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2016届山东省青岛市平度市高考模拟(一)数学(文)试题


2016 届山东省青岛市平度市高考模拟(一)数学(文)试题
本试卷分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。 1. 已知集合 P ? {0, m}, Q ? {x | 2 x 2 ? 5 x ? 0, x ? Z } ,若 P ? Q ? ? ,则 m 等于( A.1 2. 设复数 z ? A.
1 2



B.2

C.1 或

5 2

D.1 或 2

2?i ( i 为虚数单位) ,则复数 z 的虚部是( ) (1 ? i ) 2

B.-1

C.- i

D.1

3.若向 a ? (1, 2), b ? (?3, 0), (2a ? b) / /( a ? mb), 则 m ? ( A. ?

?

?

? ?

?

?



1 2

B.

1 2

C.2

D.-2

4.甲、乙两名选手参加歌手大赛时,5 名评委打的分数,用茎叶图表 示(如图) , s1 , s2 分别表示甲、乙选手分数的标准差,则 s1与s2 的关系是(填“>” 、 “<”或“=” ) ( A. s1 ? s2 B. S1 ? S 2 ) C. s1 ? s2 D.不确定 ) 个单位长度 个单位长度
? ?

5.要得到函数 y ? sin(2 x ? A.向右平移 C.向右平移

?
3

) 的图像可将 y ? sin 2 x 的图像是(
B.向左平移 D.向左平移

? ?
6 3

个单位长度 个单位长度

? ?
6 3

6.已知 ?ABC 中, a, b, c 为角 A, B, C 对应边的长, a ? 3, b ? 1, C ? 30? ,则 BC ? CA =( 3 3 A. 4 B.- 3 3 2 C.- 3 3 4 3 3 D. 2

)

7.如下图,某几何体的主视图与左视图都是边长为 1 的正方形,且 其体积为

?
4

.则该几何体的俯视图可以是





8.圆心在直线 y ? x 上,经过原点,且在 x 轴上截得弦长为 2 的圆的方程为(





1第

A. ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2 B. ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2 C. ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2或( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2 D. ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2或( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2 9.已知双曲线 C1 :

x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的离心率为 2,若抛物线 C2 : x 2 ? 2 py ? p ? 0 ? 的焦点到双曲 2 a b


线 C1 的渐近线的距离为 2,则抛物线 C2 的方程为( A. x 2 ?

8 3 y 3

B. x 2 ?

16 3 y 3

C. x ? 8 y
2

D. x ? 16 y
2

10. 奇 函 数

f ? x? 满 足 对 任 意

x?R
)

都 有

f ? x+2 ?=- f ? x? 成 立 , 则

f ? 2008?+f ? 2009?+ f ? 2010?+ f ? 2011 ?= (
A. 0 B. 1 C. 2

D. 4

第 II 卷(共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分.

? x ? y ? 1 ? 0, ? 那么z ? 2 x ? y 的最大值为 11.已知实数 x,y 满足条件 ? y ? 1 ? 0, ? x ? y ? 1 ? 0, ?
12.已知 2 ?

.

2 2 3 3 4 4 a a ? 2 , 3? ? 3 , 4? ? 4 ,? , 若 6 ? ? 6 , ( a, t均为正实数) 类比以 3 3 8 8 5 15 t t
. 开始 .
a ? 2,i ? 1

上等式可推测 a,t 的值,则 a+t =

13.. 执行右面的程序框图,,那么输出的 a 是

i< 2011 ?
14.已知 ?ABC 的重心为 O,过 O 任做一直线分别 交边 AB,AC 于 P,Q 两点,设 AP ? m AB , AQ ? n AC , 则 4m ? 9n 的最小值是______. 15.给出如下四个命题:
? ? ? ?




a? 1 1? a

输出 a 结束 (第 13 题)

a?

