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【3年高考】(新课标)2016版高考数学一轮复习 9.3椭圆


【3 年高考】(新课标)2016 版高考数学一轮复习 9.3 椭圆
A 组 2012—2014 年高考?基础题组 1.(2014 大纲全国,6,5 分)已知椭圆 C:+=1(a>b>0)的左、右焦点为 F1、F2,离心率为,过 F2 的 直线 l 交 C 于 A、B 两点.若△AF1B 的周长为 4,则 C 的方程为( A.+=1 B.+y =1 C.+=1


2

)

D.+=1 )

2.(2012 课标全国,4,5 分)设 F1,F2 是椭圆 E:+=1(a>b>0)的左,右焦点,P 为直线 x=上一 点,△F2PF1 是底角为 30°的等腰三角形,则 E 的离心率为( A. B. C. D. . .

3.(2014 江西,15,5 分)过点 M(1,1)作斜率为-的直线与椭圆 C:+=1(a>b>0)相交于 A,B 两点, 若 M 是线段 AB 的中点,则椭圆 C 的离心率等于 若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为 4.(2012 江西,13,5 分)椭圆+=1(a>b>0)的左、右顶点分别是 A、B,左、右焦点分别是 F1、F2. 5.(2014 江苏,17,14 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,F1、F2 分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、 右焦点,顶点 B 的坐标为(0,b),连结 BF2 并延长交椭圆于点 A,过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于 另一点 C,连结 F1C. (1)若点 C 的坐标为,且 BF2=,求椭圆的方程; (2)若 F1C⊥AB,求椭圆离心率 e 的值.

B 组 2012—2014 年高考?提升题组 1.(2013 浙江,9,5 分)如图,F1,F2 是椭圆 C1:+y =1 与双曲线 C2 的公共焦点,A,B 分别是 C1,C2 在第二、四象限的公共点.若四边形 AF1BF2 为矩形,则 C2 的离心率是( )
2

A.

B.

C.

D. .
1

2.(2014 辽宁,15,5 分)已知椭圆 C:+=1,点 M 与 C 的焦点不重合.若 M 关于 C 的焦点的对称点 分别为 A,B,线段 MN 的中点在 C 上,则|AN|+|BN|=

3.(2013 福建,14,4 分)椭圆 Γ :+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,焦距为 2c.若直线 y=(x+c)与椭圆 Γ 的一个交点 M 满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于 长最大时,△FAB 的面积是 . . 4.(2012 四川,15,4 分)椭圆+=1 的左焦点为 F,直线 x=m 与椭圆相交于点 A、B.当△FAB 的周 5.(2014 课标Ⅰ,20,12 分)已知点 A(0,-2),椭圆 E:+=1(a>b>0)的离心率为,F 是椭圆 E 的右 焦点,直线 AF 的斜率为,O 为坐标原点. (1)求 E 的方程; (2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P,Q 两点.当△OPQ 的面积最大时,求 l 的方程.

6.(2013 北京,19,14 分)已知 A,B,C 是椭圆 W:+y =1 上的三个点,O 是坐标原点. (1)当点 B 是 W 的右顶点,且四边形 OABC 为菱形时,求此菱形的面积; (2)当点 B 不是 W 的顶点时,判断四边形 OABC 是否可能为菱形,并说明理由.

2

7.(2013 浙江,21,15 分)如图,点 P(0,-1)是椭圆 C1:+=1(a>b>0)的一个顶点,C1 的长轴是圆 C2:x +y =4 的直径.l1,l2 是过点 P 且互相垂直的两条直线,其中 l1 交圆 C2 于 A,B 两点,l2 交椭 圆 C1 于另一点 D. (1)求椭圆 C1 的方程; (2)求△ABD 面积取最大值时直线 l1 的方程.
2 2

2

A 组 2012—2014 年高考?基础题组 1.A 由题意及椭圆的定义知 4a=4,则 a=,又==,∴c=1,∴b =2,∴C 的方程为+=1,选 A. 2.C 设直线 x=a 与 x 轴交于点 Q,由题意得 ∠PF2Q=60°,|F2P|=|F1F2|=2c,|F2Q|=a-c,∴a-c=?2c,∴e==,故选 C. 3. 答案 解析 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1①, +=1②. ①、②两式相减并整理得=-?. 结合已知条件得,-=-?, ∴=,故椭圆的离心率 e==. 4. 答案 解析 ∵|AF1|=a-c,|BF1|=a+c,|F1F2|=2c,则有 4c =(a-c)(a+c),得 e==. 5. 解析 设椭圆的焦距为 2c,则 F1(-c,0),F2(c,0). (1)因为 B(0,b),所以 BF2==a. 又 BF2=,故 a=. 因为点 C 在椭圆上,所以+=1,解得 b =1. 故所求椭圆的方程为+y =1.
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3

