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2016届高考数学理新课标A版一轮总复习开卷速查 必修部分49 两条直线的位置关系、距离公式


开卷速查(四十九)

两条直线的位置关系、距离公 式

A 级 基础巩固练 1.设 a、b、c 分别是△ABC 中∠A、∠B、∠C 所对边的边长,则 直线 xsinA+ay+c=0 与 bx-ysinB+sinC=0 的位置关系是( A.平行 C.垂直 B.重合 D.相交但不垂直 )

a b 解析:由sinA=sinB,得 bsinA-asinB=0. ∴两直线垂直. 答案:C 1 2. 点(1, cosθ)到直线 xsinθ+ycosθ-1=0 的距离是4(0° ≤θ≤180° ), 那么 θ=( A.150° C.30° ) B.30° 或 150° D.30° 或 210°

2 1 |sinθ+cos θ-1| 2 解析:由题意知4= 2 2 =|sinθ-sin θ|, sin θ+cos θ

又 0≤sinθ≤1, 1? ? 1 ∴sin2θ-sinθ+4=0,?sinθ-2?2=0.
? ?

1 ∴sinθ=2. 又 0° ≤θ≤180° ,∴θ=30° 或 150° . 答案:B 3.已知两条直线 l1:(a-1)x+2y+1=0,l2:x+ay+3=0 平行, 则 a=( )

A.-1 C.0 或-2

B.2 D.-1 或 2

解析:若 a=0,两直线方程分别为-x+2y+1=0 和 x=-3,此 时两直线相交,不平行,所以 a≠0;当 a≠0 时,两直线若平行,则有 a-1 2 1 1 =a≠3,解得 a=-1 或 2. 答案:D 4.已知直线 l1 的方程为 3x+4y-7=0,直线 l2 的方程为 6x+8y +1=0,则直线 l1 与 l2 的距离为( 8 A.5 C.4 ) 3 B.2 D.8

解析:∵直线 l1 的方程为 3x+4y-7=0,直线 l2 的方程为 6x+8y 1 |2+7| 1 3 +1=0,即 3x+4y+2=0,∴直线 l1 与 l2 的距离为 2 2=2. 3 +4 答案:B 1 5.当 0<k<2时,直线 l1:kx-y=k-1 与直线 l2:ky-x=2k 的 交点在( ) B.第二象限 D.第四象限

A.第一象限 C.第三象限

? ?kx-y=k-1, 解析:解方程组? 得两直线的交点坐标为 ?ky-x=2k ? ? k 2k-1? 2k-1 1 k ? ?,因为 0<k< ,所以 , < 0 , >0,故交点在第 2 k-1 k-1 ?k-1 k-1 ?

二象限. 答案:B

6.若直线 l1:y=k(x-4)与直线 l2 关于点(2,1)对称,则直线 l2 经过 定点( ) B.(0,2) D.(4,-2)

A.(0,4) C.(-2,4)

解析:直线 l1:y=k(x-4)经过定点(4,0),其关于点(2,1)对称的点 为(0,2),又直线 l1:y=k(x-4)与直线 l2 关于点(2,1)对称,故直线 l2 经 过定点(0,2). 答案:B 7.若三条直线 y=2x,x+y=3,mx+2y+5=0 相交于同一点, 则 m 的值为__________.
? ? ?y=2x, ?x=1, ? 解析:由 得? ? ? ?x+y=3, ?y=2.

∴点(1,2)满足方程 mx+2y+5=0, 即 m×1+2×2+5=0,∴m=-9. 答案:-9 8.已知 A(3,1)、B(-1,2),若∠ACB 的平分线在 y=x+1 上,则 AC 所在直线方程是__________. 解析:方法一:设点 A 关于直线 y=x+1 对称的点 A′(x0,y0), -1 =-1, ?y x -3 则? y +1 x +3 ? 2 = 2 +1,
0 0 0 0

? ?x0=0, 解得? 即 A′(0,4). ?y0=4, ?

∴直线 A′B 的方程为 2x-y+4=0.

? ? ?2x-y+4=0, ?x=-3, ? 由 得? 即 C(-3,-2). ?y=x+1, ? ? ?y=-2,

∴直线 AC 的方程为 x-2y-1=0. 方法二:设点 B 关于直线 y=x+1 的对称点 B′(x0,y0),则 x0=2 -1=1,y0=-1+1=0,即 B′(1,0) 故 AC 方程为(3-1)(y-0)=(1-0)(x-1), 即 x-2y-1=0. 答案:x-2y-1=0 9.函数 y=a2x-2(a>0,a≠1)的图像恒过点 A,若直线 l:mx+ny -1=0 经过点 A, 则坐标原点 O 到直线 l 的距离的最大值为__________. 解析: 方法一: 由指数函数的性质可得: 函数 y=a2x-2 (a>0, a≠1) 的图像恒过点 A(1,1),而 A∈l, 1 ∴m+n-1=0, 即 m+n=1. 由基本不等式可得 m2+n2≥2(m+n)2 1 =2. O 到直线 l 的距离 d= 1 1 ≤ = 2,故 O 到直线 l 的距离的 2 m2+n2 2

最大值为 2. 方法二:∵直线 l:mx+ny-1=0 经过点 A(1,1), ∴坐标原点 O 到直线 l 的距离的最大值为|OA|= 2. 答案: 2 10.已知直线 l1:x+a2y+1=0 和直线 l2:(a2+1)x-by+3=0(a, b∈R). (1)若 l1∥l2,求 b 的取值范围; (2)若 l1⊥l2,求|ab|的最小值.

