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初高中数学衔接材料之一 一元二次不等式


初高中数学衔接材料之一

一元二次不等式

一、一元二次不等式及其解法 1.形如 ax2 ? bx ? c ? 0(或 ? 0)(其中a ? 0) 的不等式称为关于 x 的一元二次不等式. 2.一元二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 与相应的函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 、 相应的方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 之间的关系: 判别式 ? ? b 2 ? 4ac

??0

??0

??0

二次函数 y ? ax2 ? bx ? c ( a ? 0 )的图象

ax2 ? bx ? c ? 0?a ? 0?
ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)的解集

ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)的解集

3、解一元二次不等式步骤: 1、把二次项的系数变为正的。(如果是负,那么在不等式两边都乘以-1,把系数变为正) 2、解对应的一元二次方程。(先看能否因式分解,若不能,再看△,然后求根) 3、求解一元二次不等式。(根据一元二次方程的根及不等式的方向) 二.典型例题 例 1、解下列不等式: 2 (1)2+3x-2x <0; (2)-x +2x-3>0; (3)x -4x+4>0 例 2、⑴解不等式(1+x)(2-x)(x +x+1)>0
2 2 2

⑵(1+x)(2-x)(x+3)>0

例 3、解关于 x 的不等式 2x -5ax-3a <0(a∈R)。

2

2

例 4、已知对于任意实数 x , kx ? 2 x ? k 恒为正数,求实数 k 的取值范围.
2

2 2 例 5、已知关于 x 的不等式 kx ? (k ? 1) x ? 3 ? 0 的解为 ?1 ? x ? 3 ,求 k 的值

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2 例 6、已知关于 x 的不等式 k ? kx ? x ? 2 的解为 x ? ?

1 ,求实数 k 的值. 2

2 例 7、已知 A= {x | x - 3 x + 2

0} ,B= {x | x 2 - (a + 1) x + a

0} 。

(1)若 B A,求 a 的取值范围; (2)若 A∩B 是单元素集合,求 a 取值范围。 例 8.解关于 x 的不等式: ⑴ x 2 + (2 - a) x - 2a < 0

⑵ ax + ax + 1

2

0

三.练习题 练习一、解下列一元二次不等式: 1、 x 2 ? 7 x ? 6 ? 0 2、 x 2 ? x ? 12 ? 0 3、 x 2 ? x ? 12 ? 0
2

4、x+2>3x

5、 x 2 ? 4 x ? 12 ? 0

6、 3 x 2 ? 5 x ? 12 ? 0

7、 x 2 + 5 x + 16 > 0

8、 x 2 - x + 6

0

9、 x 2 + 6 x + 9

0

10、 3 x 2 ? 16x ? 12 ? 0

11、 3 x 2 ? 37x ? 12 ? 0

12、 2 x 2 ? 15x ? 7 ? 0

13、 ? x 2 ? 4 x ? 4 ? 0

14、 ? x 2 ? 2 x ? 3 ? 0

15、 ? 6 x 2 ? x ? 2 ? 0 17、 ? x 2 ? 2 x ? 3 ? 0

16、 x 2 ? 3x ? 5 ? 0

18、 - 6 x 2 + x - 2

0

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练习二
2 1、若 ? 2 x ? 5x ? 2 ? 0 ,则 4 x ? 4 x ? 1 ? 2 x ? 2 等于(
2



D. 5 ? 4 x 1 2、若 0 ? a ? 1 ,则不等式 (a ? x)( x ? ) ? 0 的解是( ) a 1 1 1 ?x?a A. a ? x ? B. C. x ? 或 x ? a a a a 1 1? ? 2 3、若不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集 ? x | ? ? x ? ? 则 a-b 值是( 2 3? ? C.3 A.-10 A. {x | ? B.-14
2

A. 4 x ? 5

B. ? 3

D. x ? )

1 或x?a a

C.10

D.14
2

4、已知不等式 ax ? 5 x ? b ? 0 的解集为 {x | ?3 ? x ? 2} ,则不等式 bx ? 5 x ? a ? 0 的解集为( )

1 1 ?x? } 3 2 C. {x | ?3 ? x ? 2}
2

1 1 3 2 D. {x | x ? ?3或x ? 2}

B. {x | x ? ? 或x ? }

5、若关于 x 的不等式 2 x ? 8x ? 4 ? a ? 0在1 ? x ? 4 内有解,则实数 a 的取值范围是( A. a ? ?4 B. a ? ?4 C. a ? ?12 D. a ? ?12 二、填空题 1、不等式 (2 x ? 1) 2 ? 9 的解集为___________________________。 2、不等式0<x2+x-2≤4的解集是_______________ .



3、若不等式 (a ? 2) x2 ? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0 对一切 x ? R 恒成立,则 a 的取值范围是______________. 三、简答题: 1、解关于 x 的不等式: (1) x ? 2ax ? 3a ? 0
2 2

(2) x ? (1 ? a ) x ? a ? 0
2

2、 x + ax + a

2

0

练习三 1.不等式|x(x+1)| >x(x+1)的解集是( ) (A)(-∞,-1)∪(-1,+∞) (B)(-1,+∞) (C)(-∞,-1)∪(-1,0) (D)(-1,0) 2 2 2.不等式 42x +ax<a (常数 a<0)的解集是( )

骣 a a÷ 骣 a a (B) ? , - ÷ , ÷ ? ÷ ? 6 7÷ ?7 6 ÷ 桫 桫 骣 骣 a鼢 骣 a a 骣a (C) 珑 ? , (D) 珑 ト, 鼢 - , + ? 鼢 , 鼢 珑 珑 鼢桫 珑 珑 桫 桫 6 7 7鼢 桫 6
(A) ?? 3.不等式 <0 的解集是( ) (A)(0,3) (B)(-3,0) (C)(-3,3) (D)R 2 4.若关于 x 的不等式 ax +bx+c<0(a≠0)的解集为 F ,那么( ) 2 2 (A)a<0,且 b -4ac>0 (B)a<0,且 b -4ac≤0 2 2 (C)a>0,且 b -4ac≤0 (D)a>0,且 b -4ac>0

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5.有三个关于 x 的方程: x - ax + 4 = 0 , x 2 + (a - 1) x + 16 = 0 , x + 2ax + 3a + 10 = 0 ,已知其 中至少有一个方程有实根,则实数 a 的取值范围为( ) (A)-4≤a≤4 (B)-2<a<4 (C)a<0 (D)a≤-2,或 a≥4 2 6.不等式 4≤x -3x<18 的整数解集是 。 7.若方程组 ? í

2

2

ì x2 + 2 y2 = 2 ? 有两组解,则实数 m 的取值集合是 ? x+ y- m = 0 ? ?
0} ,B= {x | 2 x 2 - x - 6 > 0},则 A∩B=

。 。 ,q= 。 。

2 8.集合 A= {x | x - 3 x - 4

9.若

1 2 x + 8 x + q > 0 的解集是{x|2<x<4},则 p,q 的值分别是 p= p
的值恒为负数,则 p 的取值范围是

10.对任何实数 x,函数

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