1 ?1 a i ?1 i?

y ? bx ? a 对应的直线至少经过其样本数据点 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? , ???, ? xn , yn ? 中的一具体 ①线性回归方程 ?
页 2第

点; ②命题“若 a ? b ,则 2a ? 2b ? 1 ”的否命题为“若 a ? b,则2 ? 2 ? 1 ” ;
a b

③设 ? x ? 表示不大于 x 的最大整数,则对任意实数 x, y 都有 ? x ? y ? ? ? x ? ? ? y ? ; ④等比数列 ?an ? 中,首项 a1 ? 0 ,则数列 ?an ? 是递减数列的充要条件是公比 q ? 1 . 其中真命题的序号是________.(请把真命题的序号都填上) 三、解答题:本大题共 5 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16.(本小题满分 12 分) 设 a =(2cosx,1), b =(cosx, 3 sin2x),f(x)= a · b ,x? R. ?? ⑴ 若 f(x)=0 且 x ? [- , ],求 x 的值. 33 ? ? ⑵ 若函数 g(x)=cos(?x- )+k(?>0, k ? R)与 f(x)的最小正周期相同,且 g(x)的图象过点( ,2),求函数 3 6 g(x)的值域及单调递增区间.

?

?

?

?

17.(本小题满分 12 分) 某中学高三文科班学生参加了数学与地理水平测试, 学校从测试合格的学生中随机抽取 100 人的成绩 进行统计分析.抽取的 100 人的数学与地理的水平测试成绩如下表:

成绩分为优秀、 纵向分别表示地 中数学成绩为良好的共有 20+18+4=42 人. (I)若在该样本中,数学成绩优秀率为 30%,求 a,b 的值;

良好、及格三个等级,横向、 理成绩与数学成绩,例如:表

(II)若样本中 a ? 10, b ? 8 ,求在地理成绩及格的学生中,数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率.



3第

18.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PA⊥平面 ABCD,且 PA=AD,点 F 是棱 PD 的中点, 点 E 在棱 CD 上移动. ⑴ 当点 E 为 CD 的中点时,试判断直线 EF 与平面 PAC 的关系,并说明理由; ⑵ 求证:PE⊥AF. 19.(本小题满分 12 分) (I)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (II)设数列 ?cn ? 对任意正整数 n,均有

P F

A D E B

C

已知等差数列 ?an ? 的首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 0 ,数列 ?bn ? 是等比数列,且 b2 ? a2 , b3 ? a5 , b4 ? a14 .

c c1 c2 ? ? ??? ? n ? an ?1 成立,求 c1 ? c2 ? ??? ? c2014 的值. b1 b2 bn

20. (本题满分 13 分) 已知 m ? 1 ,直线 l : x ? my ?

m2 x2 ? 0 ,椭圆 C : 2 ? y 2 ? 1, F1 , F2 分别为椭圆 C 的左、右焦点. 2 m

(Ⅰ)当直线 l 过右焦点 F2 时,求直线 l 的方程; (Ⅱ)设直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点,?AF1 F2, ?BF1 F2 的重心分别为 G, H . 若原点 O 在以线段 GH 为 直径的圆内,求实数 m 的取值范围.



4第

21. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? px ?
p 2e ? 2 ln x, g ( x ) ? , x x

(Ⅰ)若 p ? 2 ,求曲线 f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 在其定义域内为增函数,求正实数 p 的取值范围; (Ⅲ)若 p 2 ? p ? 0 ,且至少存在一点 x0 ? [1, e] ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求实数 p 的取值范围.



5第

高三数学(文)模拟试题一答案
一、选择题 DBACB 二、填空题 (11)1 BDCDA (13)2 (14)

(12)41

25 3

(15)②④

16.解:(Ⅰ)f(x)= a · b =2cos2x+ 3 sin2x =1+cos2x+ 3 sin2x=2sin(2x+ f(x)=0,?2sin(2x+

?

?