解析:(1)因为 l1∥l2,所以-b-(a2+1)a2=0,即 b=-a2(a2+1) 1? 1 ? =-a4-a2=-?a2+2?2+4,
? ?

因为 a2≥0,所以 b≤0. 又因为 a2+1≠3,所以 b≠-6. 故 b 的取值范围是(-∞,-6)∪(-6,0]. (2)因为 l1⊥l2,所以(a2+1)-a2b=0, 1 1 显然 a≠0,所以 ab=a+a,|ab|=|a+a|≥2, 当且仅当 a=± 1 时等号成立,因此|ab|的最小值为 2. B级 能力提升练

11.设两条直线的方程分别为 x+y+a=0 和 x+y+b=0,已知 a, 1 b 是关于 x 的方程 x2+x+c=0 的两个实数根,且 0≤c≤8,则这两条 直线之间的距离的最大值和最小值分别为( 2 1 A. 4 ,2 1 C. 2,2 )

2 B. 2, 2 2 1 D. 2 ,2

? 2 ? |a-b| 解析: ∵d= , a+b=-1, ab=c, 又|a-b|= 1-4c∈? ,1?, ? 2 ? 2

2 1 从而 dmax= 2 ,dmin=2. 答案:D 12.已知 0<k<4,直线 l1:kx-2y-2k+8=0 和直线 l2:2x+k2y -4k2-4=0 与两坐标轴围成一个四边形,则使得这个四边形面积最小 的 k 值为__________.

解析:由题意知直线 l1,l2 恒过定点 P(2,4),直线 l1 的纵截距为 4 -k,直线 l2 的横截距为 2k2+2,如图,所以四边形的面积 S=2k2×2 1 1 +(4-k+4)×2×2=4k2-k+8,故面积最小时,k=8. 1 答案:8 13.已知点 P(2,-1). (1)求过 P 点且与原点距离为 2 的直线 l 的方程; (2)求过 P 点且与原点距离最大的直线 l 的方程,并求出最大距离; (3)是否存在过 P 点且与原点距离为 6 的直线?若存在, 求出方程; 若不存在,请说明理由. 解析: (1)过 P 点的直线 l 与原点距离为 2, 而 P 点坐标为(2, -1), 可见,过 P(2,-1)垂直于 x 轴的直线满足条件. 此时 l 的斜率不存在,其方程为 x=2. 若斜率存在,设 l 的方程为 y+1=k(x-2), 即 kx-y-2k-1=0. |-2k-1| 3 由已知,得 = 2 ,解之得 k = 4. k2+1 此时 l 的方程为 3x-4y-10=0. 综上,可得直线 l 的方程为 x=2 或 3x-4y-10=0. (2)作图可证过 P 点与原点 O 距离最大的直线是过 P 点且与 PO 垂 直的直线,由 l⊥OP,得 klkOP=-1.

1 所以 kl=-k =2.
OP

由直线方程的点斜式得 y+1=2(x-2), 即 2x-y-5=0, 即直线 2x-y-5=0 是过 P 点且与原点 O 距离最大的直线,最大 |-5| 距离为 = 5. 5 (3)由(2)可知,过 P 点不存在到原点距离超过 5的直线,因此不存 在过 P 点且与原点距离为 6 的直线. 14. (1)在直线 l: 3x-y-1=0 上求一点 P, 使得 P 到 A(4,1)和 B(0,4) 的距离之差最大; (2)在直线 l:3x-y-1=0 上求一点 Q,使得 Q 到 A(4,1)和 C(3,4) 的距离之和最小.

图1 解析:(1)如图 1,设点 B 关于 l 的对称点 B′的坐标为(a,b),直 b-4 线 l 的斜率为 k1,则 k1· kBB′=-1.即 3· a =-1. ∴a+3b-12=0.①
?a b+4? ?,且在直线 l 上, 又由于线段 BB′的中点坐标为? , 2 ? ?2

a b+4 ∴3×2- 2 -1=0.即 3a-b-6=0.② 解①②得 a=3,b=3,∴B′(3,3). 于是 AB′的方程为 y-1 x-4 = ,即 2x+y-9=0. 3-1 3-4

?3x-y-1=0, ?x=2, ? ? 解? 得? ?2x+y-9=0, ?y=5, ? ?

即 l 与 AB′的交点坐标为 P(2,5).

图2
?3 24? (2)如图 2, 设 C 关于 l 的对称点为 C′, 求出 C′的坐标为?5, 5 ?. ? ?

∴AC′所在直线的方程为 19x+17y-93=0,AC′和 l 交点坐标
?11 26? ?11 26? 为? 7 , 7 ?,故 Q 点坐标为? 7 , 7 ?. ? ? ? ?


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