(2)因为 B(0,b),F2(c,0)在直线 AB 上, 所以直线 AB 的方程为+=1. 解方程组 得 所以点 A 的坐标为. 又 AC 垂直于 x 轴,由椭圆的对称性,可得点 C 的坐标为. 因为直线 F1C 的斜率为=,直线 AB 的斜率为-,且 F1C⊥AB,所以?=-1.又 b =a -c ,整理得 a =5c . 故 e =.因此 e=. B 组 2012—2014 年高考?提升题组 1.D 焦点 F1(-,0),F2(,0),在 Rt△AF1F2 中,|AF1|+|AF2|=4,|AF1| +=12,所以可解得 |AF2|-|AF1|=2,故双曲线的离心率 e==,选 D. 2. 答案 12 解析 解法一:由椭圆方程知椭圆 C 的左焦点为 F1(-,0),右焦点为 F2(,0).则 M(m,n)关于 F1 的对称点为 A(-2-m,-n),关于 F2 的对称点为 B(2-m,-n),设 MN 中点为(x,y),所以 N(2x-m,2y-n).所以|AN|+|BN|=+ =2[+], 故由椭圆定义可知|AN|+|BN|=2?6=12. 解法二:根据已知条件画出图形,如图.设 MN 的中点为 P,F1、 F2 为椭圆 C 的焦点,连结 PF1、 PF2. 显然 PF1 是△MAN 的中位线,PF2 是△MBN 的中位 线,∴|AN|+|BN|=2|PF1|+2|PF2|=2(|PF1|+|PF2|)=2?6=12.
2 2 2 2 2 2 2

3. 答案 -1 解析 由已知得直线 y=(x+c)过 M、F1 两点,所以直线 MF1 的斜率为,所以∠MF1F2=60°,则 ∠MF2F1=30°,∠F1MF2=90°,如图,故 MF1=c,MF2=c,由点 M 在椭圆 Γ 上知:c+c=2a,故 e==-1.

4. 答案 3
4

解析 设 A(2cos θ ,sin θ ),则△FAB 的周长为 2(AF+sin θ )=2(2+cos θ +sin θ )=4+4sin.

当 θ =,即 A 时,△FAB 的周长最大.∴△FAB 的面积为 S=?2?3=3. 5. 解析 (1)设 F(c,0),由条件知,=,得 c=. 又=,所以 a=2,b =a -c =1. 故 E 的方程为+y =1. (2)当 l⊥x 轴时不合题意,故设 l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2). 将 y=kx-2 代入+y =1 得(1+4k )x -16kx+12=0. 当 Δ =16(4k -3)>0,即 k >时,x1,2=. 从而|PQ|=|x1-x2|=. 又点 O 到直线 PQ 的距离 d=, 所以△OPQ 的面积 S△OPQ=d?|PQ|=. 设=t,则 t>0,S△OPQ==. 因为 t+≥4,当且仅当 t=2,即 k=±时等号成立,且满足 Δ >0, 所以,当△OPQ 的面积最大时,l 的方程为 y=x-2 或 y=-x-2. 6. 解析 (1)椭圆 W:+y =1 的右顶点 B 的坐标为(2,0). 因为四边形 OABC 为菱形, 所以 AC 与 OB 相互垂直平分. 所以可设 A(1,m),代入椭圆方程得+m =1, 即 m=±. 所以菱形 OABC 的面积是|OB|?|AC|=?2?2|m|=. (2)假设四边形 OABC 为菱形. 因为点 B 不是 W 的顶点,且直线 AC 不过原点,所以可设 AC 的方程为 y=kx+m(k≠0,m≠0). 由消 y 并整理得 (1+4k )x +8kmx+4m -4=0. 设 A(x1,y1),C(x2,y2),则 =-,=k?+m=. 所以 AC 的中点为 M. 因为 M 为 AC 和 OB 的交点, 所以直线 OB 的斜率为-. 因为 k?≠-1, 所以 AC 与 OB 不垂直. 所以 OABC 不是菱形,与假设矛盾.
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2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

所以当点 B 不是 W 的顶点时,四边形 OABC 不可能是菱形. 7. 解析 (1)由题意得 所以椭圆 C1 的方程为+y =1. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0).由题意知直线 l1 的斜率存在,不妨设其为 k,则直线 l1 的方 程为 y=kx-1. 又圆 C2:x +y =4,故点 O 到直线 l1 的距离 d=, 所以|AB|=2=2. 又 l2⊥l1,故直线 l2 的方程为 x+ky+k=0. 由 消去 y,整理得(4+k )x +8kx=0,故 x0=-. 所以|PD|=. 设△ABD 的面积为 S,则 S=|AB|?|PD|=, 所以 S= ≤=, 当且仅当 k=±时取等号. 所以所求直线 l1 的方程为 y=±x-1.
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