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数列专题总复习知识点整理与经典例题


数列专题复习
一、等差数列的有关概念:
1、等差数列的判断方法:定义法 an?1 ? an ? d (d为常数) 或 an?1 ? an ? an ? an?1 (n ? 2) 。 如设 {an } 是等差数列, 求证: 以 bn= 等差数列。 2、等差数列的通项: an ? a1 ? (n ?1)d 或 an ? am ? (n ? m)d 。 如(1)等差

数列 {an } 中, a10 ? 30 , a20 ? 50 ,则通项 an ? ;

a1 ? a 2 ? ? ? a n n ? N * 为通项公式的数列 {bn } 为 n

(2)首项为-24 的等差数列,从第 10 项起开始为正数,则公差的取值范围是______

n(a1 ? an ) n(n ? 1) d。 , S n ? na1 ? 2 2 3 15 1 * 如(1)数列 {an } 中, an ? an ?1 ? (n ? 2, n ? N ) , an ? ,前 n 项和 S n ? ? , 2 2 2
3、等差数列的前 n 和: S n ? 则 a1 = _ , n =_. (2)已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 12n ? n2 ,求数列 {| an |} 的前 n 项和 Tn

4、等差中项:若 a, A, b 成等差数列,则 A 叫做 a 与 b 的等差中项,且 A ?

a?b 。 2

提醒: (1)等差数列的通项公式及前 n 和公式中,涉及到 5 个元素: a1 、 d 、 n 、 an 及

Sn ,其中 a1 、 d 称作为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个,便可求出其余 2 个,
即知 3 求 2。 (2) 为减少运算量,要注意设元的技巧,如奇数个数成等差,可设为?,

a ? 2d , a ? d , a, a ? d , a ? 2d ? ( 公 差 为 d ); 偶 数 个 数 成 等 差 , 可 设 为 ? , a ? 3d , a ? d , a ? d , a ? 3d ,?(公差为 2 d )
5、等差数列的性质: (1)当公差 d ? 0 时,等差数列的通项公式 an ? a1 ? (n ?1)d ? dn ? a1 ? d 是关于 n 的一 次函数,且斜率为公差 d ;前 n 和 S n ? na1 ?

n(n ? 1) d d d ? n 2 ? (a1 ? )n 是关于 n 的二次 2 2 2

函数且常数项为 0. (2)若公差 d ? 0 ,则为递增等差数列,若公差 d ? 0 ,则为递减等差数列,若公差 d ? 0 ,则为常数列。

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( 3 )当 m ? n ? p ? q 时 , 则有 am ? an ? a p ? aq ,特别地,当 m ? n ? 2 p 时,则有

am ? an ? 2ap .
如(1)等差数列 {an } 中, Sn ? 18, an ? an?1 ? an?2 ? 3, S3 ? 1 ,则 n =____; (4) 若 {an } 、 {bn } 是等差数列,则 {kan } 、 {kan ? pbn } ( k 、 p 是非零常数 ) 、
a ?也成等差数列, 而 {a n } 成等比数列; 若 {an } Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n , {ap?nq }( p, q ? N * ) 、

是等比数列,且 an ? 0 ,则 {lg an } 是等差数列. 如等差数列的前 n 项和为 25,前 2n 项和为 100,则它的前 3n 和为 。

(5)在等差数列 {an } 中,当项数为偶数 2 n 时, S偶-S奇 ? nd ;项数为奇数 2n ? 1 时, ; S 奇:S偶 ? n : ?n - 1?。 S奇 ? S偶 ? a中 , S2n?1 ? (2n ?1) ? a中 (这里 a中 即 an ) 如(1)在等差数列中,S11=22,则 a6 =______; (2)项数为奇数的等差数列 {an } 中,奇数项和为 80,偶数项和为 75,求此数列的 中间项与项数. (6)若 等 差 数 列 {an } 、 {bn } 的 前 n 和 分 别 为 An 、 Bn , 且

