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一道全国联赛题的再探讨


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数 学 通 讯— — 2 O O 9年 第 1 I 、 1 2期 ( 上半月)  

? 课 外 园地 ?  



道全 国联赛题 的再探 讨 
邹生书  
( 湖 北 省 阳新 县 高 级 中 学 ,4 3 5 2 0 0 )  

2 0 0 8年 全 国 高 中数 学 联 合 竞 赛 第 一 试 第 9题  如下 : 将2 4个 志愿 者 名 额 分 配 给 3个 学 校 , 则 每 校  至 少 有 一 个 名 额且 各 校 名 额 互 不 相 同 的 分 配 方 法 有 
种.  

( 2 ) 当, l 不 是 3的倍 数 时 , 三 个 未 知数 不 可 能 都 

相等 , 同上 , 要 求 三 个 未 知数 中恰 有 两 个 相 等 的 正 整 
数解有多少个 , 先 看 其 中 的一 种 情形 z   一  ≠z 。的  正整 数 解 的个 数 问题 .  
因为  ≥  所 以  ≤ 


文[ 1 ] 先 将 问题 转 化 为 不 定 方 程 的 未 知 数 取 值 
互 不 相等 的正 整 数 解 的个 数 问题 , 然 后 用 高 斯 取 整  函数 证 明 了 有 关 不 定 方 程 正 整 数 解 的 组 数 计 算 公 

, 又 

z   ∈N。, 所 以满 足 条 件 X   一X 。 Cx 。的 正 整 数 解 的 
个数 为[   ] , 故 三个 未 知 数 中恰 有 两 个 相 等 的 正 

式, 紧 接 着 又 化简 了这 个 计 算 公 式 , 然 后 用 化 简 了 的  计算 公 式 再 解 这道 竞 赛 题 . 读后 笔 者 体 会颇 多 , 非 常  佩服 文 章 作 者 深 厚 的数 学 功 底 、 抽 象 概 括 能 力 和 钻  研精 神. 但 笔 者认 为结 论 过 于 抽 象 也 不 便 于 实 际 应 
用, 受 此 文 启 发笔 者 从 另 外 一 个 角 度 思 考 , 力图给 出  


整数 解 的个 数 为 3 [  

] , 从 而 不 定 方 程 三 个 未 知 

数取 值 互 不 相 等 的正 整 数 解 的 个 数 为 N (  ) 一C l — l  

个 浅显 易懂 可 操 作 的 解法 与 大 家交 流 .   分析 先 将 问题一般 化 , 将题 目中的“ 2 4个 志 

_3 [  

] .  

综 上所 述 可 得 如 下 结 论 :  
定理  设 不 定 方 程 z l +z 2 +X 3 一, z (   ≥6 ,  ∈  
N  ), 则 

愿者” 换成“ n ( n ≥6 , n EN  ) 个志愿者” . 设 分 给 三个  学 校 的名 额 分 别 为 z 1 , z 2 , z 3 , 则z l +z z +z 3 =n , 则 

问题转化 为求这个不定方程的未知数取值互不相等 
的 正 整数 解 的个 数 问题 .   我 们 可采 用 排 除 法 , 先 不 考 虑 限 制 条 件 求 出不  定 方 程 的 正 整数 解 的 个 数 , 然 后 减 去 不 符 合 条 件 的  正 整 数 解 的 个数 . 用 隔 板 法 容 易 求 出不 定 方 程 正 整  数解的个数为 C : 一   .   ( 1 ) 当 ”是 3的倍 数 时 , 三个 未知 数 都 相 等 的解  只有 一 个 , 那 么 三 个 未 知 数 中恰 有 两 个 相 等 的 正 整  数解有多少个呢?   先看一种特殊情形 z   一z z ≠z s的 正 整 数 解 的 
r z1 ≥ 1,  
?   1  

( 1 ) 当 n是 3的倍 数 时 , 不 定 方 程 三 个 未 知 数 取  值 互 不 相 等 的 正整 数 解 的个 数 为 

N(   ) =c : 一   一3 [  

] 一1  

① 

( 2 ) 当 n不 是 3的倍 数 时 , 不 定 方 程 三 个 未 知 数 

取 值 互 不 相 等 的 正整 数 解 的 个数 为  N(   ) =c : 一 。 一3 [   ]   ② 

特别地 , 当  一2 4时 , 应选公式① , 得 N( 2 4 ) =  

c   一   一3 [ 丝  ] 一1 ;2 2 2 这 即是 不 定 方 程  +  :  


个数 问题, 因 为  3 x   ≠ ,  

所 以 1 ≤z   ≤ 

+z 。 一2 4的未 知 数 取 值 互 不 相 等 的 正 整 数 解 的 个  数, 同 时也 是本 文 开 头 竞 赛 题 的 答 案 . 当/ Z =2 O时 ,   应选公式② , 得 N( 2 0 ) 一c   一   一3 [   ] :1 4 4 .  

I   。 一   一 2 T , I ≥ l ,  


且z   ≠要, 又z 。 ∈N   , 所以满足条件z   = z 。  
] 一1 一[   ] , 其 

≠ 。 的正整数解 的个数 为[  
.  

参 考 文献 :  

中[ z ] 表示 不超 过 z的 最 大 整数 .   故 三个 未 知 数 中恰 有两 个相 等 的正 整 数 解 的个  数为 3 [   ] , 从 而 不 定 方 程 三 个 未 知 数 取 值 互 不 


[ 1 ]沈 家 书 , 马宇. 一 道 全 国竞 赛 试 题 的 深 入 探 讨   [ J ] . 中学 数 学 月 刊 , 2 0 0 9 ( 7 ) .  
( 收稿 日期 : 2 0 0 9 一O 8 一O 6 )  

0 

相 等 的解 的个 数 为 N(   ) 一c :   一3 [  

] 一l |  


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