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新人教版九年级下数学27-3《位似》课件


新课导入

这种相似有 什么特征?

相似图形

相似图形

这种相似有 什么特征?

照相机把人物的影 像缩小到底片上 这种相似有 什么特征?

相似图形

1. 在幻灯机放映图片的过程中,这些图片有 什么关系? 2. 幻灯机在哪儿呢? 3.我们能给这种有特殊位置的相似图形一个名称吗?

教学目标
知识与能力
? 了解位似图形及其有关概念,了解位似与相

似的联系和区别,掌握位似图形的性质。
? 掌握位似图形的画法,能够利用作位似图

形的方法将一个图形放大或缩小。
? 掌握直角坐标系中图形的位似变化与对应点 坐标变化的规律。

过程与方法
? 经历位似图形性质的探索过程,进一步发 展学生的探究、交流能力、以及动手、动脑、 手脑和谐一致的习惯。

情感态度与价值观
? 利用图形的位似解决一些简单的实际问题,并在此

过程中培养学生的数学应用意识,进一步培养学生动
手操作的良好习惯。 ? 发展学生的合情推理能力和初步的逻辑推理能力。

教学重难点
? 位似图形的有关概念、性质与作图。

? 利用位似将一个图形放大或缩小。
? 直角坐标系中图形的位似变化与对应点

坐标的关系。

这些图形相 似吗?

这样放大或缩小,没有改变图形形状,经过 放大或缩小的图形,与原图是相似的。

观察

它们相似的共 同点是什么?

其中相似图形的 共同点是什么?

知识要点
不仅相似,而且对应顶点的连线相交 于一点,对应边互相平行,像这样的两个图 形叫做位似图形(homothetic figures),这 个点叫做位似中心,这时的相似比又称为位 似比。

位似图形

注意
? 位似是一种具有位置关系的相似。 ? 位似图形是相似图形的特殊情形。 ? 位似图形必定是相似图形,而相似图形 不一定是位似图形。 ? 两个位似图形的位似中心只有一个。 ? 两个位似图形可能位于位似中心的两侧, 也可能位于位似中心的一侧。

位似图形的性质 ? 对应点与位似中心共线。 ? 不经过位似中心的对应边平行。 ? 位似图形上任意一对应点到位似中心的 距离之比等于位似比。

位似的作用 位似可以将一个图形放大或缩小。

小练习
请以坐标原点O为位似中心,作□ ABCD 的位似图形,并把它的边长放大3倍。 分析:根据位似图形上任意一对对应点到位似中 心的距离之比等于位似比,我们只要连结位似中心O 和□ ABCD的各顶点,并把线段延长(或反向延长) 到原来的3倍,就得到所求作图形的各个顶点。

作法:
1. 连结OA,OB,OC,OD. 2. 分别延长OA,OB,OC, OD至G,C,E,F,使

OG OC OE OF ? ? ? ?3 OA OB OC OD
3. 依次连结GC,CE,EF,FG.

四边形GCEF就是所求作的四边形. 如果反向延长OA,OB,OC,OD,就得到四边形G’C’E’F’, 也是所求作的四边形.

小练习
使新图形与原图形对应线段的比是2∶1.
在原图上取几个关键点A,B,C,D,E,F,G;图外任取一点P;

作射线AP,BP,CP,DP,EP,FP,GP; 在这些射线上依次取点A′,B′,C′,D′,E′,F′,G′,使 PA′=2PA,PB′=2PB,PC′=2PC,PD′=2PD,PC′=2PC,PE′ =2PE,PF′=2PF,PG′=2PG; E′ D′
A B C D G F E


P

F′ G′
A′

C′

B′

顺次连接点A′, B′, C′, D′, E′, F′,G′,所得到的图形(向下的 箭头)就是符合要求的图形。

你还有其它方法吗? 如果依次在射线上PA,PB,PC,PD,PE,PF,PG 上取点A′,B′,C′,D′,E′,F′,G′呢?
A′ G′ B F′ C D D′ E′ A

B′

C′

G F
E



P

结果是一个向上的箭头. 新图形与原图形是位似图形,位似比是2∶1

位似变换的步骤
①确定位似中心,位似中心的位置可随意 选择; ②确定原图形的关键点,如四边形有四个 关键点,即它的四个顶点; ③确定位似比,根据位似比的取值,可以 判断是将一个图形放大还是缩小; ④符合要求的图形不唯一,因为所作的图 形与所确定的位似中心的位置有关,并且同一 个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形。

小练习

位似多边形
如果两个图形不仅相似,而且每组对应顶 点所在的直线都经过同一个点,那么这样的两 个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心, 这时的相似比又称为位似比。
A B C D E1

E

D1

C1

B1

A1

探究
在平面直角坐标系中,有两点A(6,3), 1 B(6,0)。以原点O为位似中心,相似比为 , 3 把线段AB缩小。观察对应点之间坐标的变化, 你有什么发现?