π )+1 6

……………………3 分

π π 1 )+1=0, ?sin(2x+ )=- , …………………4 分 6 6 2 π π π π 5 又? x ? [- , ] ?- ? 2 x ? ? π …………………5 分 3 3 2 6 6 π π π ……………………6 分 ? 2x ? ? ? ?x=- 6 6 6 π (Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=2sin(2x+ )+1, 6 因为 g(x)与 f(x)的最小正周期相同? ? =2, ……………………………7 分 π π π 又 g(x)的图象过点( ,2),?cos(2× - )+k=2,?1+k=2, ? k=1, ………8 分 6 6 3 π ? g(x)=cos(2x- )+1,其值域为[0,2], ………………………9 分 3 π 2k π - π ? 2x- ? 2k π ,k ? Z, ……………………10 分 3 ? k π - π ? x ? k π + π , k ? Z, …………………………11 分 3 6 π π 所以函数的单调增区间为[k π - ,k π + ], k ? Z. ………………………………12 分 3 6 7?9?a ? 0.3 ,得 a ? 14 , 17.解: (Ⅰ)由 …………3 分 100
∵ 7 ? 9 ? a ? 20 ? 18 ? 4 ? 5 ? 6 ? b ? 100, ∴ b ? 17 , ∴ a ? 14 , b ? 17 ; (Ⅱ)由题意知 a ? b ? 31 ,且 a ? 10, b ? 8 , ∴满足条件的 (a, b) 有 (10, 21), (11, 20), (12,19), (13,18), (14,17), (15,16) , …………6 分

(16,15), (17,14), (18,13), (19,12), (20,11), (21,10), (22,9), (23,8) 共 14 组.
且每组出现的可能性相同. 其中数学成绩优秀的人数比及格的人数少的有: …………9 分 …………11 分

(10, 21), (11, 20), (12,19), (13,18), (14,17), (15,16) 共 6 组.



6第

∴数学成绩为优秀的人数比及格的人数少的概率为 18.解:(Ⅰ)当点 E 为 CD 的中点时, EF// 平面 PAC. 理由如下:

6 3 ? . 14 7

…………12 分

……………2 分 …………3 分 ………4 分

? 点 E , F 分别为 CD , PD 的中点,? EF//PC .

? PC ? 平面PAC , EF

? 平面PAC

,? EF// 平面 PAC.
? CD ? PA .

(Ⅱ)? PA ? 平面ABCD , CD ? 平面ABCD , 又? AF
? 平面PAD

ABCD 是矩形,? CD ?

AD

,? PA ? AD ? A ,? CD
P

? 平面PAD

.

, ? AF ? CD .…………6 分
? PA ? AD ,点 F 是 PD 的中点, ? AF ? PD .

…………8 分
A

F

又 CD ? PD

? D

,

? AF ? 平面PDC

. ………………10 分 ………………12 分
B

D
E

? PE ? 平面PDC,

? PE ? AF

.

C

19.解: (Ⅰ)∵ a2 ? 1 ? d , a5 ? 1 ? 4d , a14 ? 1 ? 13d ,且 a2 , a5 , a14 成等比数列, ∴ (1 ? 4d ) 2 ? (1 ? d )(1 ? 13d ) ,解得, d ∴ an ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1.
? 2,

……………………………………2 分

………………………………………4 分 ………………………6 分

n ?1 又∵ b2 ? a2 ? 3 , b3 ? a5 ? 9 , ∴ q ? 3 , b1 ? 1 , bn ? 3 .

(Ⅱ)∵
b1

cn c c c c2 n 1 1 ? ? 2 ?? ?a ann? …? ? ? 1 1, b b b b b 1 1 2 2 n n



∴ c1 ? a ,即 c1 ? b1a2 ? 3 , 2
c c b b b1 1 b2 2 c b n ?1 b n
n ?1

……………………………………………………7 分 ②

n ?1 c ? 又 c1 1??c2 2?? … + ? ? n ?? aan ( n ? 2) ,

① ? ②,得

cn ? an ?1 ? an ? 2 , bn

n ?1 ∴ cn ? 2bn ? 2 ? 3 ( n ? 2) ,∴ cn ? ?

