12 分) 已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,且 S n ? 1 ? a n ( n ? N ).
*

(1)试求 { a n } 的通项公式; (2)若 b n ?
n an

[来源:GkStK.Com]

,试求数列 { b n } 的前 n 项和.

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? ( 2 ? a ) ln x ?
1 x ? 2 ax , ( a ? R )

(1)当 a ? 0 时,求 f ( x ) 的极值; (2)当 a ? 0 时,求 f ( x ) 的单调区间.

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? x (ln x ? m ), g ( x ) ?
a 3 x ? x.
3

(1)当 m ? ? 2 时,求 f ( x ) 的单调区间;
3 2

(2)若 m ?

时,不等式 g ( x ) ? f ( x ) 恒成立,求实数 a 的取值范围.

2013 届 高 三 第 一 次 四 校 联 考 数 学 ( 文 ) 参 考 答 案
一、选择题:ADBAB 二、填空题: 13.
3x ? y ? 2 ? 0

CADAB
4 5

BA
6 6

14.

15.

16.

(1, 2 ) ? ( 10 , ?? )

三、解答题: 17.(1)? m ?
c o s A ? sin A ? 1, n ?
2 2

co s A ? ( ? sin A )
2

2

? 1,

? m ? n= m ? n ? cos
2 2

π 3

?

1 2

. …………………………………………2 分 1 2 π 6
2 2

? m ? n = co s A ? sin A ? co s 2 A ,? c o s 2 A ?

. …………………3 分 .

? 0? A?

π 2

, 0 ? 2 A ? π, ? 2 A ?
3 ,A ?

π 3

,A ?

………………5 分

(2)? a ?
2

7,c ?

π 6

, 及 a ? b ? c ? 2 b c co s A ,……7 分
2

? 7 ? b ? 3 ? 3 b , 即 b ? ? 1 (舍去)或 b ? 4 . ……………………9 分

故S ?

1 2

b c s in A ?
5 3

3 . ······································10 分 ·····································

18.∵ a 1 ? 20 , S 10 ? S 15 ∴ d ? ? ∴an ? ?
5 3 n? 65 3

………………………………………3 分 …………………………………………6 分

∴ a 13 ? 0

即,当 n ? 12 时, a n ? 0 ,
n ? 14 , a n ? 0

∴当 n ? 12 或 n ? 13 时, S n 取得最大值,最大值是 S 12 ? S 13 ? 130 19.解: (1) 因为 a , b , c 成等比数列,则 b 2 又 sin
A sin C ? 3 4

…………12 分 .

? ac

.由正弦定理得 sin 2 B

? sin A sin C

,所以 sin 2 B
?

?
3 2

3 4

.……………………2 分
B ? (0,
sx i?n

[来源:高[考∴试﹤题∴库 GkStK]

因为 sinB>0,则 sin B (2) 因为 B
? π 3

.
?)

?
2

) ,B=
?

?
3

.6分
?
3 c o? s sx n i s i n

,则

f ( x )?

s i nx? (

?
3

xs i n 3

? o s x c

?

3 2

sin x ?

3 2

cos x ?

3 sin ( x ?

?
6

)

. …………9 分

x ? [0 , ? )

,则 ?

?
6

? x?

?
6
3 ,

?

5? 6
3]

,所以 sin ( x ? .

?
6

) ? [?

1 2

,1] .

故函数 20. 1) n (

f (x)

的值域是 [ ?
1 2

……………………12 分[来源:

2

? 1时, a 1 ? 1 ? a 1 , ? a 1 ?

…………………2 分
1 2 a n (n ? N ? )

? S n ? 1 ? a n , S n ? 1 ? 1 ? a n ? 1 ,? a n ?1 ?

…………………4分
1 2 ) , ?n ? N
n ?

