当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

一道全国联赛题的再探讨


8 6  

数 学 通 讯— — 2 O O 9年 第 1 I 、 1 2期 ( 上半月)  

? 课 外 园地 ?  



道全 国联赛题 的再探 讨 
邹生书  
( 湖 北 省 阳新 县 高 级 中 学 ,4 3 5 2 0 0 )  

2 0 0 8年 全 国 高 中数 学 联 合 竞 赛 第 一 试 第 9题  如下 : 将2 4个 志愿 者 名 额 分 配 给 3个 学 校 , 则 每 校  至 少 有 一 个 名 额且 各 校 名 额 互 不 相 同 的 分 配 方 法 有 
种.  

( 2 ) 当, l 不 是 3的倍 数 时 , 三 个 未 知数 不 可 能 都 

相等 , 同上 , 要 求 三 个 未 知数 中恰 有 两 个 相 等 的 正 整 
数解有多少个 , 先 看 其 中 的一 种 情形 z   一  ≠z 。的  正整 数 解 的个 数 问题 .  
因为  ≥  所 以  ≤ 


文[ 1 ] 先 将 问题 转 化 为 不 定 方 程 的 未 知 数 取 值 
互 不 相等 的正 整 数 解 的个 数 问题 , 然 后 用 高 斯 取 整  函数 证 明 了 有 关 不 定 方 程 正 整 数 解 的 组 数 计 算 公 

, 又 

z   ∈N。, 所 以满 足 条 件 X   一X 。 Cx 。的 正 整 数 解 的 
个数 为[   ] , 故 三个 未 知 数 中恰 有 两 个 相 等 的 正 

式, 紧 接 着 又 化简 了这 个 计 算 公 式 , 然 后 用 化 简 了 的  计算 公 式 再 解 这道 竞 赛 题 . 读后 笔 者 体 会颇 多 , 非 常  佩服 文 章 作 者 深 厚 的数 学 功 底 、 抽 象 概 括 能 力 和 钻  研精 神. 但 笔 者认 为结 论 过 于 抽 象 也 不 便 于 实 际 应 
用, 受 此 文 启 发笔 者 从 另 外 一 个 角 度 思 考 , 力图给 出  


整数 解 的个 数 为 3 [  

] , 从 而 不 定 方 程 三 个 未 知 

数取 值 互 不 相 等 的正 整 数 解 的 个 数 为 N (  ) 一C l — l  

个 浅显 易懂 可 操 作 的 解法 与 大 家交 流 .   分析 先 将 问题一般 化 , 将题 目中的“ 2 4个 志 

_3 [  

] .  

综 上所 述 可 得 如 下 结 论 :  
定理  设 不 定 方 程 z l +z 2 +X 3 一, z (   ≥6 ,  ∈  
N  ), 则 

愿者” 换成“ n ( n ≥6 , n EN  ) 个志愿者” . 设 分 给 三个  学 校 的名 额 分 别 为 z 1 , z 2 , z 3 , 则z l +z z +z 3 =n , 则 

问题转化 为求这个不定方程的未知数取值互不相等 
的 正 整数 解 的个 数 问题 .   我 们 可采 用 排 除 法 , 先 不 考 虑 限 制 条 件 求 出不  定 方 程 的 正 整数 解 的 个 数 , 然 后 减 去 不 符 合 条 件 的  正 整 数 解 的 个数 . 用 隔 板 法 容 易 求 出不 定 方 程 正 整  数解的个数为 C : 一   .   ( 1 ) 当 ”是 3的倍 数 时 , 三个 未知 数 都 相 等 的解  只有 一 个 , 那 么 三 个 未 知 数 中恰 有 两 个 相 等 的 正 整  数解有多少个呢?   先看一种特殊情形 z   一z z ≠z s的 正 整 数 解 的 
r z1 ≥ 1,  
?   1  

( 1 ) 当 n是 3的倍 数 时 , 不 定 方 程 三 个 未 知 数 取  值 互 不 相 等 的 正整 数 解 的个 数 为 

N(   ) =c : 一   一3 [  

] 一1  

① 

( 2 ) 当 n不 是 3的倍 数 时 , 不 定 方 程 三 个 未 知 数 

取 值 互 不 相 等 的 正整 数 解 的 个数 为  N(   ) =c : 一 。 一3 [   ]   ② 

特别地 , 当  一2 4时 , 应选公式① , 得 N( 2 4 ) =  

c   一   一3 [ 丝  ] 一1 ;2 2 2 这 即是 不 定 方 程  +  :  


个数 问题, 因 为  3 x   ≠ ,  

所 以 1 ≤z   ≤ 

+z 。 一2 4的未 知 数 取 值 互 不 相 等 的 正 整 数 解 的 个  数, 同 时也 是本 文 开 头 竞 赛 题 的 答 案 . 当/ Z =2 O时 ,   应选公式② , 得 N( 2 0 ) 一c   一   一3 [   ] :1 4 4 .  

