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不等式的解法1


一元一次不等式 的解法1

不等式的三个基本性质: ?不等式的基本性质1: 如果a >b,那么a±c>b±c.就是说,不等式两边都 加上 (或减去)同一个数(或式子),不等号方向不变。
?不等式基本性质2:

a b ? 如果a >b,c > 0 ,那么 ac>bc(或 c c ) 就是说

不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号 的方向不变。

?不等式基本性质3:

a b ? 如果a>b,c<0 那么ac<bc(或 c c )就是说不等式
的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向 改变。

1、口答. (1)x的2倍等于6,求x. 解: 2x=6 x=3

(2)x的2倍小于6,求x.
解:

2x<6
x<3

2、练习. (1)x的2倍加1等于x的5倍加10 ,求x. (2)x的2倍加1不小于x的5倍加10 ,求x.

2x+1≥ 5x+10 (1) 解: 2x+1= 5x+10 (2) 2x-5x=+10-1 2x-5x≥+10-1 -3x≥9 -3x=9 x≤-3 x=-3
通过比较这两题的练习,你对这两类题目的 解法有什么印象?

3. 比一比. (1)3(x-2)+2=x (2)3(x-2)+2<x (1)3(x-2)+2=x (2)3(x-2)+2<x 解: 3x-6+2=x 3x-6+2<x 3x-x<+ 6-2 3x-x=+ 6-2 2x<4 2x=4 x=2 x<2

解一元一次方程与解一元一次不 等式的方法、步骤类似.

解一元一次不等式和解一元一次方程类似,有 去分母 去括号 移项 合并同类项 系数化为1等步骤.
区别在哪里? 在去分母和系数化为1的两步中,要特别注意 不等式的两边都乘以(或除以)一个负数时,不等 号的方向必须改变.

(1)利用解一元一次方程与解一元一次 不等式的方法、步骤都类似的结论,同桌一起完成以下两题,并将 解题过程填入表(一)。 表(一)

x?2 x ? ?1?1 ? 3 2
6-2 (x-2) =3x 6-2x+4=3x -2x -3x=-6-4 -5x=-10

步骤

x?2 x > ? 2 ?1 ? 3 2
6-2 (x-2) >3x 6-2x+4 >3x -2x -3x >-6-4
-5x >-10

x=2

① ② ③ ④ ⑤

x<2

(2)再利用表(一)归纳解一元一次 不等式的一般步骤,并指出每个步骤的根据,完成表(二). 表(二)

步 骤
① ②
③ ④ ⑤


乘法分配律



去分母 去括号
移项 合并同类项

不等式的基本性质2,3

不等式的基本性质2 合并同类项法则 不等式的基本性质2,3

两边同除以a

写不等式的解时,要把表示未知数的字母写 在不等号的左边。

填 空:
解不等式:-2x+1>3-3x
解: -2x+1> 3 - 3x +3x x >3 > -1 2

移项,得 -2x 合并同类项,得

练习 1.解下列不等式: (1) -5x ≤ 10 ; (2)4x -3 < 10x + 7 .

(1) 原不等式为

-5x ≤ 10 x ≥ -2

? 原不等式的解集为
移项,得

解 方程两边同除以-5,
x ≥ -2

(2) 原不等式为4x -3 < 10x + 7 4x -10x < 3+7

化简,得

-6x < 10

?

方程两边同除以 -6, x > -5 3 -5 原不等式的解集为x >

3

例2 解不等式12-6x≥2(1-2x),并把它的解集在 数轴上表示出来 : 首先将括号去掉

解 去括号,得
移项,得 化简,得:

12 -6x ≥ 2-4x 将同类项放在一起 -6x+4x ≥ 6x -4x 12-2 ≥ 2-12

10 ≥ 2x -2x≥ -10 根据不等式基本性质 两边都除以2,得 两边都除以-2,得 x ≤ 5 5 ≥ x 2 也就是 x≤5 原不等式的解集在数轴上的表示如下图所示. 0 1 2 3 4 5 6 -1 解集x≤5中包含5,所以在数轴上将表示5的点画成 实心圆点.

2.解下列不等式: (1) 3x -1 > 2(2-5x) ;

(2)x

??2??≥?? 2 x.??3 3 2

(1) 3x -1 > 2(2-5x) 解 去括号,得 3x-1 > 4-10x 移项,得 3x+10x > 1+4 合并同类项,得 13x > 5 两边同除以13, x> 5 13 原不等式的解集为x > 5 13 x ??2??≥?? 2 x ??3 3 2 (2)去分母,得 2(x+2)≥ 3(2x-3)

?

去括号,得

2x+4 ≥ 6x-9

移项,得
化简,得

2x -6x ≥ -4-9
-4x ≥ -13 x≤ 13
4 13 4

?