An ? f (n) , 则 Bn

an (2n ? 1)an A2 n ?1 ? ? ? f (2n ? 1) . bn (2n ? 1)bn B2 n ?1
如 设 { an } 与 { bn } 是 两 个 等 差 数 列 , 它 们 的 前 n 项 和 分 别 为 S n 和 Tn , 若

a Sn 3n ? 1 ,那么 n ? ___________ ? bn Tn 4n ? 3
(7)“首正”的递减等差数列中,前 n 项和的最大值是所有非负项之和; “首负”的递增 等差数列中,前 n 项和的最小值是所有非正项之和。法一:由不等式组
?an ? 0 ? ?an ? 0 ? 确定出前多少项为非负(或非正) ;法二:因等差数列前 n 项是关于 ? 或? ? ? ? ? ?an ?1 ? 0? ?an ?1 ? 0 ?

n 的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要注意数列的特殊性 n ? N * 。上述两种
方法是运用了哪种数学思想?(函数思想) ,由此你能求一般数列中的最大或最小项吗? 如(1)等差数列 {an } 中, a1 ? 25 , S9 ? S17 ,问此数列前多少项和最大?并求此最大 值。 ;

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(2)若 {an } 是等差数列,首项 a1 ? 0, a2003 ? a2004 ? 0 , a2003 ? a2004 ? 0 ,则使前 n 项和

Sn ? 0 成立的最大正整数 n 是
(3) 在等差数列 ?an ? 中,a10 ? 0, a11 ? 0 , 且 a1 则 ( 1 ?| a 1 0 | ,S n 是其前 n 项和, A、 S1 , S2 ?S10 都小于 0, S11 , S12 ? 都大于 0 B、 S1 , S2 ?S19 都小于 0, S20 , S21 ? 都大于 0 C、 S1 , S2 ? S5 都小于 0, S6 , S7 ? 都大于 0 D、 S1 , S2 ?S20 都小于 0, S21 , S22 ? 都大于 0 (8)如果两等差数列有公共项,那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列, 且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意:公共项仅是公共的项,其项 数不一定相同,即研究 an ? bm . )

二、等比数列的有关概念:
1、等比数列的判断方法:定义法

an ?1 ? q(q为常数), 其 中 q ? 0 ,an ? 0或 an

an ?1 a ? n (n ? 2) 。 an an ?1
如 (1) 一个等比数列{ an }共有 2n ? 1 项, 奇数项之积为 100, 偶数项之积为 120, 则 an ?1 为____; (2)数列 {an } 中, Sn =4 an ?1 +1 ( n ? 2 )且 a1 =1,若 bn ? an?1 ? 2an ,求证:数列 { bn }是等比数列。

2、等比数列的通项: an ? a1q n?1 或 an ? amqn?m 。 如等比数列 {an } 中, a1 ? an ? 66 , a2 an?1 ? 128 ,前 n 项和 Sn =126,求 n 和 q .(答:

n ? 6,q ?

1 或 2) 2

3、 等比数列的前 n 和: 当 q ? 1 时,Sn ? na1 ; 当 q ? 1 时,Sn ? 如(1)等比数列中, q =2,S99=77,求 a3 ? a6 ? ? ? a99

a1 (1 ? q n ) a1 ? an q ? 。 1? q 1? q

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(2)

? (? Cnk ) 的值为__________;
n ?1 k ?0

10

n

特别提醒:等比数列前 n 项和公式有两种形式,为此在求等比数列前 n 项和时,首先要 判断公比 q 是否为 1,再由 q 的情况选择求和公式的形式,当不能判断公比 q 是否为 1 时, 要对 q 分 q ? 1 和 q ? 1 两种情形讨论求解。 4、等比中项:若 a, A, b 成等比数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等比中项。提醒:不是任何 两数都有等比中项,只有同号两数才存在等比中项,且有两个 ? ab 。如已知两个正数

a, b(a ? b) 的等差中项为 A,等比中项为 B,则 A 与 B 的大小关系为______
提醒: (1)等比数列的通项公式及前 n 和公式中,涉及到 5 个元素: a1 、 q 、 n 、 an 及

