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圆锥曲线练习题含答案


圆锥曲线专题练习
一、选择题

x2 y2 ? ? 1 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3 ,则 P 到另一焦点距离为 ( 1.已知椭圆 25 16 A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 2.若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为 18 ,焦距为 6 ,则椭圆的方程为 ( 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y ? ? 1 B. ? ? 1 C. ? ? 1或 ? ? 1 D.以上都不对 A. 9 16 25 16 25 16 16 25
3.动点 P 到点 M (1,0) 及点 N (3,0) 的距离之差为 2 ,则点 P 的轨迹是 (







A.双曲线 B.双曲线的一支 C.两条射线 D.一条射线 4.设双曲线的半焦距为 c ,两条准线间的距离为 d ,且 c ? d ,那么双曲线的离心率 e 等于( A. 2
2

) )

B. 3

C. 2

D. 3 (

5.抛物线 y ? 10x 的焦点到准线的距离是

15 2 2 6.若抛物线 y ? 8x 上一点 P 到其焦点的距离为 9 ,则点 P 的坐标为
A. B. 5 C. A. (7, ? 14) B. (14, ? 14) C. (7, ?2 14) 7.如果 x 2 ? ky 2 ? 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是( A. ?0,??? B. ?0,2? C. ?1,??? D. ?0,1?

5 2

D. 10 ( D. (?7, ?2 14) ) )

8.以椭圆

x2 y2 ? ? 1 的顶点为顶点,离心率为 2 的双曲线方程( 25 16
B.



A.

x2 y2 ? ?1 16 48

x2 y2 ? ?1 9 27

C.

x2 y2 x2 y2 ? ? 1或 ? ? 1 D.以上都不对 16 48 9 27

9.过双曲线的一个焦点 F2 作垂直于实轴的弦 PQ , F1 是另一焦点,若∠ PF1Q ?

?
2

,则双曲线的离心率

e 等于(
A. 2 ? 1

) B. 2 C. 2 ? 1 D. 2 ? 2

x2 y2 0 ? ? 1 的两个焦点, A 为椭圆上一点,且∠ AF 10. F1 , F2 是椭圆 1 F2 ? 45 ,则Δ AF 1 F2 的面积 9 7
为( A. 7 ) B.

7 4

C.

7 2

D.

7 5 2
2 2

11.以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆 x ? y ? 2x ? 6 y ? 9 ? 0 的圆心的抛物线的方程() A. y ? 3x 或 y ? ?3x
2 2

B. y ? 3x

2

C. y ? ?9x 或 y ? 3x
2

2

D. y ? ?3x 或 y ? 9 x
2 2

1

12.设 AB 为过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点的弦,则 AB 的最小值为( A.



p 2

B. p

C. 2 p

D.无法确定 )

13.若抛物线 y 2 ? x 上一点 P 到准线的距离等于它到顶点的距离,则点 P 的坐标为( A. ( , ?

1 4

2 ) 4

B. ( , ?

1 8

2 ) 4

C. ( ,

1 2 ) 4 4

D. ( ,

1 2 ) 8 4

x2 y2 ? ? 1 上一点 P 与椭圆的两个焦点 F1 、 F2 的连线互相垂直,则△ PF1 F2 的面积为 14.椭圆 49 24
A. 20 B. 22 C. 28 D. 24 15.若点 A 的坐标为 (3, 2) , F 是抛物线 y 2 ? 2 x 的焦点,点 M 在抛物线上移动时,使 MF ? MA 取得 最小值的 M 的坐标为( A. ?0,0? B. ? ,1? ) C. 1, 2

?1 ? ?2 ?

?

?

D. ?2,2?

x2 ? y 2 ? 1 共焦点且过点 Q(2,1) 的双曲线方程是( 16.与椭圆 4
A.



x2 x2 x2 y2 y2 ? y 2 ? 1 B. ? y 2 ? 1 C. ? ? 1 D. x 2 ? ?1 2 4 3 3 2

17.若直线 y ? kx ? 2 与双曲线 x 2 ? y 2 ? 6 的右支交于不同的两点, 那么 k 的取值范围是( A.( ? ) B.( 0,

15 15 ) , 3 3
2

15 15 15 ) C.( ? ,0 ) D.( ? ,?1 ) 3 3 3

18.抛物线 y ? 2 x 上两点 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y 2 ) 关于直线 ( ) B. 2 C.