I   。 一   一 2 T , I ≥ l ,  


且z   ≠要, 又z 。 ∈N   , 所以满足条件z   = z 。  
] 一1 一[   ] , 其 

≠ 。 的正整数解 的个数 为[  
.  

参 考 文献 :  

中[ z ] 表示 不超 过 z的 最 大 整数 .   故 三个 未 知 数 中恰 有两 个相 等 的正 整 数 解 的个  数为 3 [   ] , 从 而 不 定 方 程 三 个 未 知 数 取 值 互 不 


[ 1 ]沈 家 书 , 马宇. 一 道 全 国竞 赛 试 题 的 深 入 探 讨   [ J ] . 中学 数 学 月 刊 , 2 0 0 9 ( 7 ) .  
( 收稿 日期 : 2 0 0 9 一O 8 一O 6 )  

0 

相 等 的解 的个 数 为 N(   ) 一c :   一3 [  

] 一l |  


赞助商链接
相关文章:
2015年全国研究生数学建模竞赛A题
2015年全国研究生数学建模竞赛A题_研究生入学考试_高等教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档2015年全国研究生数学建模竞赛A题_研究生入学考试_高等...
第十届全国研究生集成电路电子设计竞赛试题
第十届全国研究生集成电路电子设计竞赛试题 2013 年 8 月 1. 试简略讨论 ...都可以用对两数进行___(两字)后,再求 ___(壹字)的通用公式表达出来。 (...
2016年华为杯全国研究生数学建模竞赛E题
2016年华为杯全国研究生数学建模竞赛E题_教育学_高等教育_教育专区。华为杯数学建模 2016 年全国研究生数学建模竞赛 E 题 粮食最低收购价政策问题研究 粮食, 不仅...
以全国职业技能大赛引领高职专业课程教学改革的研究
教学方式和考核方式三个方面探讨如何以全国高职院校...在全国的职业技能大赛规程中明确有一条, 学习必须依据...难于理解的知识,教师需要花费时间讲解,而对于一些...
全国高中数学联赛(浙江)赛区竞赛试卷
全国高中数学联赛(浙江)赛区竞赛试卷 - 浙江省高中数学竞赛试题 参考解答与评分标准 说明:本试卷分为 A 卷和 B 卷:A 卷由本试卷的 22题组成,即 10 道选择...
全国高中数学联赛(河北)赛区竞赛试卷
全国高中数学联赛(河北)赛区竞赛试卷 - 河北省高中数学竞赛试题 参考解答与评分标准 说明:本试卷分为 A 卷和 B 卷:A 卷由本试卷的 22题组成,即 10 道选择...
2016年全国研究生数学建模大赛校内选拔题
2016年全国研究生数学建模大赛校内选拔题_研究生入学考试_高等教育_教育专区。...采取扩大路口的左转车辆通行空间,利用左转道相邻的对向 车道, 将对向车道靠近...
2016年全国也就数学建模竞赛C题
2016年全国研究生数学建模竞赛B题(全) 2016 年全国...1 背景介绍随着无线通信网络和移动互联网的蓬勃发展,...信号的传播速度, 即得到基站与终端之间沿某条 路径...
2015全国中学生生物联赛试题.docx2
2015全国中学生生物联赛试题.docx2_学科竞赛_高中教育...下列哪种细胞最适合用来研究溶酶体: (单选) A....动脉圆锥前端发出 1 条腹大动脉,其向俩侧发出入鳃...
第一届全国中职班主任基本功大赛笔试试题及答案
第一届全国中职班主任基本功大赛笔试试题及答案_教学案例/设计_教学研究_教育专区。第一届全国中职班主任基本功大赛笔试试题 一、单项选择题(下列各题只有一个正确的...
更多相关标签: