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河南省扶沟县高级中学2015届高三下学期仿真模拟考试数学(文)试题


绝密★启用前 2015 年普通高等学校招生全国统一考试押题卷(文) 数 学 编审:高一数学组

2015.5.

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分.考试用时 120 分 钟. 第Ⅰ卷 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.已知集合 M

? {x | y ? 数为( A.5 ) B.7
2

4 ? x 2 , x ? Z} , N ? { y | y ? 3x?1 , x ? R} ,则 M ? N 的真子集个
C.31 D.3 )

2. “a = 1”是“复数 a ? 1 ? (a ? 1)i ( a ? R ,i 为虚数单位)是纯虚数”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

3.以下有关线性回归分析的说法不正确的是(

A.通过最小二乘法得到的线性回归直线经过样本的中心 ( x, y ) B.用最小二乘法求回归直线方程,是寻求使

? ( y ? bx ? a)
i ?1 i i

n

2

最小的 a,b 的值

C.相关系数 r 越小,表明两个变量相关性越弱

D. R ? 1 ?
2

?(y ? y ) ? ( y ? y)
i ?1 i i ?1 n i i

n

2

越接近 1,表明回归的效果越好
2

? x ? y ? 10 ? 4.设实数 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ,则 z ? 2 x ? 3 y 的最小值为( ?x ? 4 ?
A.2 B.24 C.16 D.14



x 5.已知函数 f ( x) ? e ? mx ? 1 的图像为曲线 C,若曲线 C 存在与直线 y ?

1 x 垂直的切线, 2

则实数 m 的取值范围是(



A. m ? 2

B. m ? 2

C. m ? ?

1 2

D. m ? ?

1 2

6. 如图是一几何体的三视图,正视图是一等腰直角 三角形,且斜边 BD 长为 2;侧视图一直角三角形; 俯视图为一直角梯形,且 AB ? BC ? 1,则此几何体 的体积是( A. 1 ) B. 2 C.

1 2

D.

1 2

7. 设 F1 、 F2 是双曲线 C :

x2 y2 ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )的两个焦点, P 是 C 上一点,若 a2 b2
开始 i=2015

| PF1 | ? | PF2 |? 6a ,且△ PF1 F2 最小内角的大小为 30 ? ,
则双曲线 C 的渐近线方程是( A. x ? 2 y ? 0 C. x ? 2 y ? 0 )

S=2014 i > 0? 是 i=i-1 否

B. 2 x ? y ? 0 D. 2 x ? y ? 0 )

输出 S 结束

8.某程序框图如图所示, 则该程序运行后输出的值是( A.2016 B.2015 C.2014 D.0

S = (-1)S+S (第 8 题图)

x2 y 2 2 2 2 2 9.过椭圆 2 ? 2 ? c (a ? b ? 0) 的右焦点 F (c, 0) 作圆 x ? y ? b 的切线 FQ ( Q 为切点) a b
交椭圆于点 P ,当点 Q 恰为 FP 的中点时,椭圆的离心率为( )

A.

5 3

B.

3 2

C.

1 2

D.

5 2
)

10.函数 y ? sin 2 x ? cos 2 x 的图象可由 y ? sin 2 x ? cos2 x 的图象向右平移( A. C.

? ? 个单位长度得到 D. 个单位长度得到 8 4 x 11.函数 y ? ? 2 sin x 的图象大致是( ) 2

3? 个单位长度得到 4

B.

?
2

个单位长度得到

12.设 数 列

?an ?

满 足

a1 ? 1, a2 ? a4 ? 6

, 且 对 任 意

n? N * , 函 数

1 ? f ( x) ? (an ? an?1 ? an?2 ) x ? an?1 ? c o x ?s an?2 s ix 满 n 足 f '( ) ? 0 若 c n ? a n ? an , 则 数 列 2 2

?c n ?的前 n 项和 Sn 为(
n2 ? n 1 ? n A. 2 2

)

n2 ? n ? 4 1 ? n ?1 B. 2 2

n2 ? n ? 2 1 ? n C. 2 2
第Ⅱ卷

n2 ? n ? 4 1 ? n D. 2 2

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.数列 {an } 的首项为 3,{bn } 为等差数列且 bn ? an?1 ? an (n ? N * ) ,若 b3 ? ?2 , b10 ? 12 , 则 a8 ? .