y ? x ? m 对称,且 x1 ? x 2 ? ? 1 ,则 m 等于
2

3 A. 2
二. 填空题

5 2

D. 3

3 ,则它的长半轴长为_______________. 2 20.双曲线的渐近线方程为 x ? 2 y ? 0 ,焦距为 10 ,这双曲线的方程为_______________。
19.若椭圆 x ? my ? 1 的离心率为
2 2

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则 k 的取值范围是 21.若曲线 4 ? k 1? k 2 22.抛物线 y ? 6 x 的准线方程为 . 2 2 23.椭圆 5x ? ky ? 5 的一个焦点是 (0,2) ,那么 k ? 。



2

1 x2 y2 ? ? 1 的离心率为 ,则 k 的值为______________。 24.椭圆 2 k ?8 9
25.双曲线 8kx2 ? ky 2 ? 8 的一个焦点为 (0,3) ,则 k 的值为______________。 26.若直线 x ? y ? 2 与抛物线 y 2 ? 4 x 交于 A 、 B 两点,则线段 AB 的中点坐标是______。 27.对于抛物线 y 2 ? 4 x 上任意一点 Q ,点 P ( a, 0) 都满足 PQ ? a ,则 a 的取值范围是____。

28.若双曲线

x2 y2 3 ? ? 1 的渐近线方程为 y ? ? x ,则双曲线的焦点坐标是_________. 4 m 2 x2 y 2 ? ? 1 的不垂直于对称轴的弦, M 为 AB 的中点, O 为坐标原点, a 2 b2

29.设 AB 是椭圆

则 k AB ? kOM ? ____________。

30.椭圆 围是

x2 y2 ? ? 1 的焦点 F1 、 F2 ,点 P 为其上的动点,当∠ F1 P F2 为钝角时,点 P 横坐标的取值范 9 4
。 _。

31.双曲线 tx2 ? y 2 ? 1 的一条渐近线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 垂直,则这双曲线的离心率为__

32 . 若 直 线 y ? kx? 2 与 抛 物 线 y 2 ? 8x 交 于 A 、 B 两 点 , 若 线 段 AB 的 中 点 的 横 坐 标 是 2 , 则

AB ? ______。
33.若直线 y ? kx ? 1 与双曲线 x2 ? y 2 ? 4 始终有公共点,则 k 取值范围是 34.已知 A(0, ?4), B(3, 2) ,抛物线 y 2 ? 8x 上的点到直线 AB 的最段距离为__________。 三.解答题 35.已知椭圆 。

x2 y 2 ? ? 1 ,试确定 m 的值,使得在此椭圆上存在不同两点关于直线 y ? 4 x ? m 对称。 4 3

36.已知顶点在原点,焦点在 x 轴上的抛物线被直线 y ? 2 x ? 1 截得的弦长为 15 ,求抛物线的方程。
3

37、已知动点 P 与平面上两定点 A(? 2,0), B( 2,0) 连线的斜率的积为定值 ? (Ⅰ)试求动点 P 的轨迹方程 C. (Ⅱ)设直线 l : y ? kx ? 1 与曲线 C 交于 M、N 两点,当|MN|=

1 . 2

4 2 时,求直线 l 的方程. 3

38.已知椭圆的中心在原点 O,焦点在坐标轴上,直线 y = x +1 与该椭圆相交于 P 和 Q,且 OP⊥OQ, |PQ|=

10 ,求椭圆的方程 2

4

参考答案
1.D 2.C 点 P 到椭圆的两个焦点的距离之和为 2a ? 10,10 ? 3 ? 7

2a ? 2b ? 18, a ? b ? 9, 2c ? 6, c ? 3, c2 ? a2 ? b2 ? 9, a ? b ? 1
得 a ? 5, b ? 4 ,?
x2 y 2 x2 y2 ? ? 1或 ? ?1 25 16 16 25

3.D 4.C 5.B 6.C

PM ? PN ? 2, 而MN ? 2 ,? P 在线段 MN 的延长线上
2a 2 c2 ? c, c 2 ? 2a 2 , e2 ? 2 ? 2, e ? 2 c a
2 p ? 10, p ? 5 ,而焦点到准线的距离是 p