Sn ,其中 a1 、 q 称作为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个,便可求出其余 2 个,
即知 3 求 2; (2) 为减少运算量,要注意设元的技巧,如奇数个数成等比,可设为?,

a a a a 3 , , a, aq, aq 2 ?(公比为 q ) ;但偶数个数成等比时,不能设为? 3 , , aq, aq ,?, 2 q q q q
因公比不一定为正数,只有公比为正时才可如此设,且公比为 q 。 如有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个成等比数列,且第一个数与第四个数的 和是 16,第二个数与第三个数的和为 12,求此四个数。 5.等比数列的性质: ( 1 ) 当 m ? n ? p ? q时,则有 am ?an ? a p?aq ,特别地,当 m ? n ? 2 p 时,则 有
2

am ? an ? ap 2 .
如 (1)在等比数列 {an } 中, a3 ? a8 ? 124, a4a7 ? ?512 ,公比 q 是整数,则 a10 =___ (2)各项均为正数的等比数列 {an } 中,若 a5 ? a6 ? 9 ,则

log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? log3 a10 ?


*

(2) 若 {an } 是等比数列,则 {| an |} 、 {a p?nq }( p, q ? N ) 、 {kan } 成等比数列;若

a { n } 成等比数列; 若 {an } 是等比数列, 则 {anbn } 、 且公比 q ? ?1 , {an }、 {bn } 成等比数列, bn
则 数 列 Sn , S2n ? Sn , S 3n ? S 2n , ? 也 是 等 比 数 列 。 当 q ? ?1 , 且 n 为 偶 数 时 , 数 列

Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n ,?是常数数列 0,它不是等比数列.
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如(1)已知 a ? 0 且 a ? 1 ,设数列 {xn } 满足 log a xn?1 ? 1 ? log a xn (n ? N *) ,且

x1 ? x2 ? ? ? x100 ? 100 ,则 x101 ? x102 ? ? ? x200 ?

. ;

(2) 在等比数列 {an } 中,S n 为其前 n 项和, 若 S30 ? 13S10 , S10 ? S30 ? 140 , 则 S 20 的值为______ (3)若 a1 ? 0, q ? 1 ,则 {an } 为递增数列;若 a1 ? 0, q ? 1 , 则 {an } 为递减数列;若 则 {an } 为递减数列; 若 a1 ? 0,0 ? q ? 1 , 则 {an } 为递增数列; 若q ? 0, a1 ? 0,0 ? q ? 1 , 则 {an } 为摆动数列;若 q ? 1 ,则 {an } 为常数列. (4) 当 q ? 1 时, S n ?

? a1 n a q ? 1 ? aqn ? b ,这里 a ? b ? 0 ,但 a ? 0, b ? 0 , 1? q 1? q

是等比数列前 n 项和公式的一个特征, 据此很容易根据 Sn , 判断数列 {an } 是否为等比数列。 如若 {an } 是等比数列,且 Sn ? 3 n ? r ,则 r =

(5) Sm?n ? Sm ? qm Sn ? Sn ? qn Sm .如设等比数列 {an } 的公比为 q ,前 n 项和为 Sn ,若

Sn?1 , Sn , Sn?2 成等差数列,则 q 的值为_____
(6) 在等比数列 {an } 中,当项数为偶数 2 n 时, S偶 ? qS奇 ;项数为奇数 2n ? 1 时,

S奇 ? a1 ? qS偶 .
(7)如果数列 {an } 既成等差数列又成等比数列,那么数列 {an } 是非零常数数列,故常数 数列 {an } 仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。 如 设数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ( n ? N ) , 关于数列 ? an ? 有下列三个命题:①若

a n ? a n?1

(n ? N) ,则 ? an ? 既是等差数列又是等比数列;②若 S n ? a n 2 ? b n ? a 、 b?R ? ,
n

则 ? an ? 是等差数列;③若 S n ? 1 ? ? ? 1 ? ,则 ? an ? 是等比数列。这些命题中,真命题的序号 是

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三、数列通项公式的求法
一、公式法 ① an ? ?