探究
△ABC三个顶点坐标 分别为A(2,3),B(2, 1),C(6,2),以点O 为位似中心,相似比为2, 将△ABC放大,观察对应 顶点坐标的变化,你有什 么发现?

知识要点
在平面直角坐标系中,如果位似变换 是以原点为位似中心,相似比为k,那么 位似图形对应点的坐标的比等于k或-k,则 像上的对应点的坐标为(kx,ky)或(- kx,-ky)。

图形变换 ? 对称 ? 平移 ? 旋转 ? 相似

轴对称

中心对称

平移

旋转

相似

课堂小结
1. 位似图形、位似中心、位似比:
如果两个图形不仅形状相同,而且每组 对应顶点所在的直线都经过同一个点,那么 这样的两个图形叫做位似图形。 这个点叫做位似中心。 这时的相似比又称为位似比.

2. 位似图形的性质:
? 位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距 离之比等于位似比。 ? 以坐标原点为位似中心的位似变换有以下性质: 若原图形上点的坐标为(x,y),与原图形的位 似比为k,则像上的对应点的坐标为(kx,ky) 或(―kx,―ky)。

3. 位似图形的画法:
? 画出基本图形。 ? 选取位似中心。 ? 根据条件确定对应点,并描出对应点。 ? 顺次连结各对应点,所成的图形就是所求的图形。

随堂练习
1. 判断下列各对图形哪些是位似图形,哪些不是.
(1)五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′



(2)正方形ABCD与正方A′B′C′D′

×

(3)等边三角形ABC与等边三角形A′B′C′



2. 下面的说法对吗?为什么? (1)分别在△ABC的边AB,AC上取点D,E,使 DE∥BC,那么△ADE是△ABC缩小后的图形。 √ (2)分别在△ABC的边AB,AC的延长线上取 点D,E,使DE∥BC,那么△ADE是△ABC放大后的 图形。√ (3)分别在△ABC的边AB,AC的反向延长线 上取点D,E,使DE∥BC,那么△ADE是△ABC缩小 后的图形。×
A
D B E C B A C E A D

D

E B

C

3.如图P,E,F分别是AC,AB,AD的 中点,四边形AEPF与四边形ABCD是位似图形 吗?如果是位似图形,说出位似中心和位似比.

是位似图形。 位似中心是点A, 位似比是1:2。

4. 哪些图形是位似图形并指出位似图形的 位似中心。

O

P

(1)



(2)

×

(3)



位似中心是点O。

位似中心是点P。

5. 作出一个新图形,使新图形与原图形对应 线段的比是2∶1。

6. (1)如果在射线OA,OB,OC上分别取 D,E,F,使OD=2OA, OE=2OB, OF=2OC,那么, 结果会怎样?
E

B O
C A F D

结果会得到一个放大了的△DEF,且 △DEF的三边是△ABC三边的2倍.即它们 的位似比是2∶1。

(2)如果在射线AO,BO,CO上分别取 点D,E,F使DO=OA,EO=OB,FO=OC,那么, 结果又会怎样?
B

D
E

F

O

C
A

结果会得到一个与△ABC全等的 △DEF,.即它们的位似比是1∶1。

7. 任意画一个三角形,将△ABC的三边缩 小为原来的一半。

B

E


O

F D




C A

8. 如图,已知△ABC和点O.以O为位似中 心,求作△ABC的位似图形,并把△ABC的边 长缩小到原来的一半。

9. 如图,选取适当的一点为位似中心,适当 的比为位似比,作该图的位似图形,使它和原图 形组成一幅轴对称的图形。

习题答案
1 1. 相似比分别为 , 2, 4 ,位似中心略. 2
2. 略. 3. 坐标分别为D(1,1)E(2,1)F(3,2)或 D(-1,-1)E(-2,-1)F(-3,-2)


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