点 P 到其焦点的距离等于点 P 到其准线 x ? ?2 的距离,得 xP ? 7, y p ? ?2 14
y2 x2 2 ? ? 1, ? 2 ? 0 ? k ? 1 2 2 k k

7.D 焦点在 y 轴上,则

8.C 当顶点为 (?4, 0) 时, a ? 4, c ? 8, b ? 4 3,

x2 y 2 ? ? 1; 16 48 y 2 x2 ? ?1 9 27

当顶点为 (0, ?3) 时, a ? 3, c ? 6, b ? 3 3,

9.C Δ PF 1F 2 是等腰直角三角形, PF 2 ?F 1F 2 ? 2c, PF 1 ? 2 2c

PF1 ? PF2 ? 2a, 2 2c ? 2c ? 2a, e ?
10.C

c 1 ? ? 2 ?1 a 2 ?1

F1F2 ? 2 2, AF1 ? AF2 ? 6, AF2 ? 6 ? AF1
AF22 ? AF12 ? F1F22 ? 2 AF1 ? F1F2 cos 450 ? AF12 ? 4 AF1 ? 8
7 (6 ? AF1 ) 2 ? AF12 ? 4 AF1 ? 8, AF1 ? , 2

1 7 2 7 S ? ? ?2 2? ? 2 2 2 2
11.D 圆心为 (1, ?3) ,设 x ? 2 py, p ? ? , x ? ?
2 2

1 6

1 y; 3

设 y ? 2 px, p ?
2

9 2 , y ? 9x 2

5

12.C 垂直于对称轴的通径时最短,即当 x ?

p , y ? ? p, AB min ? 2 p 2

13.B 点 P 到准线的距离即点 P 到焦点的距离,得 PO ? PF ,过点 P 所作的高也是中线

1 2 1 2 ? Px ? ,代入到 y 2 ? x 得 Py ? ? ,? P( , ? ) 8 4 8 4
14.D

PF1 ? PF2 ? 14,(PF1 ? PF2 )2 ? 196, PF12 ? PF22 ? (2c)2 ? 100 ,相减得
2 PF1 ? PF2 ? 96, S ? 1 PF1 ? PF2 ? 24 2

15.D

MF 可以看做是点 M 到准线的距离,当点 M 运动到和点 A 一样高时, MF ? MA 取得最小值,即
M y ? 2 ,代入 y 2 ? 2 x 得 M x ? 2

16.A

且焦点在 x 轴上,可设双曲线方程为 c2 ? 4 ?1 ,c ? 3,

x2 y2 ? ? 1过点 Q(2,1) a2 3 ? a2



4 1 x2 2 ? ? 1 ? a ? 2, ? y2 ? 1 2 2 a 3? a 2
? x2 ? y 2 ? 6 2 , x ? ( kx ? 2) 2 ? 6, (1 ? k 2 ) x 2 ? 4kx ? 10 ? 0 有两个不同的正根 ? ? y ? kx ? 2

17.D

? 2 ?? ? 40 ? 24k ? 0 ? 15 4k 2 ? 则 ? x1 ? x2 ? ? k ? ?1 ? 0, 得 ? 2 3 1? k ? ?10 ? x1 x2 ? ?0 ? 1? k 2 ?
18.A

k AB ?

x ?x y ?y y2 ? y1 1 ? ?1, 而y2 ? y1 ? 2( x2 2 ? x12 ), 得x2 ? x1 ? ? ,且( 2 1 , 2 1 ) 2 2 x2 ? x1 2 y2 ? y1 x2 ? x1 ? ? m, y2 ? y1 ? x2 ? x1 ? 2m 2 2 3 2

在直线 y ? x ? m 上,即

2( x2 2 ? x12 ) ? x2 ? x1 ? 2m, 2[( x2 ? x1 ) 2 ? 2 x2 x1 ] ? x2 ? x1 ? 2m, 2m ? 3, m ?

19. 1, 或2

当 m ? 1 时,

x2 y2 ? ? 1, a ? 1 ; 1 1 m

当 0 ? m ? 1 时,

y 2 x2 a 2 ? b2 3 1 1 ? ? 1, e 2 ? ? 1 ? m ? , m ? , a 2 ? ? 4, a ? 2 2 1 1 a 4 4 m m
6

x2 y 2 ? ?1 20. ? 20 5

设双曲线的方程为 x2 ? 4 y 2 ? ?,(? ? 0) ,焦距 2c ? 10, c2 ? 25
x2 y2

当 ? ? 0 时,

?

