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高三数学数列综合练习题


高三数学数列综合练习题
1、在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则该数列前 11 项和 S11=

( D.176 ( D. ??



A.58

B.88

C.143

2.已知 ? an 为等比数列, a4 ? a7 ? 2 , a5 a6 ? ?8 ,则 a1 ? a10 ?

?



A. 7

B. 5

C. ??

3、已知{an}为等差数列,其公差为-2,且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项,Sn 为{an}的前 n 项和,n ∈N*,则 S10 的值为( (A). -110 ) (B). -90 (C). 90 (D). 110 ) D.31

4、设 S n 为等差数列 {an } 的前 n 项和,若 a2 ? 1, a4 ? 5 ,则 S 5 等于( A.7 B.15 C.30

5.夏季高山上气温从山脚起每升高 100 m 降低 0.7 ℃,已知山顶的气温是 14.1 ℃,山脚的气 温是 26 ℃.那么,此山相对于山脚的高度是( ) A.1500 m B.1600 m C.1700 m D.1800 m 6、公差不为零的等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a4 是 a3与a7 的等比中项,S8 ? 32 ,则 S10 等于 ( A.18 ) B.24 C.60 D.90 )

7.已知等比数列{an}中,a2=1,则其前 3 项的和 S3 的取值范围是( A.(-∞,-1] C.[3,+∞) B.(-∞,0)∪(1,+∞) D.(-∞,-1]∪[3,+∞)

* 8. 满足 a1 ? 1, log 2 an ?1 ? log 2 an ? 1(n ? N ) , 它的前 n 项和为 S n , 则满足 Sn ? 1025 的最小 n

值是(

)A.9

B.10

C.11

D.12

9 、 2012 江 西 理 ) 设 数 列 ?an ? , ?bn ? 都 是 等 差 数 列 , 若 a1 ? b1 ? 7, a3 ? b3 ? 21 , 则 (

a5 ? b5 ? _________
10. 2012 年 高考( 福建理 ) 数列 ?an ? 的通项公式 an ? n cos ( )

n? ? 1 ,前 n 项和为 S n ,则 2

S2012 ? ___________.

题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11、已知数列 ?a n ?满足: a1 ? 1, a2 ? 2 , 2a n ? a n ?1 ? a n ?1 (n ? 2, n ? N ) ,数列 ?bn ?满足
*

b1 ? 2 , an bn?1 ? 2an?1bn .(Ⅰ)求数列 ?a n ?的通项 a n ; (Ⅱ)求证:数列 ? bn ? 为等比数列;并 ? ?
?n ?

求数列 ?bn ?的通项公式.

12.已知数列 a n 满足 a1 ? 2a2 ? 2 a3 ? ? ? ? ? 2
2

n ?1

n an ? (n ? N * ) 2

(Ⅰ)求数列 ?a n ?的通项;(Ⅱ)若 bn ?

n 求数列 ?bn ?的前 n 项 S n 和 an

13、数列 {a n } 的前 n 项和记为 S n , a1 ? t ,点 ( Sn , an ?1 ) 在直线 y ? 3x ? 1 上, n ? N? .(Ⅰ)当实 数 t 为 何 值 时 , 数 列 {a n } 是 等 比 数 列 ? (Ⅱ) 在 (Ⅰ) 的 结 论 下 , 设

bn ? log 4 an?1 , cn ? an ? bn , Tn 是数列 {cn } 的前 n 项和,求 Tn 。

1 1 ? ? 1. ?an ? 满足 a1 ? 0 且 1 ? a n?1 1 ? a n 14、设数列
(Ⅰ)求

?a n ? 的通项公式;
bn ? 1 ? an ?1 n , 记Sn ? ? bk , 证明:S n ? 1.
k ?1 n

(Ⅱ)设

15、等比数列

?an ? 中, a1 , a2 , a3 分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且 a1 , a2 , a3 中的任
第一列 第二列 2 4 8 第三列 10 14 18

何两个数不在下表的同一列. 第一行 第二行 第三行 (Ⅰ)求数列 (Ⅱ)若数列 3 6 9

?an ? 的通项公式; ?bn ? 满足: bn ? an ? (?1) ln an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n .

高三数学数列综合练习题一
1. B 在等差数列中,? a1 ? a11 ? a4 ? a8 ? 16,? s11 ?