14.已知向量 a, b 的夹角为 60 ,且 | a |? 2, | b |? 1 ,则向量 a 与向量

a ? 2b 的夹角等于

.

15.三棱锥 P ? ABC 中, 底面 ?ABC 是边长为 2 的正三角形, PA ⊥ 底面 ABC ,且 PA ? 2 ,则此三棱锥外接球的半径为 16.已知函数 f ( x) ? ? .

x?0 ,若关于 x 的方程 ?? x ? 2 x x ? 0
? ex ?1
2

f ( x) ? x ? a 有三个不同的实根,则实数 a 的取值范围是
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)

.

已知在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c ,向量

m ? (sin A ? sin C,sin B ? sin A), n ? (sin A ? sin C,sin B) ,且 m ? n .

(Ⅰ)求角 C 的大小;
2 2 (Ⅱ)若 a ? b ?

1 2 c ,试求 sin( A ? B) 的值. 2

18. (本小题满分 12 分) 如图所示,在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E , F 分别为 DD1 , DB 的中 点. (Ⅰ)求证: EF //平面 ABC1D1 ; (Ⅱ)求证: EF ? B1C ; (Ⅲ)求三棱锥 VB1 ? EFC 的体积. 19.(本题满分 12 分) 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关, 对本班 50 人进行了问卷调查得到了如下的列联 表: 喜爱打篮球 男生 女生 合计 已知在全部 50 人中随机抽取 1 人抽到喜爱打篮球的学生的概率为 . (Ⅰ)请将上面的列联表补充完整; (Ⅱ)是否有 99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关?说明你的理由; (Ⅲ)已知喜爱打篮球的 10 位女生中, A1 , A2 , A3 还喜欢打羽毛球, B1,B2,B3 还喜欢打乒 乓球, C1,C2 还喜欢踢足球,现在从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的 8 位女生 中各选出 1 名进行其他方面的调查,求 B1 和 C1 不全被选中的概率. 下面的临界值表供参考:
p( K 2 ? k )

不喜爱打篮球 5

合计

10 50

3 5

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

(参考公式: K 2 ?

n(ad ? bc) 2 ,n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

20. (本小题满分 12 分)

x2 y 2 2 2 2 已知曲线 C1 : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0, x ? 0)和曲线C2:x ? y ? r ( x ? 0) 都过点 a b
A ? 0, ?1? ,且曲线 C1 所在的圆锥曲线的离心率为
(Ⅰ)求曲线 C1 和曲线 C 2 的方程; (Ⅱ) 设点 B、 C 分别在曲线 C1 、C2 上,k1 , k 2 分别为直线 AB、AC 的斜率。当 k2 ? 4k1 时, 问直线 BC 是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由。

3 . 2

21. (本小题满分 12 分) 已知函数: f ( x) ? x ? (a ? 1) ln x ?

1 a (a ? R ) , g ( x) ? x 2 ? e x ? xe x ; 2 x

(Ⅰ) 当 x ? ?1, e? 时,求 f ( x ) 的最小值;
2 (Ⅱ)当 a ? 1 时,若存在 x1 ? e, e ,使得对任意的 x2 ? ?? 2,0?, f ?x1 ? ? g ?x2 ? 恒成立,

? ?

求 a 的取值范围.

选考题(请考生在 22,24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分) 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图, ?ABC 为直角三角形, ?ABC ? 90? ,以 AB 为直径的圆交 AC 于点 E ,点 D 是

BC 边的中点,连 OD 交圆 O 于点 M .
(Ⅰ)求证: O, B, D, E 四点共圆; (Ⅱ)求证: 2DE 2 ? DM ? AC ? DM ? AB .