?

?

? 1, ? ?

?
4

? 25, ? ? 20 ;

4

当 ? ? 0 时,

y2 ?

?
4

?

x2 ? ? 1, ?? ? (? ) ? 25, ? ? ?20 ?? 4

21. (??, ?4) ? (1, ??) 22. x ? ? 23. 1
3 2

(4 ? k )(1 ? k ) ? 0,(k ? 4)(k ?1) ? 0, k ? 1, 或k ? ?4
p 3 ?? 2 2

2 p ? 6, p ? 3, x ? ?

焦点在 y 轴上,则

y2 x2 5 ? ? 1, c 2 ? ? 1 ? 4, k ? 1 5 1 k k
2

5 24. 4, 或 ? 4

c2 k ? 8 ? 9 1 ? ,k ? 4 ; 当 k ? 8 ? 9 时, e ? 2 ? a k ?8 4
当 k ? 8 ? 9 时, e ?
2

c2 9 ? k ? 8 1 5 ? ? ,k ? ? 2 a 9 4 4

25. ?1

焦点在 y 轴上,则

y2 x2 8 1 ? ? 1, ? ? (? ) ? 9, k ? ?1 8 1 k k ? ? k k

26. (4, 2)

? y2 ? 4x 2 , x ? 8 x ? 4 ? 0, x1 ? x2 ? 8, y1 ? y2 ? x1 ? x2 ? 4 ? 4 ? ?y ? x ? 2
中点坐标为 (

x1 ? x2 y1 ? y2 , ) ? (4, 2) 2 2

27. ? ??, 2?

设 Q(

t2 t2 , t ) ,由 PQ ? a 得 ( ? a)2 ? t 2 ? a 2 , t 2 (t 2 ? 16 ? 8a) ? 0, 4 4

t 2 ? 16 ? 8a ? 0, t 2 ? 8a ?16 恒成立,则 8a ? 16 ? 0, a ? 2
28. (? 7,0) 渐近线方程为 y ? ?

m x ,得 m ? 3, c ? 7 ,且焦点在 x 轴上 2
x1 ? x2 y1 ? y2 y ?y , ) ,得 k AB ? 2 1 , 2 2 x2 ? x1

29. ?

b2 a2

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则中点 M (

7

kOM ?

y2 ? y1 y 2 ? y12 , k AB ? kOM ? 2 2 , b2 x12 ? a2 y12 ? a2b2 , 2 x2 ? x1 x2 ? x1

b2 x22 ? a2 y22 ? a2b2 , 得 b2 ( x22 ? x12 ) ? a2 ( y22 ? y12 ) ? 0, 即

y2 2 ? y12 b2 ? ? x2 2 ? x12 a2

30. (?

3 5 3 5 , ) 可以证明 PF1 ? a ? ex, PF2 ? a ? ex, 且 PF12 ? PF22 ? F1F22 5 5 5 ,则 (a ? ex)2 ? (a ? ex)2 ? (2c)2 , 2a2 ? 2e2 x2 ? 20, e2 x2 ? 1 3

而 a ? 3, b ? 2, c ? 5, e ?

x2 ?

1 1 1 3 5 3 5 ,? ? x ? ,即? ?e? 2 e e e 5 5

31.

5 2

渐近线为 y ? ? t x ,其中一条与与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 垂直,得 t ?

1 1 ,t ? 2 4

x2 5 ? y 2 ? 1, a ? 2, c ? 5, e ? 4 2
32. 2 15

? y 2 ? 8x 4k ? 8 , k 2 x 2 ? (4k ? 8) x ? 4 ? 0, x1 ? x2 ? ?4 ? k2 ? y ? kx ? 2
2 得 k ? ?1, 或2 ,当 k ? ?1 时, x ? 4 x ? 4 ? 0 有两个相等的实数根,不合题意

当 k ? 2 时, AB ? 1 ? k 33. ?1, ?

2

x1 ? x2 ? 5 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 5 16 ? 4 ? 2 15

5 2

? x2 ? y 2 ? 4 2 , x ? (kx ? 1) 2 ? 4, (1 ? k 2 ) x ? 2kx ? 5 ? 0 ? ? y ? kx ? 1

当 1 ? k 2 ? 0, k ? ?1 时,显然符合条件;
2 当 1 ? k ? 0 时,则 ? ? 20 ? 16k ? 0, k ? ?
2

5 2
2

34.

