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2010学年度第一学期上海市北郊高级中学高一数学期末检测2


学年度第一学期上海市北郊高级中学 2010 学年度第一学期上海市北郊高级中学 高一数学期末复习——自我检测( ——自我检测 高一数学期末复习——自我检测(2)
班级 ________ 姓名 ___________ 学号 ______ 一、填空题( 4′ × 10 )本大题共有 10 小题,只要求直接填写结果,每个空格填对得 4 分, 否则一律不给分. ). 1.命题: “若 x + y = 5 ,则 x = 1, y = 4 ”是________命题(填“真”或“假” 2. A = x x + 1 > 0 ,B = y ( y ? 2)( y + 3) < 0 , A ∩ B = 设 则

{

}

{

}

.

9? x 的定义域是____ ____. x 4.设 a > 0 ,且 a ≠ 1 ,则函数 y = a x +1 的图像必过的定点坐标是
3.函数 f ( x ) = 5.设函数 f ( x ) = x ? 1 ? x ,则 f ? f ?

.

? ? 1 ?? . ?? = ? ? 2 ?? 6.设奇函数 y = f ( x) , x ∈ [ ?2, a ] ,满足 f (?2) = 11 ,则 f ( a ) = _______. 1 7.函数 y = 2 x + 的值域为 . x ? 3x ? 8. 已知集合 A = ? x < 1? ,则 A ∩ Z = .( ? 表示整数集) ? x?3 ?
9.给出下列命题:① 3.14 ∈ Q ; ② ④ (1, 2) ∈ y y = x + 1 ;⑤ 其中所有正确命题的序号是

{

}

{x | x

2

+ 1 = 0, x ∈ R} ? {1} .
.

{0} = ? ;

③ a ∈ {a, b};

10. Rt△ ABC 如图 1 所示,直角边 AB = 3 , AC = 4 . D 点是斜边 BC 上的动点, DE ⊥ AB 交于点 E , DF ⊥ AC 交于点 F .设 AE = x , 四边形 FDEA 的面积为 y , y 关 求 于 x 的函数 f ( x ) = 。

B

E

D

二、选择题( 4′ × 6 )本大题共有 6 小题,每小题有且仅 图1 有一个正确的选项,每题选对得 4 分,选错或不选均不得 分. 11. x < ?2 ”是“ x ≤ 0 ”的_________条件 “ ( (A)充分非必要 (B)必要非充分 (C)充要 (D)既非充分又非必要 12.下列关于集合的说法中,正确的是 (
2

A

F

C

) )

(C)集合 {1, a, b, c} 和集合 {c, b, a,1} 相等 (D)空集是任何集合的真子集 13.下列函数中,奇函数是 (A) y = x 2 + x (B) y = x 3 , x ≠ 0 (C) y =


(A)绝对值很小的数的全体形成一个集合 (B)方程 x( x ? 1) = 0 的解集是 {1, 0,1} (



x+

1 x

(D) y = 2 x, x ∈ (? 2,+∞ )

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14.若函数 y = f ( x ) 存在反函数,则方程 f ( x ) = m ( m 为常数)



) ) )

(A)有且只有一个实根 (B)至少有一个实根 (C)至多有一个实根 (D)没有实数根. (A) m ≤ 3 (B) m ≥ 3 (C) m ≤ ?3 (D) m ≥ ?3 . 16.已知 a, b, c ∈ R ,下列给出四个命题,其中假命题是 (A)若 a > b > c > 0 ,则 ac > bc (C)若 a > b ,则 a > b
2 2

15.函数 y = x 2 + 2( m + 1) x + 3 在区间 (? ∞,2] 上是减函数,则 m 的取值范围是( (
2

1 ≥3 a +2 (D)若 a ≥ 0, b ≥ 0 ,则 a + b ≥ 2 ab .
(B)若 a ∈ R ,则 a + 2 +
2

三、解答题( 6′ + 6′ + 6′ + 8′ + 10′ )本大题共有 5 题,解答下列各题必须写出必要的步骤. 数.

17.(本题满分 6 分) 用函数单调性的定义证明:函数 y = x ? 1 在区间 ( ?∞, 0 ) 上为减函

18. (本题满分 6 分)求函数 y = x 2 ? 2 x 在区间 [ ?1,5] 上的最大值和最小值.

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19. (本题满分 6 分)解不等式: x ? 2 > 2 ? x .

20. (本题满分 8 分.第 1 小题 3 分,第 2 小题 5 分) 设定义域为 R 的函数 f ( x) = ?

? x + 1 , x ≤ 0, . ( x ? 1) 2 , x > 0 ?

(1) 在平面直角坐标系内作出该函数的图像; 使得关于 x 的方程 f 2 ( x) + b ? f ( x) + c = 0 有 7 个不同的实 (2) 试找出一组 b 和 c 的值, 根.请说明你的理由.