23、 (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

? 2 t ?x ? 3 ? ? 2 在直角坐标系 xOy 中, 直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) , 在极坐标系 (与 2 ?y ? 5 ? t ? ? 2
直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆

C 的方程为 ? ? 2 5 sin ? .
(Ⅰ)求圆 C 的圆心到直线 l 的距离; (Ⅱ)设圆 C 与直线 l 交于点 A、 B .若点 P 的坐标为(3, 5 ) ,求 | PA | ? | PB | .

24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? log2 (| x ? 1 | ? | x ? 2 | ?a) . (Ⅰ)当 a ? 7 时,求函数 f ( x) 的定义域; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f ( x) ? 3 的解集是 R ,求实数 a 的取值范围.

2015 年普通高等学校招生全国统一考试押题卷 数学参考答案 一、 题号 答案 选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1 D 2 C 3 C 4 D 5 B 6 D 7 B 8 B 9 A 10 D 11 A 12 C

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. - 3 14.30° 15.

21 3

16. ( ?

9 ,0 ) 4

17.解: (1)由题意得: m ? n ? (sin 2 A ? sin 2 C) ? (sin 2 B ? sin A sin B) ? 0

即 sin 2 C ? sin 2 A ? sin 2 B ? sin A sin B ,由正弦定理得 c ? a ? b ? ab ,
2 2 2

再由余弦定理得 cos C ? (2)方法一:

a 2 ? b2 ? c 2 1 ? 2ab 2

0?C ??

?C ?

?
3

……………4 分

1 1 a 2 ? b 2 ? c 2 ,? sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C , 2 2 3 3 1 ? cos 2 A 1 ? cos 2 B 3 2 2 ? ? 即 cos 2 B ? cos 2 A ? 即 sin A ? sin B ? ,从而 8 4 2 2 8

A? B ?
即 ? cos(

?

3

??

? cos( 4? ? 2 A) ? cos 2 A ? 3 …………………………………6 分
3 4

?
3

? 2 A) ? cos 2 A ?

3 ? 3 ,从而 sin(2 A ? ) ? ? …………………………8 分 4 3 4

sin( A ? B) ? sin[ A ? (
= ? sin(2 A ?

2? 2? 2? ? A] ? sin(2 A ? ) ? ? sin(2 A ? ??) 3 3 3
………………………………………………………………12 分

?
3

)?

3 4

2 2 2 2 2 2 方法二:设 R 为 ?ABC 外接圆半径,? sin( A ? B) ? a ? a ? c ? b ? b ? b ? c ? a 2R 2ac 2R 2bc

=

2(a 2 ? b2 ) c2 c 1 3 ? ? ? ? sin C ? 4 Rc 4 Rc 4R 2 4

18.证明: (Ⅰ)连结 BD1 ,在 ?DD1 B 中, E 、 F 分别为 D1D , DB 的中点,则

EF // D1 B ? ? D1 B ? 平面ABC1 D1 ? ? EF // 平面ABC1 D1 ………………………………………4 分 EF ? 平面ABC1 D1 ? ?
(Ⅱ)

B1C ? AB ? ? B1C ? BC1 B1C ? 平面ABC1D1 ? ? ?? ?? AB, B1C ? 平面ABC1 D1 ? BD1 ? 平面ABC1D1 ? ? AB BC1 ? B ?

B1C ? BD1 ? ? ? EF ? B1C …………………………8 分 EF // BD1 ?
(Ⅲ)

CF ? 平面BDD1B1 ,?CF ? 平面EFB1
EF ?

…………………………9 分

且 CF ? BF ? 2 ,

1 BD1 ? 3 , B1F ? BF 2 ? BB12 ? ( 2)2 ? 22 ? 6 2

B1 E ? B1D12 ? D1E 2 ? 12 ? (2 2)2 ? 3 ∴ EF 2 ? B1F 2 ? B1E 2 即 ?EFB1 ? 90 ……10 ,
, 分

1 1 1 1 1 ?VB1 ? EFC ? VC ? B1EF ? ? S ?B1EF ? CF = ? ? EF ? B1 F ? CF = ? ? 3 ? 6 ? 2 ? 1 … 3 2 3 3 2
…………………………………………………12 分 19. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)列联表补充如下: 喜爱打篮球 男生 女生 合计
2 (Ⅱ)∵ K ?

