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高一数学典型例题分析:等比数列


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等比数列·例题解析 【例 1】 已知 Sn 是数列{an}的前 n 项和, n=pn(p∈R, S n∈N*), 那么数列{an}. [ A.是等比数列 B.当 p≠0 时是等比数列 C.当 p≠0,p≠1 时是等比数列 D.不是等比数列 分析 由 Sn=pn(n∈N*),有 a1=S1=p,并且当 n≥2 时,

]

an=Sn-Sn-1=pn-pn-1=(p-1)pn-1
? ? p≠ 0 ? ? = (p - 1 )p , 因 此 数 列 { a n } 成 等 比 数 列 ? ? p - 1≠ 0 ? n ?1 (p ? 1 )p p ( p ? 1) ? ? n?2 ? (p ? 2)p p ?

故a2

但满足此条件的实数 p 是不存在的,故本题应选 D. 说明 数列{an}成等比数列的必要条件是 an≠0(n∈N*),还要注
a a
n

意 对 任 n∈ N * , n≥ 2 ,

都为同一常数是其定义规定的准确含义.

n ?1

【例 2】 解

已知等比数列 1,x1,x2,…,x2n,2,求 x1·x2·x3·…·x2n.

∵1,x1,x2,…,x2n,2 成等比数列,公比 q

∴2=1·q2n+1 x1x2x3…x2n=q·q2·q3…q2n=q1+2+3+…+2n
2 n(1+ 2 n)

= q

2

? q

n ( 2 n ? 1)

? 2

n

【 例 3】

等 比 数 列 {a n } 中 , (1 ) 已 知 a 2 = 4 , a 5 = -

1 2

,求通项公

式;(2)已知 a3·a4·a5=8,求 a2a3a4a5a6 的值.
解 (1 )a 5 = a 2 q
5? 2

∴q = -

1 2

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∴ a n= a 2q

n?2

= 4(-
2

1 ) 2

n?2

= (?

1 ) 2
3

n?4

(2 ) ∵ a 3 · a 5 = a 4

a 3· a 4· a 5= a 4 = 8

∴a4=2
又 a 2 a 6 = a 3a 5 = a 4 ∴ a 2 a 3a 4 a 5a 6 = a 4 = 32
5 2

【例 4】

已知 a>0,b>0 且 a≠b,在 a,b 之间插入 n 个正数 x1,x2,…,

xn,使得 a,x1,x2,…,xn,b 成等比数列,求

n

x1x 2 … x n <

a ? b 2



证明
∴q

设这 n+2 个数所成数列的公比为 q,则 b=aqn+1
n ?1

?

b a
n ?1



n

x 1x 2 … x n ? ?

n

aqaq … aq ab < a ? b 2

2

n

? aq

2

【例 5】 -d)2.

设 a、b、c、d 成等比数列,求证:(b-c)2+(c-a)2+(d-b)2=(a

证法一 ∵a、b、c、d 成等比数列
∴ a b ? b c ? c d

∴b2=ac,c2=bd,ad=bc ∴左边=b2-2bc+c2+c2-2ac+a2+d2-2bd+b2 =2(b2-ac)+2(c2-bd)+(a2-2bc+d2) =a2-2ad+d2 =(a-d)2=右边 证毕. 证法二

∵a、b、c、d 成等比数列,设其公比为 q,则:

b=aq,c=aq2,d=aq3

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∴左边=(aq-aq2)2+(aq2-a)2+(aq3-aq)2 =a2-2a2q3+a2q6 =(a-aq3)2 =(a-d)2=右边 证毕. 说明 这是一个等比数列与代数式的恒等变形相综合的题目.证法一是抓住了 求证式中右边没有 b、 的特点, c 走的是利用等比的条件消去左边式中的 b、 的路子. c 证 法二则是把 a、b、c、d 统一化成等比数列的基本元素 a、q 去解决的.证法二稍微麻 烦些,但它所用的统一成基本元素的方法,却较证法一的方法具有普遍性. 【例 6】 求数列的通项公式: (1){an}中,a1=2,an+1=3an+2 (2){an}中,a1=2,a2=5,且 an+2-3an+1+2an=0 思路:转化为等比数列.
解 (1 )a
n +1

= 3a n + 2 ? a

n +1

+ 1 = 3 (a n + 1 )