( ?S 1 n ? 1) ; ?S n ? S n ?1 (n ? 2)

② ?an ? 等差、等比数列 ?an ? 公式. 例 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3? 2n , a1 ? 2 ,求数列 {an } 的通项公式。 评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? 2an ? 3? 2n 转化为

an ?1 an 3 ? ? ,说明数列 2n ?1 2n 2 a a 3 { n } 是等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出 n ? 1 ? (n ? 1) ,进而求出数列 n n 2 2 2

{an } 的通项公式。
二、累加法 例 已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2n ? 1 ,a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? an ? 2n ? 1 转化为 an?1 ? an ? 2n ? 1 ,进而求 出 (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 ,即得数列 {an } 的通项公式。 例 已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1 ,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。 评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1转化为 an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1 , 进而求出 an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 , 即得数列 {an } 的通 项公式。 三、累乘法 例 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2(n ? 1)5 ? an,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。
n

评注: 本题解题的关键是把递推关系 an?1 ? 2(n ? 1)5 ? an 转化为
n

an ?1 ? 2(n ? 1)5n , 进而求 an



an an?1 a a ? ?? ? 3 ? 2 ? a1 ,即得数列 {an } 的通项公式。 an?1 an?2 a2 a1

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四、取倒数法 例 已知数列{ an }中,其中 a1 ? 1, ,且当 n≥2 时, a n ?

a n ?1 ,求通项公式 an 。 2a n ?1 ? 1



将 an ?

a n ?1 1 1 1 两边取倒数得: ? ? 2 ,这说明 { } 是一个等差数列, a n a n ?1 an 2a n ?1 ? 1

首项是

1 1 1 . ? 1 ,公差为 2,所以 ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1,即 a n ? 2n ? 1 a1 an

五、待定系数法 例 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3? 5n,a1 ? 6 ,求数列 ?an ? 的通项公式。 评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? 2an ? 3? 5n 转化为 an?1 ? 5n?1 ? 2(an ? 5n ) , 从而可知数列 {an ? 5n }是等比数列,进而求出数列 {an ? 5n } 的通项公式,最后再求出数列

{an } 的通项公式。
例 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 3an ? 5 ? 2n ? 4,a1 ? 1,求数列 {an } 的通项公式。 评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? 3an ? 5 ? 2n ? 4 转化为

an?1 ? 5 ? 2n?1 ? 2 ? 3(an ? 5 ? 2n ? 2) ,从而可知数列 {an ? 5 ? 2n ? 2} 是等比数列,进而求
出数列 {an ? 5 ? 2n ? 2} 的通项公式,最后再求数列 {an } 的通项公式。 六、对数变换法
5 例 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2 ? 3n ? an , a1 ? 7 ,求数列 {an } 的通项公式。

5 评注:本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式 an?1 ? 2 ? 3n ? an 转化为

lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 (n ? 1) ? ? ? 5(lg an ? n? ? ) ,从而可知数列 4 16 4 4 16 4 lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 {lg an ? n? ? } 是等比数列,进而求出数列 {lg an ? n? ? } 的通项 4 16 4 4 16 4 lg an ?1 ?
公式,最后再求出数列 {an } 的通项公式。

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七、迭代法
3( n ?1)2 例 已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ,a1 ? 5 ,求数列 {an } 的通项公式。
n

3( n ?1)2 评注: 本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。 即先将等式 an?1 ? an

n

两边取常用对数得 lg an?1 ? 3(n ? 1) ? 2n ? lg an , 即

lg an?1 ? 3(n ? 1)2n ,再由累乘法可推知 lg an
n ( n?1) 2

lg an ?

n?1 lg an lg an?1 lg a3 lg a2 ? ?? ? ? ? lg a1 ? lg 53 ?n!?2 lg an?1 lg an?2 lg a2 lg a1

,从而 an ? 5

3n?1 ?n!?2

n ( n ?1) 2



八、数学归纳法 例 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? an ?

8(n ? 1) 8 ,a1 ? ,求数列 {an } 的通项公式。 2 2 (2n ? 1) (2n ? 3) 9

解:由 an ?1 ? an ?

8 8(n ? 1) 及 a1 ? ,得。 。 。 。 。 。 2 2 9 (2n ? 1) (2n ? 3)

由此可猜测 an ?