两边同除以 -4,

﹦ ﹦ 移项得: 8x-15x≥-60+4 ﹦ ﹦ 合并同类项得: -7x≥-56 化系数为1得: x≤8 ﹦

2x ?1 5 1.解不等式 ? x ? 5, 3 4 与解一元一次 并把它的解集在数轴上表示出来. 方程方法类似 5 解:去分母得:4(2 x ? 1) ? 12( 4 x ? 5) 同乘最简 去括号得: 8x-4≥15x-60 公分母12,

这个不等式的解集在数轴上的表示为
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8



方向不变

同除以-7, 方向改变

y ?1 2y ?5 例2.解不等式 ? ?1 6 4 并把它的解集在数轴上 表示出来 2( y ? 1) ? 3(2 y ? 5) ? 12 解:去分母得:
去括号得: 2y+2-6y+15≥12 移项得: 2y-6y≥12-2-15 合并同类项得: -4y≥-5 5 化系数为1得: y≤ 4 这个不等式的解集在数轴上的表示为
0
5 4

同乘最简 公分母12, 方向不变

同除以-4, 方向改变

3、下列解不等式过程是否正确,如果 不正确请给予改正。 x x ?1 x?8 解:不等式 x ? ? ? 1? 2 3 6 去分母得 6x-3x+2(x+1)<6-x+8 去括号得 6x-3x+2x+2 <6-x+8 移项得 6x-3x+2x-x<6+8+2 合并同类项得 4x<16 系数化为1,得 x<4

下列解不等式过程是否正确,如果 不正确请给予改正。 x x ?1 x?8 解:不等式 x ? ? ? 1? 2 3 6 去分母得 6x-3x+2(x+1)<6-(x+8) 去括号得 6x-3x+2x+2 <6-x+8 移项得 6x-3x+2x-x<6+8+2 合并同类项得 4x<16 系数化为1,得 x<4

改:

x x ?1 x?8 解:不等式 x ? 2 ? 3 ? 1 ? 6

去分母得 6x-3x+2(x+1)<6-(x+8) 去括号得 6x-3x+2x+2 <6-x-8 移项得 6x-3x+2x+x<6-8-2 合并同类项得 6x<-4 系数化为1,得 x< ? 2
3

解不等式

解:

x ?1 1? x 2 ? x ? ? 2 3 ?6 x ?1 1? x 2? x ?6 ? ? 6? ? ?6 ? 2 3 ?6 ?3x ? 3 ? 2 ? 2 x ? 2 ? x ?4 x ? 7 7 x?? 4

① ② ③ ④

请指出上面的解题过程中,有什么地方产生了错误。 两边同乘-6,不等号没有变号 答:在第①步中_________________________,在第 去分母时,应加括号 移项没有变号 ②步中________________,在第③步中 _____________, 正确 在第④步中_________。

x?4 例:当x取何值时,代数式 与 3 的差大于1? x ? 4 3x ? 1 ? ?1 解:根据题意,得 3 2

3x ? 1 的值 2

2(x+4)-3(3x-1)>6, 2x+8-9x+3>6, -7x+11>6, -7x>-5, 得
5 x? 7

所以,当x取小于 x?4 3x ? 1 与 的差大于1。
3 2

5 的任何数时,代数式 7

练习:
x取什么值时,代数式

(1)大于 7–x (2)不大于 7–x

3 的值: x ?8 2

1+x 1+2x 例: 解不等式 +1,并把解在 2 ≤ 3 数轴上表示出来.(若求适合原不等式的最小负 先求不等式的解集,画数轴,在数轴上找出特殊解.
解题思路:

整数解呢?) 解:去分母,得3(1+x)≤2(1+2x)+6 去括号,得 3+3x≤2+4x+6 移项,得 3x-4x≤2+6-3 合并同类项,得 -x≤5

两边同除以-1,得 x≥-5 这个不等式的解集表示在数轴上如图所示
∴不等式的最小负整数解为x=-5
-9 -8 -7 -6 -5

·

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

?1 例 当x取什么值时,代数式 3 x+2的值大
于或等于0?先把它的解集在数轴上表示出 来,然后求出它的正整数解.
代数式值≥0

解 根据题意,得 ? 1 x +2≥ 0

3 计算结果 解这个不等式,得? 1 x ≤ 6 3 所以,当x≤6时,代数式 ? 1x +2的值大于或等于0. 3 不等式解集在数轴上的表示.

?

-1

0

1

2

3

4

5

6

满足条件的正整数解为1,2,3,4,5,6. 解题思路:

先求不等式的解集,画数轴,在数轴上找出特殊解.

求适合不等式3(2+x)>2x的最小负整数
解:6+3x>2x 3x-2x>-6 x>-6
不等式解集在数轴上的表示.

-6

0

∴不等式的最小负整数解为x=-5

例 、求不等式3(1-x) ≤2(x+9)的负整 数解.
解:解不等式3(1-x) ≤2(x+9),得x≥-3 因为x为负整数 所以x=-3,-2,-1.

求不等式2 (x-1) <x+1的正整数 解.

试一试: 能使不等式

1 1 (3x ? 1) ? (5 x ? 2) ? 2 4

成立的的最大整数值是__________。
不等式解集中最值问题: 对于不等式x≥a的解集有最小值,最小值为x=a;对于 不等式x≤a的解集有最大值,最大值为x=a,而不等式 x>a的解集没有最小值,x<a没有最大值。 但是,具体问题还是通过画数轴,从看数轴上找.