∴{an+1}是等比数列 ∴an+1=3·3n-1 ∴an=3n-1
(2 )a
n+2

- 3a

n +1

+ 2a

n

= 0 ? a

n+2

-a

n +1

= 2 (a

n +1

-an)

∴{an+1-an}是等比数列,即 an+1-an=(a2-a1)·2n-1=3·2n-1 再注意到 a2-a1=3,a3-a2=3·21,a4-a3=3·22,…,an-an-1=3·2n-2, 这些等式相加,即可以得到
a = 3 [1+ 2 + 2 + … + 2
2 n -2

n

] = 3·

2

n ?1

?1 = 3 (2

n ?1

2 ?1

- 1)

说明

解题的关键是发现一个等比数列,即化生疏为已知.(1)中发现{an+1}是

等比数列,(2)中发现{an+1-an}是等比数列,这也是通常说的化归思想的一种体现.
【 例 7】 若 实 数 a 1 、 a 2 、 a 3 、 a 4 都 不 为 零 , 且 满 足 (a 1 + a 2 )a 4 - 2 a 2
2 2 2 2 2

(a 1 + a 3 )a 4 + a 2 + a 3 = 0 求 证 : a 1 、 a 2 、 a 3 成 等 比 数 列 , 且 公 比 为 a 4 .

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∵a1、a2、a3、a4 均为不为零的实数
2 2 2 2 2

∴ (a 1 + a 2 )x - 2 a 2 (a 1 + a 3 )x+ a 2 + a 3 = 0 为 实 系 数 一 元 二 次 方 程 等 式 (a 1 + a 2 )a 4 - 2 a 2 (a 1 + a 3 )a 4 + a 2 + a 3 = 0 说 明 上 述 方 程 有 实 数 根 a 4 .
2 2 2 2 2

∴上述方程的判别式Δ ≥0,即
[ - 2 a 2 (a 1 + a 3 )] - 4 (a 1 + a 2 )(a 2 + a 3 ) = - 4 (a 2 - a 1a 3 ) ≥ 0 ∴ (a 2 - a 1a 3 ) ≤ 0
2 2 2 2 2 2 2 2 2

又∵a1、a2、a3 为实数
∴ (a 2 - a 1a 3 ) ≥ 0 必 有 a 2 - a 1a 3 = 0 即 a 2 = a 1a 3
2 2 2 2

因而 a1、a2、a3 成等比数列
又∵a4 = 2a 2 (a 1 ? a 3 ) 2(a 1 ? a 2 )
2 2

?

a 2 (a 1 ? a 3 ) a 1 ? a 1a 3
2

?

a2 a1

∴a4 即为等比数列 a1、a2、a3 的公比. 【例 8】 若 a、b、c 成等差数列,且 a+1、b、c 与 a、b、c+2 都成等比数列, 求 b 的值. 解 设 a、b、c 分别为 b-d、b、b+d,由已知 b-d+1、b、b+d 与 b-d、b、 b+d+2 都成等比数列,有
? b = (b - d + 1 )(b + d ) ? ? 2 ? b = (b - d )(b + d + 2 ) ?
2

① ②

整理,得
?b = b - d + b+ d ? ? 2 2 2 ? ?b = b - d + 2b- 2d
2 2 2

∴b+d=2b-2d 即 b=3d 代入①,得 9d2=(3d-d+1)(3d+d) 9d2=(2d+1)·4d 解之,得 d=4 或 d=0(舍) ∴b=12 【例 9】 已知等差数列{an}的公差和等比数列{bn}的公比都是 d,又知 d≠1,

且 a4=b4,a10=b10:
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(1)求 a1 与 d 的值; (2)b16 是不是{an}中的项? 思路:运用通项公式列方程
解 ?a 1 + 3 d = a 1d ?a 4 = b 4 ? (1 ) 由 ? ? ? ?a 1 + 9 d = a 1d ? a 10 = b 10 ?
3 3

9

? a 1 (1- d ) = - 3 d ? ? ? 9 ? a 1 (1- d ) = - 9 d ?

? d +d -2 = 0
6 3

? d 1 ? 1( 舍 ) 或 d ∴ a1 ? ?d ?
3

2

?

3

? 2
3

2

d ? ?

