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2010学年度第一学期上海市北郊高级中学高一数学期末复习]


学年度第一学期上海市北郊高级中学 2010 学年度第一学期上海市北郊高级中学 高一数学期末复习——自我检测( ——自我检测 高一数学期末复习——自我检测(1)
班级 ________ 姓名 ___________ 学号 ______ ′ × 10 )本大题共有 10 小题,只要求直接填写结果,每个空格填对得 4 分, 一、填空题( 4 否则一律不给分. 1. 用列举法描述集合 x | x ? 3 x ? 4 < 0, x ∈ Z = _________________ 。
2

2. 命题“若 a ? b = 0 ,则实数 a = 0 或 b = 0 ”的否命题是 3. 函数 y = 4. 函数 y =

{

}



4? x 的定义域是______________。 x
2

2 , x ∈ [ 2, 6] 的最大值为 x



5.若 f ( x) = log 4 ( x ? 1), x ∈ R ,则 f ?1 ?

?1? ? = __________。 ?2?

6. 函数 y = x ? 2 ? 1 的单调递增区间是______________。 7. 关 于 x 的 方 程 3 x ? 10 x + k = 0 有 两 个 同 号 但 不 相 等 的 实 根 的 一 个 充 要 条 件 是 。 8. 如图 1 所示,用一根长为 4 米的木料制成窗框,设窗框的宽为 x 米,长 为 y 米 ( y > x ) .若不计木料的厚度与损耗,则将窗的面积 S 表示成宽 x 的
2

函数 S ( x ) 为


图1

? x ≥2 ? 9. 不等式组 ? x ? 4 的正整数解集为________________。 ? x ?5 > 0 ?

10. 写出二次函数 y = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0) 的图像与 x 轴没有交点的一个充分不必要条件 是___________________________。 二、选择题( 4′ × 6 )本大题共有 6 小题,每小题有且仅有一个正确的选项,每题选对得 4 分,选错或不选均不得分. 11. “ x > 4 ”是“ x ≥ 4 ”的_______条件 ( ) (A)充分非必要 (B)必要非充分 (C)充要 (D)既非充分又非必要 12. 下 列 命 题 中 与 命 题 “ 能 被 6 整 除 的 整 数 一 定 能 被 2 整 除 . ” 等 价 的 命 题 是 ( ) (A)能被 2 整除的整数一定能被 6 整除 (B) 不能被 6 整除的整数一定不能被 2 整除 (C)不能被 2 整除的整数不一定能被 6 整除(D)不能被 2 整除的整数一定不能被 6 整除 13. 函数 f ( x ) =

1 1 x?2 + x+2 是 3 3





(A)奇函数 (B)偶函数 (C)非奇非偶函数 (D)既是奇函数又是偶函数 14. 若 ab > 0 ,则下列不等式中不一定成立的是( ) ... (A) a + b ≥ ?2ab
2 2

(B)

a b + ≥2 b a

(C)
1

a+b ≥ ab 2

(D) ab ≤ ?

?a+b? ? . ? 2 ?
2

15.函数 y = 3 ? 2 的图像一定不经过 (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 2 16. 已知 x > 1 ,则关于表达式 x + ,下列说法正确的是( x ?1
x

( (D)第四象限 )



(D)有最大值 4. (A)有最小值 2 2 + 1 (B)有最小值 4 (C)有最小值 3 3 3 三、简答题( 6′ + 6′ + 6′ )本大题共有 3 题,解答下列各题必须写出必要的步骤. 17.(本题满分 6 分)求证:函数 f ( x ) =

2 ? x 在区间 (0, +∞) 上单调递减. x

18 . 本 题 满 分 6 分 ) 函 数 y = f ( x) 的 图 像 如 右 图 ( 图 2 ) 所 示 , 试 解 不 等 式 (

f ( x) ? f (? x) < 1 .

图2

2

19. (本题满分 6 分)建筑学规定,民用住宅的居室窗户面积必须小于该室内地面面积.同 时,按室内采光标准,住宅的居室窗户面积与该室内地面面积之比不小于 10%,并且这个 比值越大,住宅的采光条件就越好.现在若同时增加相同的窗户面积和地面面积,住宅的 采光条件是变好了还是变坏了?请说明你的理由。

四、解答题( 8′ + 10′ )本大题共有 2 题,解答下列各题必须写出必要的步骤. 20. (本题满分 8 分)若关于 x 的方程 4 + 2 ? a + a + 1 = 0 有实根,求实数 a 的取值范围。
x x

3

21.(本题满分 10 分,其中第 1 小题 3 分,第 2 小题 3 分,第 3 小题 4 分) 已知函数 f ( x ) =

1 ?1? ,令 g ( x ) = f ? ? 。 x +1 ?x? (1)求函数 f ( x ) 的值域;
2

(2)任取定义域内的 5 个自变量,根据要求计算并填表;观察表中数据间的关系,猜想 一个等式并给予证明; x …
f ( x) ? g ( x) ? 1 2 1 2

… …

(3)如图,已知 f ( x ) 在区间 [ 0, +∞ ) 的图像,请据此在该坐标系中补全函数 f ( x ) 在定义 域内的图像,并在同一坐标系中作出函数 g ( x ) 的图像. 请说明你的作图依据.

y
2

1

-

-

-

0

1

2

3

x

-

4

参考答案: 一、填空题: 1. 1; 5. (老教材) 0 (新教材) 3 ; 6. 8. S = ; [ 2, +∞ )(左侧为开区间亦算对) 7. 0, 2, ; 1, 3 则实数 a ≠ 0 且 b ≠ 0 . 2. 若 a ? b ≠ 0 , 3.