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21.(本题满分 10 分,其中第 1 小题 3 分,第 2 小题 3 分,第 3 小题 4 分) 某商场在促销期间规定:商场内所有商品按标价的 80%出售;同时,当顾客在该商场 内消费满一定金额后,按如下方案获得相应金额的奖券: 消 费 金 额 …… ( 388,588] ( 588,888] ( 888,1188] [188,388] (元) 的范围 获得奖券的 28 58 88 128 …… 金额(元) 根据上述促销方法,顾客在该商场购物可以获得双重优惠.例如:购买标价为 400 元 的商品,则消费金额为 320 元,然后还能获得对应的奖券金额为 28 元. 于是,该顾客获 得 的 优 惠 额 为 : 400 × 0.2 + 28 = 108 元 . 设 购 买 商 品 得 到 的 优 惠 率 =

购买商品获得的优惠额 .试问: 商品的标价

(1) 购买一件标价为 1000 元的商品,顾客得到的优惠率是多少?

(2) 当商品的标价为 [100, ] 元时, 600 试写出顾客得到的优惠率 y 关于标价 x 元之间的

函数关系式; (3) 当顾客购买标价不超过 600 元的商品时,该顾客是否可以得到超过 35% 的优惠 率?若可以,请举一例;若不可以,试说明你的理由.

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参考答案: 一、填空题: 1.假命题 7.

2. ( ?1, 2 )

3.

? ? 2 2, +∞ 4 2 10. f ( x ) = ? x + 4 x, x ∈ ( 0,3) 3

)

4. ( ?1,1) ; ( ?∞, 0 ) ∪ ( 0,9] 8. {?1, 0,1, 2} (注:定义域取闭区间不扣分) 14. C 15.C 16.B

5. 1 9. ①

6. -11 ③ ⑤

二、选择题: 11.A 12.C 13.B 三、简答题: 17.证:对任意的 x1 < x2 < 0 ,有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) = x1 ? 1 ? x2 ? 1 = (1 ? x1 ) ? (1 ? x2 )
= x2 ? x1 > 0

所以,函数 y = x ? 1 在 ( ?∞, 0 ) 上为减函数. 18. 解:因为 y = x 2 ? 2 x = ( x ? 1) ? 1
2

而 x ∈ [ ?1,5] ,故由对称性可知当 x = 5 时,取到函数的最大值 ymax = 15 . 19. 解法一:由不等式 x ? 2 > 2 ? x ,可知 (1) 当 x ≥ 2 时,原不等式即为 x ? 2 > 2 ? x ? x > 2 ; (2) 当 x < 2 时,原不等式即为 2 ? x < 2 ? x ? 不等式无解. 综上所述:不等式的解为 x > 2 . 解法二:设 x ? 2 = t ? t > ?t 即 t > 0 ,亦即 x ? 2 > 0 ,故不等式的解为 x > 2 . 四、解答题: 20. 解:(1)见下图.

因为 1 ∈ [ ?1,5] ,所以当 x = 1 时,函数取得最小值 ymin = ?1 ;

3 1 , c = 等. 2 2 2 设 f ( x ) = t , t + bt + c = 0 ,由图像可得以上有 关于 t 的方程必须有一解为 1, 另一解在区间 (0,1) 中,
(2)(开放题)如 b = ? 个解. 其中, f ( x ) = 1 有 3 个解, f ( x ) = a ∈ ( 0,1) 有 四个解. 所 以 可 令 t1 = 1, t 2 = 才会使得关于 x 的方程 f 2 ( x) + b ? f ( x ) + c = 0 有 7

1 , 即 可 得 方 程 2

x2 ?

3 1 x+ = 0. 2 2
共 6 页 第5 页

21. 解: (1)由题意,标价为 1000 元的商品消费金额为 1000 × 0.8 = 800 元, 故优惠额为 1000 × 0.2 + 88 = 288 元,则优惠率为

288 = 28.8% . 1000

由此可得,当商品的标价为 [100, ] 元时,顾客得到的优惠率 y 关于标价 x 元之 600 间的函数关系式为

(2)由题意,当消费金额为 188 元时,其标价为 235 元; 当消费金额为 388 元时,其标价为 485 元; 当消费金额为 588 元时,其标价为 735 元.

0.2 x ? = 0.2 , x ∈ [100, 235 ) ? x ? ? 0.2 x + 28 28 y=? = + 0.2 , x ∈ [ 235, 485] x x ? ? 0.2 x + 58 58 = + 0.2 , x ∈ ( 485, 600 ] ? x x ? (3)当 x ∈ ( 0, 235 ) 时,优惠率即为 20% ;
当 x ∈ [ 235, 485] 时,优惠率为: y = 0.2 + 此时的最大优惠率为 0.2 +

28 , x

28 ≈ 0.319 < 35% ; 235 58 当 x ∈ ( 485, 600] 时,优惠率为: y = 0.2 + , x 58 此时的优惠率 y < 0.2 + ≈ 0.32 < 35% ; 485
综上, 当顾客购买不超过 600 元商品时,可得到的优惠率不会超过 35%.

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