2

(2)∵b16=b1·d15=-32b1
且 a 4 = a 1+ 3d = ?2 b 4 = b 1· d ∴ b1 = a1 =
3 3

2 = b4
3

= - 2b 1 = - 2
3

2

2

∴b16=-32b1=-32a1,如果 b16 是{an}中的第 k 项,则 -32a1=a1+(k-1)d ∴(k-1)d=-33a1=33d ∴k=34 即 b16 是{an}中的第 34 项.
1 ) 2 21 8

【 例 10】 1 b 1b 2 b 3 = 8

设 {a n }是 等 差 数 列 , b n = (

an

, 已 知 b 1+ b 2 + b 3 =



,求等差数列的通项.



设等差数列{an}的公差为 d,则 an=a1+(n-1)d
1 ) 2 1 ) 2
a1 a ? ( n ? 1) d

∴bn = ( b 1b 3 = (

1

·(

1 ) 2

a1 + 2d

1 = ( 2 )

2 (a 1 + d )

b2

2

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由 b 1b 2 b 3 =

1 8

,解得b2 =

3

1 8

,解得b2 =

1 2

,代入已知条件

1 1 ? ? ?b 1b 2 b 3 = 8 ?b 1b 3 = 4 ? ? 整理得 ? ? 21 17 ?b ? b ? b ? ?b + b = 1 2 3 1 3 ? ? 8 8 ? ?

解这个方程组,得
b1 = 2, b3 = 1 8 或 b1 = 1 8 ,b3 = 2

∴a1=-1,d=2 或 a1=3,d=-2 ∴当 a1=-1,d=2 时,an=a1+(n-1)d=2n-3 当 a1=3,d=2 时,an=a1+(n-1)d=5-2n 【例 11】 三个数成等比数列,若第二个数加 4 就成等差数列,再把这个等差 数列的第 3 项加 32 又成等比数列,求这三个数. 解法一 按等比数列设三个数,设原数列为 a,aq,aq2

由已知:a,aq+4,aq2 成等差数列 即:2(aq+4)=a+aq2 ① a,aq+4,aq2+32 成等比数列 即:(aq+4)2=a(aq2+32)
? aq+ 2 = 4a ②

2 ? ?a = 2 ?a = 9 ①,②两式联立解得: ? 或 ? ?q = 3 ?q = - 5 ? ∴ 这 三 数 为 : 2 , 6, 18或 2 9 , ? 10 9 , 50 9 .

解法二 按等差数列设三个数,设原数列为 b-d,b-4,b+d 由已知:三个数成等比数列 即:(b-4)2=(b-d)(b+d)
? 8b- d
2

= 16



b-d,b,b+d+32 成等比数列
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即 b2=(b-d)(b+d+32)
? 32b- d - 32d = 0
2



26 ? ?b = 9 ?b = 10 ? ①、②两式联立,解得: ? 或 ? 8 ?d = 8 ?d = ? 3 ? ∴三数为 2 9 , ? 10 9 , 50 9 或 2 , 6, 18.

解法三

任意设三个未知数,设原数列为 a1,a2,a3

由已知:a1,a2,a3 成等比数列
得 : a 2 = a 1a 3
2



a1,a2+4,a3 成等差数列 得:2(a2+4)=a1+a3 ② a1,a2+4,a3+32 成等比数列 得:(a2+4)2=a1(a3+32) ③
2 ? ?a 1 = 9 ? 10 ? ① 、 ② 、 ③ 式 联 立 , 解 得 : ?a 2 = ? 9 ? 50 ? ?a 3 = 9 ?

?a 1 = 2 ? 或 ?a 2 = 6 ? ?a 3 = 18

说明

将三个成等差数列的数设为 a-d,a,a+d;将三个成
2

等 比 数 列 的 数 设 为 a, aq, aq ( 或

a q

, a, aq) 是 一 种 常 用 技 巧 , 可 起 到

简化计算过程的作用. 【例 12】 有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且 第一个数与第四个数的和是 16,第二个数与第三个数的和是 12,求这四个数. 分析 本题有三种设未知数的方法 方法一 设前三个数为 a-d,a,a+d,则第四个数由已知条

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件可推得:

(a ? d ) a

2

方法二

设后三个数为 b,bq,bq2,则第一个数由已知条件推得为 2b-bq.