(2n ? 1)2 ? 1 ,往下用数学归纳法证明这个结论。 (2n ? 1)2 (2 ?1 ? 1)2 ? 1 8 ? ,所以等式成立。 (2 ?1 ? 1)2 9 (2k ? 1)2 ? 1 ,则当 n ? k ? 1 时, (2k ? 1)2

(1)当 n ? 1 时, a1 ?

(2)假设当 n ? k 时等式成立,即 ak ?

ak ?1 ? ak ?

8(k ? 1) 。 。 。 。 。 。 (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2

由此可知,当 n ? k ? 1 时等式也成立。 根据(1) , (2)可知,等式对任何 n ? N 都成立。
*

九、换元法 例 已知数列 {an } 满足 an ?1 ?

1 (1 ? 4an ? 1 ? 24an ),a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 16

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解:令 bn ? 1 ? 24an ,则 an ? 故 an ?1 ?

1 2 (bn ? 1) 24

1 2 1 2 2 (bn ?1 ? 1) ,代入 an ?1 ? (1 ? 4an ? 1 ? 24an ) 得。 。 。 。 。 。即 4bn ?1 ? (bn ? 3) 24 16 1 3 bn ? , 2 2

因为 bn ? 1 ? 24an ? 0 ,故 bn?1 ? 1 ? 24an?1 ? 0 则 2bn?1 ? bn ? 3 ,即 bn ?1 ? 可化为 bn ?1 ? 3 ?

1 (bn ? 3) , 2
1 为公比的等比数 2

所以 {bn ? 3} 是以 b1 ? 3 ? 1 ? 24a1 ? 3 ? 1 ? 24 ?1 ? 3 ? 2 为首项,以 列,因此 bn ? 3 ? 2( )

1 2

n ?1

1 1 1 ? ( ) n ?2 ,则 bn ? ( ) n ? 2 ? 3 ,即 1 ? 24an ? ( ) n ? 2 ? 3 ,得 2 2 2

an ?

2 1 n 1 n 1 ( ) ?( ) ? 。 3 4 2 3

十、构造等差、等比数列法 ① an?1 ? pan ? q ; ② an?1 ? pan ? qn ; ③ an?1 ? pan ? f (n) ; ④ an?2 ? p ? an?1 ? q ? an . 例 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 3 ,求数列 ?an ? 的通项公式. 【解析】? an?1 ? 3 ? 2(an ? 3)

? an ? 3 ? 4 ? 2n?1 ? an ? 2n?1 ? 3.

【反思归纳】递推关系形如“ an?1 ? pan ? q ” 适用于待定系数法或特征根法: ①令 an?1 ? ? ? p(an ? ? ) ; ② 在 an?1 ? pan ? q 中令 a n ?1 ? a n ? x ? x ?

q ,? an?1 ? x ? p(an ? x) ; 1? p

③由 an?1 ? pan ? q 得 an ? pan?1 ? q ,? an?1 ? an ? p(an ? an?1 ) . 例 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 3n ,求数列 ?an ? 的通项公式. 【解析】? an?1 ? 2an ? 3n ,?

a n ?1 a a 3 ? nn ? ( ) n ,令 nn ? bn n ?1 2 2 2 2 ?1 3 ? bn ? (bn ? bn?1 ) ? (bn?1 ? bn?2 ) ? ? ? (b2 ? b1 ) ? b1 ? 2 ? ( ) n ? 2 2

? an ? 3n ? 2n

【反思归纳】递推关系形如“ an?1 ? pan ? qn ”通过适当变形可转化为: “ an?1 ? pan ? q ”或“ an?1 ? an ? f (n) n 求解.

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十一、不动点法 例 已知数列 {an } 满足 an ?1 ?

7an ? 2 ,a1 ? 2 ,求数列 {an } 的通项公式。 2an ? 3

解:令 x ?

7x ? 2 3x ? 1 2 ,得 2 x ? 4 x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 是函数 f ( x ) ? 的不动点。 2x ? 3 4x ? 7

因为 an ?1 ? 1 ?

7an ? 2 5a ? 5 ,所以 ?1 ? n 2an ? 3 2an ? 3

an ?

