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第一章 解三角形 章末检测(人教A版必修5)


第一章 解三角形 章末检测
一、选择题 1.已知锐角△ABC 的面积为 3 3,BC=4,CA=3,则角 C 的大小为 A.75° 答案 B 1 3 解析 依题意,得 3 3= ×4×3sin C,解得 sin C= ,故 C 的大小为 60° . 2 2 → → 2.在△ABC 中,AB=3,AC=2,BC= 10,则BA· AC等于 3 A.- 2 2 C. 3 答

案 A 解析 由余弦定理得 AB2+AC2-BC2 9+4-10 1 cos A= = = . 2AB· AC 12 4 1 3 → → → → ∴AB· AC=|AB|· |AC|· cos A=3×2× = . 4 2 3 → → → → ∴BA· AC=-AB· AC=- . 2 3.根据下列情况,判断三角形解的情况,其中正确的是 A.a=8,b=16,A=30° ,有两解 B.b=18,c=20,B=60° ,有一解 C.a=5,c=2,A=90° ,无解 D.a=30,b=25,A=150° ,有一解 答案 D a b 解析 A 中,因 = , sin A sin B 16×sin 30° 所以 sin B= =1, 8 ∴B=90° ,即只有一解; 20sin 60° 5 3 B 中,sin C= = , 18 9 且 c>b,∴C>B,故有两解; C 中,∵A=90° ,a=5,c=2, ( ) 2 B.- 3 3 D. 2 ( ) B.60° C.45° D.30° ( )

∴b= a2-c2= 25-4= 21, 即有解,故 A、B、C 都不正确,用排除法应选 D. 4.在△ABC 中,已知 a= 5,b= 15,A=30° ,则 c 等于 A.2 5 C.2 5或 5 答案 C 解析 ∵a2=b2+c2-2bccos A, ∴5=15+c2-2 15×c× 3 . 2 B. 5 D.以上都不对 ( )

化简得 c2-3 5c+10=0,即(c-2 5)(c- 5)=0, ∴c=2 5或 c= 5. 5.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 acos A=bsin B,则 sin Acos A+cos2B 等于 1 A.- 2 答案 D 解析 ∵acos A=bsin B,∴sin Acos A=sin Bsin B, 即 sin Acos A-sin2B=0,∴sin Acos A-(1-cos2B)=0, ∴sin Acos A+cos2B=1. 6.已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边.若 a=1,b= 3,A+C=2B, 则 sin C 等于 1 A. 2 答案 D 解析 在△ABC 中,A+B+C=π,A+C=2B. π ∴B= . 3 asin B 1 由正弦定理知,sin A= = . b 2 π π 又 a<b.∴A= ,C= .∴sin C=1. 6 2 7.已知△ABC 中,A、B、C 的对边分别为 a、b、c.若 a=c= 6+ 2,且 A=75° ,则 b 等 于 A.2 C.4-2 3 答案 A B. 6- 2 D.4+2 3 ( ) B. 3 2 C. 6 6 ( D.1 ) 1 B. 2 C.-1 ( D.1 )

解析

sin A=sin 75° =sin(30° +45° )=

6+ 2 , 4

1 由 a=c 知,C=75° ,B=30° ,sin B= . 2 6+ 2 b a 由正弦定理得 = = =4. sin B sin A 6+ 2 4 ∴b=4sin B=2. 8.在△ABC 中,三个角 A,B,C 的对边边长分别为 a=3,b=4,c=6,则 bccos A+cacos B +abcos C 的值为 A.61 答案 B b2+c2-a2 1 2 2 2 解析 bccos A=bc· = (b +c -a ); 2bc 2 1 同理,cacos B= (a2+c2-b2); 2 1 abcos C= (a2+b2-c2). 2 1 61 ∴bccos A+cacos B+abcos C= (a2+b2+c2)= . 2 2 9.在△ABC 中,cos2 A.直角三角形 B.等腰三角形或直角三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形 答案 A A b+c b 解析 由 cos2 = ?cos A= , 2 2c c b2+c2-a2 又 cos A= , 2bc ∴b2+c2-a2=2b2?a2+b2=c2,故选 A. 10.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,若 C=120° ,c= 2a,则( A.a>b B.a<b C.a=b D.a 与 b 的大小关系不能确定 ) A b+c = (a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边),则△ABC 的形状为( 2 2c ) 61 B. 2 61 C. 4 D.122 ( )