? 数列 { a n }是 首 项 为
( 2 )b n ? n an
2 n

1 2

,公比为

1 2

的 等 比 数 列 ,a n ? (

? …………6 分

? n ? 2 ,? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 8分 ? 3? 2
3

? Tn ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 2T n ? 1 ? 2
2

?? ? n? 2

n n ?1

? 2? 2

3

? 3? 2

4

?? ? n? 2
n ?1

? ? ? ? ? 9分

相减整理得:

T n ? n ? 1) ( 2

? 2 ? ? ? ? ? ? 12 分

21. 解: (I)当 a ? 0 时, f ( x ) ? 2 ln x ?
f ?( x ) ? 2 x ? 1 x
2

1 x

?

2x ?1 x
2

( x ? 0 ) …………………………………………………2 分
(0 , 1 2 ) 1 2
0 极小值

x
f ?( x )

(

1 2

, ?? )
+



f (x)

单调递减

单调递增

…………………………………………………………………………………………4 分
∴当 x =
1 2

时, f ( x ) 极小值= f ( ) ? 2 ? 2 ln 2 ,无极大值…………………………5 分
2

1

(II) f ? ( x ) ?

2?a x

?

1 x
2

? 2a ?

2ax ? (2 ? a ) x ? 1
2

x

2

2a(x ? ?

1

)( x ?

1 a

) ( x ? 0 ) …………………………………………6 分

2 2 x
1 a

(1)当

1 2

? ?

即 a ? ? 2 时, f ? ( x ) ? 0 恒成立.

∴ f ( x ) 的单调递减区间为 (0, ? ? ) …………………………………………………7 分

?a ? 0 ? (2)当 ? 1 1 即 ?2 ? a ? 0 时 ? ? ? a ?2
f ( x ) 的单调递减区间为 (0 , f ( x ) 的单调递增区间为 (

1 2

), ( ?

1 a

, ?? )

1 2

,?

1 a

) ……………………………………………………9 分

?a ? 0 1 1 ? (3)当 ? 1 1 即 a ? ? 2 时, f ( x ) 的单调递减区间为 (0 , ? ), ( , ? ? ) a 2 ? ? ? a ?2
f ( x ) 的单调递增区间为 ( ?

1 1 , ) …………………………………………………11 分 a 2 1 a
f ( x ) 的单调递增区间为 ( ?

综上所述:当 a ? ? 2 时, f ( x ) 的单调递减区间为 (0 , ?

), (

1 2

, ?? )

1 1 , ) a 2

当 a ? ? 2 时, f ( x ) 的单调递减区间为 (0, ? ? ) 当 ? 2 ? a ? 0 时, f ( x ) 的单调递减区间为 (0 , ), ( ?
2
f ( x ) 的单调递增区间为 (

1

1 a

, ?? )

1 2

,?

1 a

) ………………………12 分

22. 【解析】 (1)当 m=-2 时,f(x)=x(ln x-2)=xln x-2x, 定义域为(0,+∞) ,且 f′(x)=ln x-1. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 分 由 f′(x)>0,得 ln x-1>0,所以 x>e.由 f′(x)<0,得 ln x-1<0,所以 0<x<e. 故 f(x)的单调递增区间是(e,+∞) ,递减区间是(0,e) ? ? ? ? ? 5 分 . 3 3 a (2)当 m= 时,不等式 g(x)≥f(x) ,即 x3+x≥x?ln x+2?恒成立. ? ? 2 3 1 3?ln x+2? ? ? a 2 3 a 2 1 由于 x>0,所以 x +1≥ln x+ ,亦即 x ≥ln x+ ,所以 a≥ . ? ? 7分 3 2 3 2 x2 1 3?ln x+2? ? ? -6ln x 令 h(x)= ,则 h′(x)= ,由 h′(x)=0 得 x=1. x2 x3

且当 0<x<1 时,h′(x)>0;当 x>1 时,h′(x)<0, 即 h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, ? ? 10 分 3 所以 h(x)在 x=1 处取得极大值 h(1)= ,也就是函数 h(x)在定义域上的最大值.因 2 1? ? 3?ln x+ ? 2? 3 3 ? 此要使 a ≥ 恒成立,需有 a ≥ , a 的取值范围为 [ , ?? ) . ? ? 12 分 2 x 2 2

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