[ ?2, 0 ) ∪ ( 0, 2]



4.

0<k <

25 ; 3

4 ? 4? x(1 ? x) , x ∈ ? 0, ? 3 ? 7?

9.

{6, 7,8}

10. 开放题,可填 b ? 4ac < ?1 等;
2

二、选择题: 11A 12D 13B 14.C 15(老)D; (新)B; 16A 三、简答题: 17. 证:任取 0 < x1 < x2 , 有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) =

2 2 2 2 ? x1 ? ( ? x2 ) = ( ? ) ? ( x1 ? x2 ) x1 x2 x1 x2

? 2 ? 2( x2 ? x1 ) ? ( x1 ? x2 ) = ( x2 ? x1 ) ? ? + 1? x1 x2 ? x1 x2 ? 2 + 1 > 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) > 0 因为 0 < x1 < x2 ,所以 x2 ? x1 > 0 , x1 x2 2 所以,函数 f ( x ) = ? x 在区间 (0, +∞ ) 上单调递减. x 18. 解:∵ f ( x ) 的图像关于原点对称, ∴ y = f ( x) 是奇函数 1 ∴ f ( x) ? f (? x) = 2 f ( x) < 1 即 f ( x) < , 2 ? x + 1 x ∈ [ ?1, 0 ) ? 由图像可知 f ( x) = ? , ? x ? 1 x ∈ ( 0,1] ? 1 1? ? 结合图形即可得出 f ( x) < 不等式的解集为 ? ?1, ? ? ∪ ( 0,1] . 2 2? ? =
19 解:设住宅的窗户面积为 a,地板面积为 b,令窗户增大的面积和地板增大 的面积都是 m。 由已知得 0 < a < b 且

a ≥ 0.1 b a + m a ab + bm ? ab ? am m(b ? a ) 因为 ? = = > 0, b+m b b(b + m) b(b + m) a+m a ? > b+m b

故住宅的采光条件变好了。

5

四、解答题: 20.(老教材) 解:由 a ? bi =

2 + 4i ? 3a + i t

2 ? ?a = t ? 3a ? 得到 ? ? ?b = 4 + 1 ? t ?

∴ 8a + b = ? 1

Z = a 2 + b 2 = a 2 + ( ?1 ? 8a ) = 65a 2 + 16a + 1
2

8 2 1 65 ) + ≥ 65 65 65 ? 65 ? ∴ Z ∈? , +∞ ? . ? ? 65 ? 注:将参数 t 直接代入求最值可参照给分. = 65(a +
20.(新教材)令 2 = t > 0 ,原方程即为 t + at + a + 1 = 0 .
x 2

?a=

?t 2 ? 1 ? 2 ? = ?(t + 1) ? ? ? + 2 ,t > 0 t +1 ? t +1?

? a ≤ ?2 2 + 2 ,当且仅当 t = 2 ? 1 时等号成立. 故实数 a 的取值范围是 ?∞, 2 ? 2 2 ? . ?

(

21. (1)解:由条件, f ( x ) 的定义域为一切实数,故 x ≥ 0
2

所以, f ( x) ∈ ( 0,1] .

(2)表格内数据只要满足 f ( x ) ? 猜想: f ( x ) ?
1 2 1

1 2

和 g ( x) ?

1 2

互为相反数即可得分.

= ?( g ( x ) ? ) 或 f ( x ) + g ( x ) = 1
2

1 1 x2 + =1 x x2 + 1 1 + x2 (3) f ( x ) 和 g ( x ) 的图象见下图. 因为 x ∈ R ,且 f ( ? x ) = f ( x ) , g ( ? x ) = g ( x ) ,所以函数 f ( x ) 和 g ( x ) 都 是偶函数,其本身图象关于 y 轴对称. (注:只作对 f ( x ) 图象,并说明了理由的可得 2 分)
证明: f ( x ) + f ( ) =
6

1 1 1 1? ? = ? ? g ( x) ? ? 所以函数 f ( x) ? 的图象和 g ( x) ? 的图象关 2 2 2 2? ? 1 于 x 轴对称,即 f ( x ) 图象和 g ( x ) 图象关于直线 y = 对称.由此,可作出 2 f ( x) 和 g ( x) 在定义域内的全部图象.
又 f ( x) ? (注:若说明采用描点法作图且图象基本正确,但没有对性质加以研究的解 答可适当给分,但不给满分.函数 g ( x ) 图像中的 (0, 0) 点不挖去也不扣分)

2.5

2

1.5

1

g( x)
0.5

-3

-2

-1

1

2

3

f ( x)

-0.5

-1

7


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