答案 A 解析 在△ABC 中,由余弦定理得, c2=a2+b2-2abcos 120° =a2+b2+ab. ∵c= 2a,∴2a2=a2+b2+ab. ∴a2-b2=ab>0,∴a2>b2,∴a>b. 11.一船向正北方向航行,看见正西方向有相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上, 继续航行半个小时后,看见一灯塔在船的南偏西 60° 方向,另一灯塔在船的南偏西 75° 方向,则这只船的速度是 A.15 海里/时 C.10 海里/时 答案 C 解析 如图,依题意有∠BAC=60° ,∠BAD=75° , B.5 海里/时 D.20 海里/时 ( )

所以∠CAD=∠CDA=15° ,从而 CD=CA=10,在直角三角形 ABC 中,可得 AB=5, 于是这只船的速度是 10 海里/时.故选 C. 12.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若(a2+c2-b2)tan B= 3ac,则角 B 的值为 π A. 6 π 5π C. 或 6 6 答案 D 解析 ∵(a2+c2-b2)tan B= 3ac, ∴ a2+c2-b2 3 · tan B= , 2ac 2 3 . 2 π B. 3 π 2π D. 或 3 3 ( )

即 cos B· tan B=sin B=

π 2π ∵0<B<π,∴角 B 的值为 或 . 3 3 二、填空题 2a b c 13.在△ABC 中, - - =________. sin A sin B sin C 答案 0

14.如图,在山腰测得山顶仰角∠CAB=45° ,沿倾斜角为 30° 的斜坡走 1 000 米至 S 点,又 测得山顶仰角∠DSB=75° ,则山高 BC 为________米. 答案 1 000 解析 如图,∠SAB=45° -30° =15° .

又∠SBD=15° ,∴∠ABS=30° ,AS=1 000(米). BS 1 000 由正弦定理可知 = . sin 15° sin 30° ∴BS=2 000sin 15° . ∴BD=BS· sin 75° =2 000sin 15° cos 15° =1 000sin 30° =500(米),且 DC=1 000sin 30° = 500(米). 从而 BC=DC+DB=1 000(米). 1 15.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若其面积 S= (b2+c2-a2),则 A 4 =________. 答案 π 4

1 1 1 解析 S= (b2+c2-a2)= (2bccos A)= bccos A, 4 4 2 1 又 S△ABC= bcsin A,∴sin A=cos A, 2 π 即 tan A=1.又 A 为△ABC 的内角,∴A= . 4 b a tan C 16.在锐角三角形 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 + =6cos C,则 + a b tan A tan C =________. tan B 答案 4

b a 解析 ∵ + =6cos C, a b a2+b2-c2 b a 3 ∴ + =6· ,化简得 a2+b2= c2, a b 2ab 2 则 = = sin Bcos A+sin Acos B tan C tan C + =tan C· tan A tan B sin Asin B tan Csin?A+B? sin2C = sin Asin B cos Csin Asin B c2 =4 a +b -c2 · ab 2ab
2 2

三、解答题 17.设锐角三角形 ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,a=2bsin A. (1)求角 B 的大小; (2)若 a=3 3,c=5,求 b. 解 (1)由 a=2bsin A,根据正弦定理得

1 sin A=2sin Bsin A,所以 sin B= . 2 π 由△ABC 为锐角三角形,得 B= . 6 (2)根据余弦定理,得 b2=a2+c2-2accos B=27+25-45=7, 所以 b= 7. 18.如图所示,我艇在 A 处发现一走私船在方位角 45° 且距离为 12 海里 的 B 处正以每小时 10 海里的速度向方位角 105° 的方向逃窜,我艇立 即以 14 海里/小时的速度追击,求我艇追上走私船所需要的时间. 解 设我艇追上走私船所需要的时间为 t 小时,则

BC=10t,AC=14t,在△ABC 中, 由∠ABC=180° -105° +45° =120° , 根据余弦定理知 (14t)2=(10t)2+122-2· 12· 10tcos 120° , 3 ∴t=2 或 t=- (舍去). 4 答 我艇追上走私船所需要的时间为 2 小时.