11? (a1 ? a11 ) ? 88 ,答案为 B 2

2. D a4 ? a7 ? 2 , a5 a6 ? a4 a7 ? ?8 ? a4 ? 4, a7 ? ?2 或 a4 ? ?2, a7 ? 4

a4 ? 4, a7 ? ?2 ? a1 ? ?8, a10 ? 1 ? a1 ? a10 ? ?7 a4 ? ?2, a7 ? 4 ? a10 ? ?8, a1 ? 1 ? a1 ? a10 ? ?7
3、 D 解:a7 是 a3 与 a9 的等比中项,公差为-2,所以 a7 =a3?a9,所以 a7 =(a7+8) 7-4) (a ,所以 a7=8, 所以 a1=20,所以 S10= 10×20+10×9/2×(-2)=110。故选 D 4、B 5、C 6、C
2 2 由 a4 ? a3a7 得 (a1 ? 3d ) ? (a1 ? 2d )(a1 ? 6d ) 得 2a1 ? 3d ? 0 ,
2 2

由等差数列通项公式得: 5 ? 1 ? 2d , d ? 2, a1 ? ?1, S 5 ? 15

56 d ? 32 得 2a1 ? 7d ? 8 则 d ? 2, a1 ? ?3 , 2 90 所以 S1 0 ? 10a 1 ? d ? 60 .故选 C. 2
再由 S8 ? 8a1 ?
7. B a3a11 ? 16 ? a7 ? 16 ? a7 ? 4 ? a16 ? a7 ? q ? 32 ? log 2 a16 ? 5
2 9

1 1 8.D 解析:设 a1=x,且 x≠0,则 S3=x+1+x,由函数 y=x+x的图像知: 1 1 x+ ≥2 或 x+ ≤-2,∴y∈(-∞,-1]∪[3,+∞). x x 9、 C 因为 a1 ? 1, log 2 an ?1 ? log 2 an ? 1(n ? N* ) 则满足 Sn ? 1025 的最小 n 值是 11; 10、C 1 1 2 1 2 3 1 将数列分为第 1 组一个,第 2 组二个,…,第 n 组 n 个,( ),( , ),( , , ),…,( , n 1 2 1 3 2 1 n 2 5 ,…, ),则第 n 组中每个数分子分母的和为 n+1,则 为第 10 组中的第 5 个,其项数为 1 6 n-1 (1+2+3+…+9)+5=50 11、35 (解法一)因为数列 {an },{bn } 都是等差数列,所以数列 ?an ? bn ? 也是等差数列. 故由等差中项的性质,得 ? a5 ? b5 ? ? ? a1 ? b1 ? ? 2 ? a3 ? b3 ? ,即 ? a5 ? b5 ? ? 7 ? 2 ? 21 ,解得 , 所以

a n ?1 ? 2a n a n ? 2 n ?1 S n ? 2 n ? 1
, ,



a5 ? b5 ? 35 .
(解法二)设数列 {an },{bn } 的公差分别为 d1 , d 2 , 因为 a3 ? b3 ? (a1 ? 2d1 ) ? (b1 ? 2d 2 ) ? (a1 ? b1 ) ? 2(d1 ? d 2 ) ? 7 ? 2(d1 ? d 2 ) ? 21 , 所以 d1 ? d 2 ? 7 .所以 a5 ? b5 ? (a3 ? b3 ) ? 2(d1 ? d 2 ) ? 35 . 12、 S n ?

n 2n ? 1

因为 S n ? n(2n ? 1)a n , S n ?1 ? (n ? 1)( 2n ? 3)a n ?1 (n ? 2) , 两式相减得 (2n ? 1)a n ? (2n ? 3)a n ?1, (n ? 2) ,求得 a n ?

1 4n ? 1
2

, Sn ?

n 2n ? 1

13. 2n ? 1

解析:设公差为 d ( d ? 0 ),则有 1 ? 2d ? ?1 ? d ? ? 4 ,解得 d ? 2 ,所以 an ? 2n ? 1 .
2

14、 3018

由 an ? n cos

n? ? 1 ,可得 S2012 ? (1? 0 ? 2 ?1 ? 3 ? 0 ? 4 ?1 ? ? ? 2012 ?1) ? 2012 2

? (?2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2010 ? 2012) ? 2012 ? 2 ? 503 ? 2012 ? 3018
15(1)由已知 ?

?a1 ? 2d ? 10, ?a1 ? 5d ? 22 .