2 1 n 1 n 1 ( ) ?( ) ? 。 3 4 2 3

评注:本题解题的关键是通过将 1 ? 24an 的换元为 bn ,使得所给递推关系式转化

bn ?1 ?

1 3 bn ? 形式, 从而可知数列 {bn ? 3} 为等比数列, 进而求出数列 {bn ? 3} 的通项公式, 2 2

最后再求出数列 {an } 的通项公式。

四、数列求和的基本方法和技巧
一、利用常用求和公式求和 1、 等差数列求和公式: S n ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

(q ? 1) ? na1 ? n a ? a q a ( 1 ? q ) 2、等比数列求和公式: S n ? ? 1 n ? 1 (q ? 1) ? 1? q ? 1? q
前 n 个正整数的和
1? 2 ? 3 ??? n ? n(n ? 1) 2

n(n ? 1)( 2n ? 1) 6 n(n ? 1) 2 ] 前 n 个正整数的立方和 13 ? 2 3 ? 33 ? ? ? n 3 ? [ 2 公式法求和注意事项 (1)弄准求和项数 n 的值;

前 n 个正整数的平方和

12 ? 2 2 ? 3 2 ? ? ? n 2 ?

(2)等比数列公比 q 未知时,运用前 n 项和公式要分类。
例 已知 log3 x ?

?1 2 3 n ,求 x ? x ? x ? ? ? ? ? x ? ? ? ? 的前 n 项和. log2 3 Sn 的最大值. (n ? 32) S n ?1

例 设 Sn=1+2+3+…+n,n∈N*,求 f (n) ?

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∴ f ( n) ?

1 1 1 Sn ? = = = 64 8 2 50 (n ? 32) S n ?1 n ? 34 ? ( n? ) ? 50 n n
1 8 ,即 n=8 时, f (n) max ? 50 8

∴ 当

n?

二、错位相减法求和 这种方法主要用于求数列{an· bn}的前 n 项和,其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比

数列. 求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比

q;

然后再将得到的新和式和原和式相减,转化为同倍数的等比数列求和。 1 n ?1 例:在数列 {an } 中, a1 ? 1, an ?1 ? (1 ? ) an ? n n 2 a (I)设 bn ? n ,求数列 {bn } 的通项公式 (II)求数列 {an } 的前 n 项和 Sn n a a 1 1 分析: (I)由已知有 n ?1 ? n ? n ? bn ?1 ? bn ? n n ?1 n 2 2 1 * 利用累差迭加即可求出数列 {bn } 的通项公式: bn ? 2 ? n ?1 ( n ? N ) 2
(II)由(I)知 an ? 2n ?
n n n n n n k k , = (2 k ? ) ? (2 k ) ? S ? ? ? n ? n ?1 k ?1 k ?1 2 2 k ?1 k ?1 k ?1 2



? (2k ) ? n(n ? 1) ,又 ?
k ?1

k 是一个典型的错位相减法模型, k ?1 k ?1 2

易得

?2
k ?1

n

k
k ?1

? 4?

n?2 n?2 ? Sn = n(n ? 1) ? n ?1 ? 4 n ?1 2 2

三、

倒序相加法求和

这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序) , 再把它与原数列相加,就可以得到 n 个 (a1 ? an ) .



0 1 2 n 求证: Cn ? 3Cn ? 5Cn ? ? ? ? ? (2n ? 1)Cn ? (n ? 1)2n

证明: 设 S n ? Cn ? 3Cn ? 5Cn ? ? ? ? ? (2n ? 1)Cn
0 1 2

n

n n?1 1 0 S n ? (2n ? 1)Cn ? (2n ? 1)Cn ? ? ? ? ? 3Cn ? Cn



S n ? (n ? 1) ? 2 n

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四、分组法求和 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个 等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可. 例 求数列的前 n 项和: 1 ? 1,

