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竞赛辅导-解析几何(一)


竞赛辅导─解析几何(一)
引言
知识要点

思考一

思考二

思考三

课外思考

1

竞赛辅导─解析几何(一)
(直线与圆)
解析几何是通过坐标系、用代数的方法来解决 几何问题的一门学科. 代数理论为几何问题提供了

统一的处理方法, 而几何模型以为代数问题提供了直观解释,灵活掌 握数形结合的思想,对于解决数学问题大有好处.关 于这一点,数学界的泰斗──华罗庚写了一首诗: 数形本是相倚依,焉然分作两边飞. 数缺形时少直觉,形缺数时难入微. 数形结合百般好,隔裂分家万事休. 几何代数统一体,永远联系莫分离. 2

竞赛辅导─(直线与圆)
知识点见教程第 301 页至第 302 页.
补充内容: 1.两直线的夹角计算公式: l1 与 l2 的夹角为? ,
k 2 ? k1 则 tan ? ? ( 00 ? ? ? 900 ). 1 ? k1 k 2
? x ? a ? R cos ? 2.圆的参数方程: ? ,其中圆心为 ? y ? b ? R sin ? (a, b) ,半径为 R.
3

思考一 1.与直线 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 关于点 (1, ?1) 对称的直线是 ( ) (A) 3 x ? 2 y ? 2 ? 0 (B) 2 x ? 3 y ? 7 ? 0 (C) 3 x ? 2 y ? 12 ? 0 (D) 2 x ? 3 y ? 8 ? 0 2.(教程 P311 第 5 题)当 k ? ___ 时,方程

D
2

96

x ? xy ? 6 y ? 20 x ? 20 y ? k ? 0 表示两条直线,且它们 ? 间的夹角为_____. 4 P311 第 8 题 ) 实 数 x , y 满 足 方 程 3. ( 教 程
2

x 2 ? y 2 ? 6 x ? 4 y ? 9 , 则 2 x ? 3 y 的 最大 值与最 小值 的和为_______.

24

4

思考二 1. 设 P (?2, h)(h ? 0) 为 光 源 , x 2 ? y 2 ? 1( y ≥0) 为半圆形障碍线,若光线要照到点 Q(2,0) ,则 h 的 4 3 最小值为____. 2 2 3 2.点 P ( x , y ) 是圆环 2 ≤ x ? y ≤ 4 上的任意一

?10,10 点,则 2 x 2 ? 3 xy ? 2 y 2 的取值范围是_______. 3.( 教 程 P312 16) 求 过 直 线 x ? 2 y ? 4 ? 0 和 圆

?

?

x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 的 交 点, 且 满足 下 列 条 件之一的圆的方程. ①过原点;②有最小面积.
7 7 4 2 8 2 9 ①x ? y ? x ? y ? 0; ②( x ? ) ? ( y ? ) ? 4 2 5 5 5
2 2
5

思考三: 1.自学教程 P308 例 7 2.正方 形 ABCD 的边长为 1, AB, AD 上 各有一点 P , Q ,若 △ AP Q 的周长为 2,求 ?PCQ . ? 45 3. 在直 线 l : x ? y ? 5 ? 0 上 找一点 P ( x , y ) , 使 得点 P ( x , y ) 对 A(1, 0), B(3, 0) 的视角 ?APB 最大.

? ?APB 的最大值为 , 4 点 P 的坐标为 (3, 2)

6

课外思考: 1.当 a, b 均为有理数时,称点 P (a , b ) 为有理点,又设 ) A( 1998 , 0), B(0, 2000) ,则直线 AB 上( (A)不存在有理点 (B)仅有一个有理点 (C)仅有两个有理点 (D)有无穷多个有理点 2.过点 (1, 4) 引直线 l ,使它在两坐标轴上的截距都是 正数,且截距和为最小,求直线 l 的方程.
2x ? y ? 6 ? 0

A

7


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