1、求满足

x?2 数式 的值的x的最小整数值。 2

3x ? 2 9 ? 2 x ? 3 3

的值不小于代

2、已知方程3x-ax=2 的解是不 等式3(x+2)-7<5(x-1)-8的最小整数

解,求代数式

的值.

练习:
1:已知关于 且

x 的不等式 x(a ? 1) ? a ? 1

,并

a ? 0 ,求不等式的解集。

2。如果(a+1)x<a+1的解集是x> 1,则a 1 3。如果(a-2)x>1的解集是x< a-2
则a

b 7、(1)若 ax ? b 的解集为 x ? ,求a的取 a a<0 值范围________。
(2)若不等式(a-2)x>a-2的解集为x<1,求a 的取值范围( B )。 A a < -2 Ba<2 Ca >-2 D a >2

(3)已知不等式(m-1)x>3的解集为x< -1,求m 的值。

例.关于x的不等式3x-2a≤-2的解集如图所示, 求a的值.
-1 0 1

解:移项,得

2a ? 2 x? 系数化为1,得 3
由图可知: X ≤-1

3x≤2a-2

2a ? 2 所以 ? ?1 3

解这个方程,得

1 a?? 2

练习三
x≤(a-1)/2

2.关于x的不等式 所示,则a 的取值是( D )
A.0 B.—3

2x ? a ? ?1 的解集如图
x≤-1 C.—2 ∴ (a-1)/2=-1 ∴ a=-1 D.—1

例.根据下列条件,分别求出a的值或取值范围: 3x ? a ? 1)已知不等式 x ? 2 ? 的解集是x<5; 2

3x ? a ? 2)已知x=5是不等式 x ? 2 ? 的解. 2
解: 1).2x-4>3x+a 2x-3x>a+4

-x>(a+4)
∴解集是:x<-a-4

2).据题意有: 3? 5 ? a 注意: 5?2 ? 变号! 2 即6>15+a

∴ -9>a
解得:a<-9

∵解集是x<5
∴-a-4=5

得a=-9

拓展练习
一次环保知识竞赛共有20道题,规定答对一道 题得5分,不答得0分,答错一道题扣2分.在这次竞 赛中,小明有一题没答,小明的分数超过80分,小 明至多答错了几道题? 解 设小明答错了X道题, 由题意得: 5(20-1-X)-2X > 80 解得
15 x? 7

答: 小明至多答错了2道题.

生活与数学
? 不等式(组)在实际生活中的应用 1. 当应用题中出现以下的关键词,如大,小,多,少,不小 于,不大于,至少,至多等,应属列不等式(组)来解决的问 题,而不能列方程(组)来解.

2.步骤:(1)审题,找出不等关系;(2)设 未知数,用未知数表示有关的数量;(3)列 不等式(组)(4)解不等式(或不等式组) (5)答题,注意:答案要符合实际意义。



例题:某市自来水公司按如下标准收费:用户 每月用水在5立方米之内的,按每立方米1.5元 收费;超出5立方米的部分,每立方米收费2元。 小明家某月的水费超过了15元,那么他家这个 月的用水量至少是多少?(取整数) 解:设小明家这个月的用水量为x立方米。 1.5 ×5+2(x-5)>15 解得:x >8.75 因为x取整数 所以x ≥ 9 答:小明家这个月的用水量至少为9立方米。

:高速公路施工需要爆破,根据现场实际情况,操作人 员点燃导火线后,要在炸药爆破前跑到400米外的 安全区域,已知导火索燃烧速度是1.2厘米/秒,人 跑步的速度是5米/秒,问导火索至少需要多长? 分析:导火索燃烧的时间 ≥ 人跑出400米外的时间. 设导火索长为x厘米,则:

解:设导火索至少需要x厘米长,据题意有: 解得: x ? 96(厘米)
x 400 ? 1.2 5
想一想

x 秒 t燃烧= 1 .2

400 秒 t跑步= 5

答:导火索至少需要96厘米长.

例 题
一组学生到校门口拍一张合影,乙知冲一张底片 需要0.6元,洗一张照片需要0.4元,每人都要得到 一张照片,每人分担的钱不能超过0.5元。那么参加 合影的同学至少有几人?

解:设参加合影的人数有x人。

0.6+0.4x≤0.5x

解得:x≥6

答:参加合影的至少有6人。

0.2 x ? 0.1 1 ? x ? ?1 0.4 6 2x ?1 1 ? x 不等式可化为 ? ?1 4 6 去分母,得 (2x ?1 ? ( ? x) 12 3 ) 21 ?
去括号,得 移项,得

6x ? 3 ? 2 ? 2x ? 12

6x ? 2x ? 12 ? 3 ? 2 4 x ? 17 合并同类项,得
两边都除以4,得
17 x? 4

解不等式: x 0.17 ? 0.2 x ? ?1 0.7 0.03

0.4 x ? 1.1 x ? 5 0.03 ? 0.02 x ? ? 0.5 2 0.03

这节课学了什么?
用类比学习的方法得到了解一元 一次不等式的方法 解一元一次不等式的步骤有哪些

是需要我们注意的?


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