(n ? 1) ?3 ,……………………………10 分 n ?1 ?2 ? 3 (n ? 2)

则 c1 ? c2 ? ? ? c2014 ? 3 ? 2 ? 31 ? 2 ? 32 ? ? ? 2 ? 32014?1

? 3 ? 2 ? (31 ? 32 ? ? ? 32013 ) ? 3 ? 2 ? 3(1 ? 3

2013

)

1? 3

? 32014. ……………………………13 分

20.解: (Ⅰ)因为直线 l : x ? my ?


m2 ? 0 经过 F2 ( m 2 ? 1,0), 2
7第

m2 ,得 m 2 ? 2 ,又因为 m ? 1 ,所以 m ? 2 ,故直线 l 的方程 x ? 2 y ? 1 ? 0 2 ……………………………………………………………………………………………4 分
所以 m 2 ? 1 ?
? m2 x ? my ? ? m2 ? 2 ,消去 得 2 (Ⅱ)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ). 由 ? 2 ?1 ? 0 , x 2 y ? my ? 4 ? x ? y2 ? 1 ? ? m2

m2 m m2 1 ? 1) ? ? m 2 ? 8 ? 0 ,知 m 2 ? 8 ,且有 y1 ? y2 ? ? , y1 ? y2 ? ? .7 分 4 2 8 2 x y x y 由于 F1 ( ?c,0), F2 ( c,0), 可知 G ( 1 , 1 ), H ( 2 , 2 ), ………………………………………8 分 3 3 3 3 ???? ???? 因为原点 O 在以线段 GH 为直径的圆内,所以 OH ? OG ? 0 ,即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,…10 分
则由 ? ? m 2 ? 8( 所以 x1 x2 ? y1 y2 ? (my1 ?

m2 m2 m2 1 )(my2 ? ) ? y1 y2 ? (m 2 ? 1)( ? ) ? 0, 2 2 8 2

解得 m 2 ? 4 (符合 m 2 ? 8 )又因为 m ? 1 ,所以 m 的取值范围是(1,2).…………13 分 21.解: (1)当 p ? 2 时,函数 f ( x ) ? 2 x ?
2 2 2 ? 2 ln x, f (1) ? 2 ? 2 ? 2 ln1 ? 0. f ?( x ) ? 2 ? 2 ? , x x x

…………………………………………………………………………………………2 分 曲线 f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线的斜率为 f ?(1) ? 2 ? 2 ? 2 ? 2. 从而曲线 f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程 为 y ? 0 ? 2( x ? 1), 即 y ? 2 x ? 2. ……………………………………………4 分 (2) f ?( x ) ? p ?

p 2 px 2 ? 2 x ? p ? ? . 令 h( x ) ? px 2 ? 2 x ? p, x2 x x2

要使 f ( x ) 在定义域 (0, ??) 内是增函数,只需 h( x ) ? 0 ………………………………6 分 即 h( x ) ? px 2 ? 2 x ? p ? 0 ? p ? ( 3 ) ? g ( x) ?
2x , 故正实数 p 的取值范围是 [1, ??). ……………8 分 x ?1
2

2e 在 [1, e] 上 是 减 函 数 , ? x ? e 时 , g ( x )min ? 2; x ? 1 时 , g ( x )max ? 2e, 即 x

g ( x ) ? [2, 2e], …………………………………………………………………………………10 分

①当 p ? 0 时,h( x ) ? px 2 ? 2 x ? p, 其图象为开口向下的抛物线, 对称轴 x ?

1 在 y 轴的左侧, 且 h(0) ? 0 , p
2 ? 0, 此时, x

所以 f ( x ) 在 x ? [1, e] 内是减函数.当 p ? 0 时, h( x ) ? ?2 x ,因为 x ? [1, e], 所以 h( x ) ? 0, f ?( x ) ? ?

f ( x ) 在 x ? [1, e] 内 是 减 函 数 . 故 当 p ? 0 时 , f ( x ) 在 [1, e] 上 单 调 递 减 ? f ( x ) max ? f (1) ? 0 ? 2, 不 合 题

意;…………………………………………12 分 ②当 p ? 1 时,由( 2 )知 f ( x ) 在 [1, e] 上是增函数, f (1) ? 0 ? 2, 又 g ( x ) 在 [1, e] 上是减数,故只需
1? 1? ? ? f ( x ) max ? g ( x ) min , x ? [1, e], 而 f ( x ) max ? f ( e) ? p ? e ? ? ? 2 ln e, g ( x ) min ? 2, 即 p ? e ? ? ? 2 ln e ? 2, 解 得 e? e? ? ?



8第

p?

4e ? 4e ? , ?? ? .…………14 分 , 所以实数 p 的取值范围是 ? 2 e ? 1 e2 ? 1 ? ?



9第


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