不喜爱打篮球 5 15 20

合计 25 25 50

20 10 30

50 ? (20 ?15 ? 10 ? 5)2 ? 8.333 ? 7.879 ,∴有 99.5%的把握认为喜爱打篮球与 30 ? 20 ? 25 ? 25

性别有关. (Ⅲ)从 10 位女生中选出喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的各 1 名,其一切可能 的 结 果 组 成 的 基 本 事 件 如 下 : (A ,B1,C1 ), ( A1,B1,C2 ), ( A1,B2,C1 ) , 1

(A ,B2,C2 ), (A ,B3,C1 ) , ( A1,B3,C2 ), 1 1 ( A2,B1,C1 ), ( A2,B1,C2 ), ( A2,B2,C1 ) , ( A2,B2,C2 ) , ( A2,B3,C1 ) , ( A2,B3,C2 ) , ( A3,B1,C1 ), ( A3,B1,C2 ), ( A3,B2,C1 ) , ( A3,B3,C2 ) , ( A3,B2,C2 ), ( A3,B3,C1 ),
基本事件的总数为 18,用 M 表示“ B1,C1 不全被选中”这一事件,则其对立事件 M 表示 “ B1,C1 全被选中”这一事件,由于 M 由 ( A1,B1,C1 ), ( A2,B1,C1 ), ( A3,B1,C1 ) , 3 个基本 事件组成,所以 P ( M ) ?

3 1 ? , 18 6

由对立事件的概率公式得 P( M ) ? 1 ? P( M ) ? 1 ? 20. (本小题满分 12 分)

1 5 ? . ………………………12 分 6 6

2 解: (Ⅰ)由已知得 b 2 ? 1 , a 2 ? 4 , r ? 1 .……………………………1 分

所以曲线 C1 的方程为

x2 . ………………………………2 分 ? y 2 ? 1 ( x≥0 ) 4

曲线 C 2 的方程为 x2 ? y 2 ? 1 ( x≥0 ) . ……………………………………3 分

(Ⅱ)将 y ? k1x ? 1 代入

x2 ? y 2 ? 1 ,得 ?1 ? 4k12 ? x2 ? 8k1 x ? 0 .………………4 分 4
8k1 , 4k12 ? 1

设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 x1 ? 0 , x2 ?

y2 ? k1 x2 ? 1 ?

? 8k1 4k12 ? 1 ? 4k12 ? 1 .所以 B , 2 ? 2 ? . ………………………6 分 4k12 ? 1 ? 4k1 ? 1 4k1 ? 1 ?

2 将 y ? k2 x ? 1 代入 x2 ? y 2 ? 1 ,得 1 ? k2 x2 ? 2k2 x ? 0 .……………………7 分
2 2 ? 2k1 k2 2k 2 ?1 ? k2 ?1 y ? k x ? 1 ? , ,所以 C , ? 2 ? . ……8 分 3 2 3 2 2 2 k2 ? 1 k2 ? 1 ? k2 ? 1 k2 ? 1 ?

?

?

设 C ? x3 , y3 ? ,则 x3 ?

? 8k1 16k12 ? 1 ? , 因为 k2 ? 4k1 ,所以 C ? ? ………………………………9 分 2 2 ? 16k1 ? 1 16k1 ? 1 ?

则直线 BC 的斜率 kBC

16k12 ? 1 4k12 ? 1 ? 16k12 ? 1 4k12 ? 1 1 , ………………………10 分 ? ?? 8k1 8k1 4k1 ? 16k12 ? 1 4k12 ? 1

所以直线 BC 的方程为: y ?

4k12 ? 1 8k1 ? 1 ? 1 ?? x ? 1 .……11 分 ? x ? 2 ? ,即 y ? ? 2 4k1 ? 1 4k1 ? 4k1 ? 1 ? 4k1

故 BC 过定点 ? 0,1? . …………………………………………………………12 分 21. (本小题满分 12 分) 解 : (1) f ( x ) 的定义域为 (0,??) ,

f ' ( x) ?