方法三 设第一个数与第二个数分别为 x,y,则第三、第四个数依次为 12-y, 16-x. 由这三种设法可利用余下的条件列方程组解出相关的未知数,从而解出所求的 四个数,
解法一 设 前 三 个 数 为 a- d, a, a+ d, 则 第 四 个 数 为 (a ? d ) a
2



? (a ? d ) = 16 ?a- d+ 依题意,有 ? a ?a+ (a+ d ) = 1 2 ?
2

?a 1 = 4 解方程组得:? 或 ?d 1 = 4

?a 2 = 9 ? ?d 2 = - 6

所求四个数为:0,4,8,16 或 15,9,3,1. 解法二 设后三个数为:b,bq,bq2,则第一个数为:2b-bq
2

?2b- bq+ bq 依题意有: ? ?b+ bq = 12

= 16

?b 2 = 9 ?b1 = 4 ? 解方程组得:? 或? 1 ?q 1 = 2 ?q 2 = 3 ?

所求四个数为:0,4,8,16 或 15,9,3,1. 解法三 设四个数依次为 x,y,12-y,16-x.
? x+ (1 2 - y) = 2 y 依题意有 ? 2 ? y· (1 6 - x) = (1 2 - y)

?x1 = 0 解方程组得:? ?y1 = 4



?x 2 = 15 ? ?y 2 = 9

这四个数为 0,4,8,16 或 15,9,3,1. 【例 13】 已知三个数成等差数列,其和为 126;另外三个数成等比数列,把 两个数列的对应项依次相加,分别得到 85,76,84.求这两个数列. 解 设成等差数列的三个数为 b-d,b,b+d,由已知,b-d+b+b+d=126 ∴b=42 这三个数可写成 42-d,42,42+d. 再设另三个数为 a,aq,aq2.由题设,得
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?a+ 42 - d = 85 ? ?ap+ 42 = 76 ? 2 ?aq + 42 + d = 84 ?a- d = 43 ? 整 理 , 得 ?aq = 34 ? 2 ?aq + d = 42 ① ② ③

解这个方程组,得 a1=17 或 a2=68 当 a=17 时,q=2,d=-26
当 a = 68时 , q = 1 2 , d = 25

从而得到:成等比数列的三个数为 17,34,68,此时成等差的三个数为 68,42, 16;或者成等比的三个数为 68,34,17,此时成等差的三个数为 17,42,67. 【例 14】 已知在数列{an}中,a1、a2、a3 成等差数列,a2、a3、a4 成等比数

列,a3、a4、a5 的倒数成等差数列,证明:a1、a3、a5 成等比数列. 证明 由已知,有

2a2=a1+a3 ①
a3 = a2· a4 2 a4 ? 1 a3 ? 1 a5
2a 3· a 5 a3 + a5 a1 + a3 2 a1 + a3 2
a 5 (a 1 + a 2 ) a3 + a5
2

② ③

由③,得a4 =

由①,得a2 =
2

代入②,得 2a 3· a 5 a3 ? a5

a3 =

·

整理,得a3 =


2

a3(a3+a5)=a5(a1+a3)

a 3 + a 3a 5 = a 1a 5 + a 3a 5 ∴ a 3 = a 1· a 5
2

所以 a1、a3、a5 成等比数列.
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【例 15】

已知(b-c)logmx+(c-a)logmy+(a-b)logmz=0.

(1)设 a,b,c 依次成等差数列,且公差不为零,求证:x,y,z 成等比数列. (2)设正数 x,y,z 依次成等比数列,且公比不为 1,求证:a,b,c 成等差数列. 证明 (1)∵a,b,c 成等差数列,且公差 d≠0 ∴b-c=a-b=-d,c-a=2d 代入已知条件,得:-d(logmx-2logmy+logmz)=0 ∴logmx+logmz=2logmy ∴y2=xz ∵x,y,z 均为正数 ∴x,y,z 成等比数列 (2)∵x,y,z 成等比数列且公比 q≠1 ∴y=xq,z=xq2 代入已知条件得: (b-c)logmx+(c-a)logmxq+(a-b)logmxq2=0 变形、整理得:(c+a-2b)logmq=0 ∵q≠1 ∴logmq≠0 ∴c+a-2b=0 即 2b=a+c 即 a,b,c 成等差数列

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