19.已知△ABC 的角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,设向量 m=(a,b),n=(sin B,sin A), p=(b-2,a-2). (1)若 m∥n,求证:△ABC 为等腰三角形;

π (2)若 m⊥p,边长 c=2,角 C= ,求△ABC 的面积. 3 (1)证明 ∵m∥n,∴asin A=bsin B, a b 即 a· =b· , 2R 2R 其中 R 是△ABC 外接圆的半径,∴a=b. ∴△ABC 为等腰三角形. (2)解 由题意知 m· p=0,

即 a(b-2)+b(a-2)=0. ∴a+b=ab. 由余弦定理可知,4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab, 即(ab)2-3ab-4=0. ∴ab=4(舍去 ab=-1), 1 1 π ∴S△ABC= absin C= ×4×sin = 3. 2 2 3 cos A-2cos C 2c-a 20.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 = . cos B b (1)求 sin C 的值; sin A

1 (2)若 cos B= ,△ABC 的周长为 5,求 b 的长. 4 解 则 a b c (1)由正弦定理,可设 = = =k, sin A sin B sin C 2c-a 2ksin C-ksin A 2sin C-sin A = = , b ksin B sin B

cos A-2cos C 2sin C-sin A 所以 = , cos B sin B 即(cos A-2cos C)sin B=(2sin C-sin A)cos B, 化简可得 sin(A+B)=2sin(B+C). 又 A+B+C=π,所以 sin C=2sin A. sin C 因此 =2. sin A (2)由 sin C =2,得 c=2a. sin A

1 由余弦定理及 cos B= , 4 1 得 b2=a2+c2-2accos B=a2+4a2-4a2× =4a2. 4 所以 b=2a.又 a+b+c=5,所以 a=1,因此 b=2.

21.如图所示,甲船以每小时 30 2海里的速度向正北方向航行,乙船按固定 方向匀速直线航行.当甲船位于 A1 处时,乙船位于甲船的北偏西 105° 方 向的 B1 处,此时两船相距 20 海里.当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时,乙 船航行到甲船的北偏西 120° 方向的 B2 处,此时两船相距 10 2海里.问乙 船每小时航行多少海里? 解 如图所示,连接 A1B2,由已知

20 A2B2=10 2,A1A2=30 2× =10 2, 60 ∴A1A2=A2B2, 又∠A1A2B2=180° -120° =60° , ∴△A1A2B2 是等边三角形, ∴A1B2=A1A2=10 2. 由已知,A1B1=20,∠B1A1B2=105° -60° =45° , 在△A1B2B1 中,由余弦定理,得
2 2 B1B2 A1B2· cos 45° 2=A1B1+A1B2-2A1B1·

=202+(10 2)2-2×20×10 2× ∴B1B2=10 2.

2 =200. 2

10 2 因此,乙船速度的大小为 ×60=30 2(海里/小时). 20 答 乙船每小时航行 30 2海里.

cos B b 22.在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 =- . cos C 2a+c (1)求角 B 的大小; (2)若 b= 13,a+c=4,求△ABC 的面积. 解 (1)由正弦定理 a b c = = =2R, sin A sin B sin C

得 a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C. 又 cos B b cos B sin B =- ,∴ =- , cos C cos C 2a+c 2sin A+sin C

∴2sin Acos B+sin Ccos B+cos Csin B=0, 即 2sin Acos B+sin(B+C)=0, ∵A+B+C=π,∴2sin Acos B+sin A=0, 1 ∵sin A≠0,∴cos B=- , 2 2π ∵0<B<π,∴B= . 3

2π (2)将 b= 13,a+c=4,B= 代入 b2=a2+c2-2accos B, 3 即 b2=(a+c)2-2ac-2accos B, 1 ∴13=16-2ac(1- ),求得 ac=3. 2 1 3 于是,S△ABC= acsin B= 3. 2 4


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