解得

1 为公比的等比数列 4
16.(Ⅰ) ? 2an ? an ?1 ? an ?1 ?数列 ?a n ?为等差数列……3 分又 a1 ? 1, a2 ? 2 所以 d ? a2 ? a1

? 2 ?1 ? 1, 数列 ?a n ?的通项 an ? a1 ? (n ? 1)d ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n …………6 分
(Ⅱ)∵ a n ? n ,∴ nbn ?1 ? 2(n ? 1)bn .∴

bn ?1 b b b ? 2 ? n .所以数列 ? n ? 是以 1 ? 2 为首项, ? ? ?n ? 1 n ?1 n

bn ? 2 ? 2n ?1 ? bn ? n ? 2 n n 1 n 17(Ⅰ) n ? 1时a1 ? a1 ? 2a2 ? 2a3 ? ? ? ?2 n?1 an ? ………………(1) 2 2 n -1 n ? 2时 a1 ? 2a2 ? 2a3 ? ? ? ?2 n?2 an?1 ? ………..(2) 2 1 1 1 1 n ?1 (1)-(2)得 2 a n ? 即 a n ? n 又 a1 ? 也适合上式? a n ? n 2 2 2 2
q ? 2 为公比的等比数列…………10 分?
(Ⅱ) bn ? n ? 2
n

S n ? 1? 2 ? 2 ? 2 2 ? 3 ? 23 ? ? ? ? ? n ? 2 n

2S n ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? (n ? 1) ? 2 ? n ? 2
2 3 n

n ?1

2(1 ? 2 n ) ? ? n ? 2 n?1 ? 2 n?1 ? 2 ? n ? 2 n?1 1? 2

? S n ? (n ? 1)2 n?1 ? 2
18(Ⅰ)∵点 ( Sn , an ?1 ) 在直线 y ? 3x ? 1 上∴ an ?1 ? 3Sn ? 1,

an ? 3Sn ?1 ? 1, (n ? 1) ...2 分

an?1 ? an ? 3( Sn ? Sn?1 ) ? 3an , , ∴ an?1 ? 4an , n ? 1 ......4 分 a2 ? 3S1 ? 1 ? 3a1 ? 1 ? 3t ? 1,
∴当 t=1 时, a2 ? 4a1 , 数列 {a n } 是等比数列。.....6 分 (Ⅱ) 在(Ⅰ)的结论下, an?1 ? 4an ,

an?1 ? 4n ,

...........8 分 .....10 分

bn ? log 4 an?1 ? n ,....9 分 cn ? an ? bn ? 4n?1 ? n ,

Tn ? c1 ? c2 ? ... ? cn ? (40 ? 1) ? (41 ? 2) ? ... ? (4 n ?1 ? n) ? (1 ? 4 ? 42 ? ... ? 4n ?1 ) ? (1 ? 2 ? 3 ? ... ? n) ? 4n ? 1 (1 ? n)n .......12 分 ? 3 2

1 1 ? ? 1, 1 ? an ?1 1 ? an 14、解: (I)由题设 1 1 1 { } ? 1, 故 ? n. 1 ? an 是公差为 1 的等差数列。 又 1 ? a1 1 ? an 即

1 an ? 1 ? . n 所以
(II)由(I)得

bn ? ?

1 ? an ?1 n

,

n ?1 ? n n ?1 ? n 1 1 ? ? n n ?1 ,

…………8 分

Sn ? ? bk ? ? (
k ?1 k ?1

n

n

1 1 1 ? ) ? 1? ? 1. k k ?1 n ?1
时,不合题意;

…………12 分

15、解: (I)当 当 当

a1 ? 3

a1 ? 2

时,当且仅当

a2 ? 6, a3 ? 18

时,符合题意;

a1 ? 10

时,不合题意。

因此

a1 ? 2, a2 ? 6, a3 ? 18,

所以公式 q=3, 故

an ? 2 ? 3n ?1. bn ? an ? (?1)n ln an

(II)因为

? 2 ? 3n ?1 ? (?1) n (2 ? 3n ?1 ) ? 2 ? 3n ?1 ? (?1) n [ln 2 ? (n ? 1) ln 3] ? 2 ? 3n ?1 ? (?1) n (ln 2 ? ln 3) ? (?1) n n ln 3,
所以

S2 n ? 2(1 ? 3 ? ? ? 32 n ?1 ) ? [?1 ? 1 ? 1 ? ? ? (?1) 2 n ](ln 2 ? ln 3) ? [?1 ? 2 ? 5 ? ? ? (?1) n n]ln 3,
所以

当 n 为偶数时,

Sn ? 2 ?

1 ? 3n n ? ln 3 1? 3 2

n ? 3n ? ln 3 ? 1; 2
当 n 为奇数时,

Sn ? 2 ?

1 ? 3n n ?1 ? (ln 2 ? ln 3) ? ( ? n) ln 3 1? 3 2

? 3n ?

n ?1 ln 3 ? ln 2 ? 1. 2

综上所述,

? n n ?3 ? 2 ln 3 ? 1, n为偶数 ? Sn ? ? ?3n - n ? 1 ln3-ln2-1,n为奇数 ? ? 2


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