( x ? 1)( x ? a) (a ? R) x2

结合定义域,用穿针引线的方法,比较根的大小,决定分类标准。
' 当 a ? 1 时, x ? ?1, e?, f ?x ? ? 0. f ?x ? 为增函数, f ?x ?min ? f ?1? ? 1 ? a ……………1 分

1, a?, f ' ?x? ? 0. f ?x? 为减函数, x ? ?a, e?, f ' ?x? ? 0. f ?x? 为增函数, 当 1 ? a ? e 时, x ? ?

f ? x ?min ? f ?a ? ? a ? ?a ? 1?lna ? 1 。………………………………………2 分
1, e?, f ' ?x? ? 0. f ?x? 为减函数, f ? x ?min ? f ?e ? ? e ? ?a ? 1? ? 当 a ? e 时, x ? ?
a e

? 综上

当 a ? 1 时, f ?x?min ? 1 ? a 。…………………………………3 分

当 1 ? a ? e 时 , f ?x?min ? a ? ?a ? 1?ln a ? 1 。………………………………4 分

当 a ? e 时, f ? x ?min ? e ? ?a ? 1? ?

a ……………………………………………5 分 e

2 (2)若存在 x1 ? e, e ,使得对任意的 x2 ? ?? 2,0?, f ?x1 ? ? g ?x2 ? 恒成立,

? ?

即 f ( x1 ) min ? g ( x2 ) min …………………………………………………7 分
2 当 a ? 1 时,由(1)可知, x1 ? e, e , f ?x ? 为增函数,

? ?

? f ? x1 ?min

? f ?e ? ? e ? ?a ? 1? ?
'

a ,……………………………8 分 e

当 x2 ? ?? 2,0? 时 g ( x) ? 0, g ?x ? 为减函数,………10 分

g ( x2 ) min ? g ?0? ? 1,
a? e 2 ? 2e e ?1

? e ? (a ? 1) ? a ? 1,
e
2

………………………11 分

? a ? (e

? 2e ,1) ……………………………………………12 分 e ?1

22. (本小题满分 10 分) 解: (1)连接 BE ,则 BE ? EC 又 D 是 BC 的中点,所以 DE ? BD ……………………………………………1 分 ……………………………………………3 分

? 又 OE ? OB, OD ? OD ,所以 ?ODE ? ?ODB ,所以 ?OBD ? ?OED ? 90

故 D, E, O, B 四点共圆.

…………………………………………………………5 分

(2) 延长 DO 交圆于点 H ,

? DE 2 ? DM ? DH ? DM ? (DO ? OH ) ? DM ? DO ? DM ? OH ……………………8 分
1 1 ? DE 2 ? DM ? ( AC ) ? DM ? ( AB ) ,即 2DE 2 ? DM ? AC ? DM ? AB ……10 分 2 2

24. (本小题满分 10 分)

解: (Ⅰ)由题设知: x ? 1 ? x ? 2 ? 7 , 令 x ? 1 ? 0,x ? 2 ? 0 ,解得 x ? 1,x ? ?2 ,这就是两个分界点。把全体实数分成 3 个区间。 不等式的解集是以下不等式组解集的并集:

?x ? 1 ?? 2 ? x ? 1 ? x ? ?2 ,或 ? ,或 ? ………………3 分 ? ?x ? 1 ? x ? 2 ? 7 ?? x ? 1 ? x ? 2 ? 7 ?? x ? 1 ? x ? 2 ? 7
解得函数 f ( x ) 的定义域为 (??,?4) ? (3,??) ; (Ⅱ)不等式 f ( x) ? 3 即 x ? 1 ? x ? 2 ? a ? 8 , ………………………………5 分

? x ? R 时,恒有 x ? 1 ? x ? 2 ? ( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 3 ,…………………………8 分
? 不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? a ? 8 解集是 R,? a ? 8 ? 3,

? a 的取值范围是 (??,-5] .…………………………………………………………10 分


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