3 5 5

直线 AB 为 2 x ? y ? 4 ? 0 ,设抛物线 y ? 8x 上的点 P(t , t )
2

d?

2t ? t 2 ? 4 5

?

t 2 ? 2t ? 4 (t ? 1) 2 ? 3 3 3 5 ? ? ? 5 5 5 5

35.解:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , AB 的中点 M ( x0 , y0 ) , k AB ?
2 2 2 2 2 2 2

y2 ? y1 1 ?? , x2 ? x1 4
2

而 3x1 ? 4 y1 ? 12, 3x2 ? 4 y2 ? 12, 相减得 3( x2 ? x1 ) ? 4( y2 ? y1 ) ? 0,
8

即 y1 ? y2 ? 3( x1 ? x2 ),? y0 ? 3x0 , 3x0 ? 4x0 ? m, x0 ? ?m, y0 ? ?3m

m 2 9m 2 2 3 2 3 ? ? 1, 即 ? 而 M ( x0 , y0 ) 在椭圆内部,则 ?m? 4 3 13 13

? y 2 ? 2 px 36.解:设抛物线的方程为 y ? 2 px ,则 ? , 消去 y 得 ? y ? 2x ?1
2

4 x 2 ? (2 p ? 4) x ? 1 ? 0, x1 ? x2 ?

p?2 1 , x1 x2 ? 2 4

AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 5 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 5 (


p?2 2 1 ) ? 4 ? ? 15 , 2 4

p2 ? p ? 3, p 2 ? 4 p ? 12 ? 0, p ? ?2, 或6 4

? y 2 ? ?4x,或y 2 ? 12x
y y 1 x2 ? ?? ? y 2 ? 1. P ( x , y ) 2 x ? 2 x ? 2 37、(Ⅰ)解:设点 ,则依题意有 , 整理得 2 由于 x ? ? 2 ,

x2 ? y 2 ? 1( x ? ? 2). 所以求得的曲线C的方程为 2
? x2 2 ? ? y ? 1, 消去y得 : (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4kx ? 0. ? 4k ?2 ( x1 , x2 ? y ? kx ? 1. 2 (Ⅱ)由 ? 解得x1=0, x2= 1 ? 2k 分别为M,N的横坐标)



| MN |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |? 1 ? k 2 |

4k 4 |? 2, 2 解得 : k ? ?1. 所以直线l的方程x-y+1=0或 3 1 ? 2k

x+y-1=0

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 38. [解析]:设所求椭圆的方程为 a ,
依题意,点P( x1 , y1 )、Q( x2 , y 2 )的坐标

满足方程组

? x2 y2 ? 2 ? 2 ?1 b ?a ?y ? x ?1 ?
2 2 2 2 2 2

解之并整理得 (a ? b ) x ? 2a x ? a (1 ? b ) ? 0 或 (a ? b ) y ? 2b y ? b (1 ? a ) ? 0
2 2 2 2 2 2

所以

x1 ? x2 ? ?

2a 2 a 2 (1 ? b 2 ) x x ? 1 2 a2 ? b2 a2 ? b2 ,
9



y1 ? y 2 ?
由OP⊥OQ ? x1 x2

2b 2 b 2 (1 ? a 2 ) y y ? 1 2 a2 ? b2 , a2 ? b2

② ③

? y1 y2 ? 0 ? a2 ? b2 ? 2a 2b2

10 5 2 2 2 ? PQ ? ( x ? x ) ? ( y ? y ) 1 2 1 2 又由|PQ|= 2 =2

5 ? ( x1 ? x2 ) ? 4x1 x2 ? ( y1 ? y2 ) ? 4 y1 y2 = 2
2 2

5 ? ( x1 ? x2 ) ? 4x1 x2 ? ( y1 ? y2 ) ? 4 y1 y2 = 2
2 2



由①②③④可得: 3b ? 8b ? 4 ? 0
4 2

? b 2 ? 2或b 2 ?

2 3

2 ? a 2 ? 或a 2 ? 2 3

x 2 3y 2 3x 2 y 2 ? ?1 ? ?1 2 2 2 2 故所求椭圆方程为 ,或

10


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