1 1 1 ? 4, 2 ? 7,? ? ?, n ?1 ? 3n ? 2 ,… a a a 1 1 1 解:设 S n ? (1 ? 1) ? ( ? 4) ? ( 2 ? 7) ? ? ? ? ? ( n ?1 ? 3n ? 2) a a a 1 1 1 S n ? (1 ? ? 2 ? ? ? ? ? n ?1 ) ? (1 ? 4 ? 7 ? ? ? ? ? 3n ? 2) a a a (3n ? 1)n (3n ? 1)n 当 a=1 时, S n ? n ? = 2 2 1 1? n 1? n a ? (3n ? 1)n = a ? a ? (3n ? 1)n 当 a ? 1 时, S n ? 1 a ?1 2 2 1? a

例 : 已 知 {an } 是 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 , 且 a1 ? a2 ? 2(

1 1 ? ) , a1 a2

a3 ? a4 ? a5 ? 64(

1 1 1 ? ? ) a3 a4 a5 1 2 ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 。 an

(Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? (an ?

第 12 页 共 12 页

五、裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用 . 裂项法的实质是将数列中的每项(通 项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项)如: (1) an ? f (n ? 1) ? f (n) (2)

sin 1? ? tan(n ? 1)? ? tann? ? ? cos n cos(n ? 1) (2n) 2 1 1 1 ? 1? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

(3) a n ?

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

(4) an ?

(5) an ? (6)

1 1 1 1 ? [ ? ] n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2)

an ?

n ? 2 1 2(n ? 1) ? n 1 1 1 1 ? n ? ? n ? ? , 则S n ? 1 ? n ?1 n n(n ? 1) 2 n(n ? 1) 2 n?2 (n ? 1)2 (n ? 1)2 n
求数列



1 1? 2 1

,

1 2? 3

,? ? ?,

1 n ? n ?1

,? ? ? 的前 n 项和.

an ?

n ? n ?1 1 1? 2 ?

? n ?1 ? n 1 2? 3 1 n ? n ?1

则 Sn ?

? ??? ?

= n ? 1 ?1



在数列{an}中, an ?

1 2 n 2 ? ? ??? ? ,又 bn ? ,求数列{bn}的前 n n ?1 n ?1 n ?1 a n ? a n ?1

项的和. 解:

1 2 n n ? ? ??? ? ? n ?1 n ?1 n ?1 2 2 1 1 ∴ bn ? ? 8( ? ) n n ?1 n n ?1 ? 2 2 8n 1 1 1 1 1 1 1 S n ? 8[(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ( ? )] = n ?1 2 2 3 3 4 n n ?1
∵ an ?

六、合并法求和 针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在求数列的 和时,可将这些项放在一起先求和,然后再求 Sn. 例 数列{an}: a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 2, an?2 ? an?1 ? an ,求 S2002.

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解:设 S2002= a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ? ? a2002

a6k ?1 ? 1, a6k ?2 ? 3, a6k ?3 ? 2, a6k ?4 ? ?1, a6k ?5 ? ?3, a6k ?6 ? ?2
∵ a6k ?1 ? a6k ?2 ? a6k ?3 ? a6k ?4 ? a6k ?5 ? a6k ?6 ? 0 S2002= a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ? ? a2002 例 = a6k ?1 ? a6k ?2 ? a6k ?3 ? a6k ?4 =5

在各项均为正数的等比数列中, 若 a5 a6 ? 9, 求 log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? ? ? log3 a10 的值. 解:设 S n ? log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? ? ? log3 a10 由等比数列的性质 m ? n ? p ? q ? aman ? a p aq

S n ? (log3 a1 ? log3 a10 ) ? (log3 a2 ? log3 a9 ) ? ? ? ? ? (log3 a5 ? log3 a6 )
七、利用数列的通项求和

=10

先根据数列的结构及特征进行分析,找出数列的通项及其特征,然后再利用数列的通项 揭示的规律来求数列的前 n 项和,是一个重要的方法. 例 求 1 ? 11? 111? ? ? ? ? 111 ?? ? ?1 之和. ? ?
n个1

解:由于 111 ?? ?1 ? ?? ?
k个1

1 1 ? 999 ?? ?? ? 9 ? (10k ? 1) ? ? ? 9 9 k个1

n个1

∴ 1 ? 11? 111? ? ? ? ? 111 ?? ? ?1 ? ?



1 10(10n ? 1) n ? ? 9 10 ? 1 9



1 (10 n ?1 ? 10 ? 9n) 81

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