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1.1.2集合间的基本关系


1.1.2 集合间 的基本关系
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课前复习
1.集合元素的特征。
2.集合的表示方法。

3.常见重要的集合。

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观察思考
观察下面几个例子,你能发现两个集合之间的关系吗?
(1)A={1,2, 3}, B={1, 2, 3, 4 ,5}; (2)A={射洪外国语学校高一女生},
1,2,3 4,5

B={射洪外国语学校高一学生};
(3)设C={x|x是两条边相等的三角形}, D={x|x是等腰三角形};

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1、子集的概念:
文字语言:对于两个集合A和B,如果集合A中任意一个元素都是B中的元 素,就说这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集,记作:A?B (或B?A)读作:“A包含于B”(或B包含A). 符号语言: 若对任意x?A,有x ?B,则 A?B 图形语言:
A B

若A不是B的子集,则记作:A?B(或B?A).
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2、集合相等
文字语言:用子集概念描述:如果集合A是集合B的子集( A?B)且集合 B也是集合A的子集( B?A),因此集合A和集合B中的元素是一样的, 就说A与B相等,记A=B. 符号语言: A?B,且B?A?A=B

类似于a≥b,b≥a,则a=b.

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3、真子集
A
B

规定: 空集是任何集合的子集,即

?A.

空集是任何非空集合的真子集.
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4、子集的性质 ①A ? A; ②?

? A;
B ? C,

③对集合A,B,C,若 A ? B,且 则 A ?C.

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随堂练习

课本第7页第2题第3题。

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典例精析
[例1] 已知集合P={x|x=|x|,x∈N且x<2},
Q={x∈Z|-2<x<2},试判断集合P、Q间的关系.
练习1.指出下列各对集合之间的关系: (1)A={-1,1},B={x∈N|x2=1}; (2)A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)}; (3)P={x|x=2n,n∈Z},Q={x|x=2(n-1),n∈Z};

(4)A={x|x是等边三角形},B={x|x是三角形};
(5)A={x|-1<x<4},B={x|x-5<0}.
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[ 例 2]

已知集合 M 满足 {2,3}?M?{1,2,3,4,5} ,

求集合M及其个数.
方法总结: (1)求集合的子集问题时,一般可以按照集合的元素个数进行分类,再依次找出每类中
符合要求的集合.

(2)解决这类问题时,还要注意两个比较特殊的集合,即?和集合本身. (3)集合子集的个数:求集合的子集问题时,一般可以按照子集元素个数分类,再依次
写出符合要求的子集.

集合的子集、真子集个数的规律为:含n个元素的集合有2n个子集,有2n -1个真子集,有2n-2个非空真子集.写集合的子集时,空集和集合本身易 漏掉.

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练习2. (1)集合M={1,2,3}的真子集个数是( ) A.6 B.7 C.8 D.9 (2)满足{1,2} M?{1,2,3,4,5}的集合M有________个.

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[例3] (1)A={x|ax=1},若A是空集,则a=________; (2)B={x|x2+bx+1=0},若B是空集,则b的范围是________;

(3)C={x|m<x<2m+1},若C是空集,则m的范围是________.

练习3.已知A={x|x2-8x+15=0},B={x|ax-1=0},若B?A,

求实数a.

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[例4]

已知集合A={x|-3≤x≤4},B={x|2m-1

<x<m+1},且B?A.求实数m的取值范围.

练习 4 :已知 M = {x|x2 - 3x + 2 = 0} , N = {x|x2 - 2x + a = 0} ,若
N?M,求实数a的取值范围.

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课后小结

(1)基本内容
(2)思想方法:

?集合之间的包含关系:子集、真子集, ? 集合相等 ? ? ?特殊集合:? ?子集的性质: ?

类比、分类讨论

(3)解决数集之间的包含关系的常用方法:
数轴法
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课后作业

补充:已知M ? {x | a ? x ? a ? 3}, N ? {x | x ? ?1, 或x ? 5},若M ? N,求实数a的取值范围.

k 1 思考:设集合M ? { x | x ? ? , k ? Z }, 2 4 k 1 N ?{ x| x ? ? ,k?Z },则M 与N 有何关系? 4 2
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