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第四届陈省身杯全国高中数学奥林匹克


2 0 1 3 年第 1 O期  G在 A D的 中垂 线 O 0 , 上.   故G A=G D .   + 7 = [   +   /   ] ≤[ n √  + 1 0 ] =  + l 0 ,   故只能  + 7 =   + 1 0=1 0 ( 后+1 )+ 口+1 .   一 2 . 由方程① 、 ② 知其公 共根 为 P=   b 口  .   … 同

理 ,  + I 4 :  + 7 + 1 0=1 0 (  + 2 )+ n+1 ,   ,  + 7 o =  + 6 3 +l 0=1 0 (  +1 0 )+ 口+1 .   由7 0  X 2= 9   8 0 0< 9   8 0 1= 9 9   X 9 9 , 知  +  = 同理 , 方程② 、 ③, 方程① 、 ③ 的公共根分  别 为 q=   , r =   .   [   + 7 0   ]   于是 , p q r = 一1 .   ≤[   矛盾.   + 9 9 ]:1 0 (  +l 0 )+ 0 ,   若 P、 g 、 r 中有两个 相 等 , 不 妨设 P=q , 则  三个 方程 有公 共根 P . 于是 ,   P   r=   P =r=q   一 1=   0 = b= C.   因此 , 集 合 X:   n   ] I   n∈ N+ } 中有  无 穷 多个元 素 , 其 个位 数字为 0 .   4 . 将 圆桌 旁 2   0 1 3人 顺 时 针 依 次 记 为  A 0 , A   , …, A 2   ( n=1   0 0 6 ) . 设 A  手 中 持 有  口 i +( , l +1 ) 张 卡 片. 则 ( %, Ⅱ   , …, 口  ) 是  ( 一n , 一n+1 , … ,一1 , 0 , 1 , …, 几 ) 的— — 个{ { }   矛盾 .   下设 P、 g 、 r 互异. 则 三个方 程有 形式  (  - p ) (  —r )= 0,   (  - p ) (  — q ) =0 ,   (  — g ) (  —r )= 0 .   于是 , 口=- p— r = q r , b =一 g- p=r p ,   c = 一 r— q=p 9 ?   一   列, 且∑ 口 。 = 0 .   设所有传递结束后 , A … 传给 A   (   0 ,   1 , …, 2 , l , A :   +  = A o ) 共  张 卡 片 ( 若  <0 ,   表示 A   传给 A   的卡 片 一   张) .   由题设 知  + 8 f—  一 故一 2 ( p+ g+r )= p q+ g r +  ,   一 l =( q+1 ) ( P+1 ) ( r +1 )   +g r+ , p +p +q +   =   于是 , p+ g+ r =1 , P q+ 9 r + r p= 一 2 .   贝 0 口   +b   +C   = 2 ( p   + q 2 +r 2 + p g+ q r + r i o )= 6 .   1=0   :  一 =  。 一 Ⅱ  = … ∑  』=0   ①   3 . 记  :[   = ] . 显然 ,   特 别 地,   :   =  一 ∑n   .   故所有传递次数之和为  i   =   o   [   +  ] ≥[ ,   + 1 ] =  + 1 ,

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