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衡阳县六中刘碧华


1.已知 f(x)=xlnx-ax,g(x)=-x2-2, (Ⅰ )对一切 x∈ (0,+∞),f(x)≥g(x)恒成立,求实数 a 的取值范围;(Ⅱ )当 a=-1 时,求 函数 f(x)在[m,m+3](m>0)上的最值; 1 2 (Ⅲ )证明:对一切 x∈ (0,+∞),都有 lnx+1> x ? 成立. ex e 2、已知函数 f ( x) ?

2

? a ln x ? 2 (a ? 0) .(Ⅰ)若曲线 y=f (x)在点 P(1,f (1))处的切线 x

与直线 y=x+2 垂直,求函数 y=f (x)的单调区间; (Ⅱ)若对于 ?x ? (0, ??) 都有 f (x)>2(a―1)成立,试求 a 的取值范围; (Ⅲ)记 g (x)=f (x)+x―b(b∈R).当 a=1 时,函数 g (x)在区间[e 1,e]上有两个零点,求 实数 b 的取值范围. 3. 设函数 f (x)=lnx+(x-a)2,a∈R.(Ⅰ)若 a=0,求函数 f (x)在[1,e]上的最小值; (Ⅱ)若函数 f (x)在 [ , 2] 上存在单调递增区间,试求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)求函数 f (x)的极值点. 4、已知函数 f ( x) ?


1 2

1 2 ax ? (2a ? 1) x ? 2 ln x (a ? R) . 2

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 和 x ? 3 处的切线互相平行,求 a 的值; (Ⅱ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)设 g ( x) ? x ? 2 x ,若对任意 x1 ? (0, 2] ,均存在 x2 ? (0, 2] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,
2

求 a 的取值范围. 5、已知函数 f ?x? ?

2 ? a ln x ? 2(a ? 0) x (Ⅰ)若曲线 y=f(x)在点 P(1,f(1))处的切线与直线 y=x+2 垂直,求函数 y=f(x)的单 调区间;
(Ⅱ)若对于任意 x ? ?0,???都有f ?x ? ? 2(a ? 1) 成立,试求 a 的取值范围; (Ⅲ)记 g(x)=f(x)+x-b(b∈R).当 a=1 时,函数 g(x)在区间 e , e 上有两个零点, 求实数 b 的取值范围.

?

?1

?

6、已知函数 f ( x) ?

1 ? ln x . x

1 ) (其中 a ? 0 )上存在极值,求实数 a 的取值范围; 2 k (2)如果当 x ? 1 时,不等式 f ( x) ? 恒成立,求实数 k 的取值范围. x ?1
(1)若函数在区间 (a, a ?

1.解:(Ⅰ)对一切 x ? (0,??), f ( x) ? g ( x) 恒成立,即 x ln x ? ax ? ? x ? 2 恒成立.
2

也就是 a ? ln x ? x ? 令 F ( x ) ? ln x ? x ?

2 在 x ? (0,??) 恒成立.………1 分 x

2 , x

则 F ? ( x) ?

1 2 x 2 ? x ? 2 ( x ? 2)(x ? 1) ?1? 2 ? ? ,……2 分 x x x2 x2

, 1) 在 (0, 上 F ? ( x) ? 0 ,在 (1 ? ?) 上 F ? ( x) ? 0 ,

因此, F (x) 在 x ? 1 处取极小值,也是最小值, 即 Fmin ( x) ? F (1) ? 3 ,所以 a ? 3 .……4 分

f (Ⅱ)当 a ? ?1时, ( x) ? x ln x ? x ,
f ? ( x) ? ln x ? 2 ,由 f ? ( x) ? 0 得 x ?
①当 0 ? m ?

1 . e2

………6 分

1 1 1 时,在 x ?[m, 2 ) 上 f ? ( x) ? 0 ,在 x ? ( 2 , m ? 3] 上 f ? ( x) ? 0 2 e e e

因此, f (x) 在 x ?

1 1 处取得极小值,也是最小值. f min ( x ) ? ? 2 . 2 e e

由于 f (m) ? 0, f (m ? 3) ? (m ? 3)[ln(m ? 3) ? 1] ? 0 因此, f max ( x) ? f (m ? 3) ? (m ? 3)[ln(m ? 3) ? 1] ②当 m ? ………8 分

1 时 , f ' ( x) ? 0 ,因此 f ( x)在[m, m ? 3] 上单调递增, e2

所以 f min ( x) ? f (m) ? m(ln m ? 1) ,

f max ( x) ? f (m ? 3) ? (m ? 3)[ln(m ? 3) ? 1] ……9 分
(Ⅲ)证明:问题等价于证明 x ln x ? x ?

x 2 ? ( x ? (0,?? )) ,………10 分 ex e

由(Ⅱ)知 a ? ?1 时, f ( x) ? x ln x ? x 的最小值是 ? 得,……11 分

1 1 ,当且仅当 x ? 2 时取 2 e e

设 G ( x) ?

x 2 1? x ? ( x ? (0,?? )) ,则 G ? ( x ) ? x ,易知 x e e e

1 Gmax ( x) ? G (1) ? ? ,当且仅当 x ? 1 时取到, ………12 分 e
但?

1 1 ?? , 从而可知对一切 x ? (0, ??) , 2 e e 1 2 ? 成立. ………13 分 e x ex
2 a ? , x2 x x?2 f ' (x )? 2 . 由 x

都有 ln x ? 1 ?

2、 (Ⅰ) 解: 直线 y=x+2 的斜率为 1.函数 f (x)的定义域为 (0, +∞) 因为 f '( x) ? ? ,

? 所 以 f ' (1) ?

2 2 a ? ? ? 1 所 以 a=1. 所 以 f ( x) ? ? l n x ? 2 , . 2 x 1 1

f '( x) ? 0 解得 x>0;由 f '( x) ? 0 解得 0<x<2. 所以 f (x)的单调增区间是(2,+∞),
单调减区间是(0,2).…… 4 分

2 a ax ? 2 2 ? ? , 由 f '( x) ? 0 解 得 x ? ; 由 f ' (x )? 0解 得 2 2 x x x a 2 2 2 2 0 ? x ? .所以 f (x)在区间 ( , ??) 上单调递增,在区间 (0, ) 上单调递减.所以当 x ? a a a a 2 时, 函数 f (x)取得最小值,ymin ? f ( ) . 因为对于 ?x ? (0, ??) 都有 f ( x) ? 2(a ? 1) 成立, a 2 2 2 2 2 所以 f ( ) ? 2(a ? 1)即可. 则 ? a ln ? 2 ? 2(a ? 1) .由 a ln ? a 解得 0 ? a ? .所 2 a a e a a 2 以 a 的取值范围是 (0, ) . ……………… 8 分 e
( Ⅱ ) f '( x) ? ? (Ⅲ) 依题得 g ( x) ?

2 x2 ? x ? 2 ? ln x ? x ? 2 ? b , g(' ) ? x 则 .由 g '( x) ? 0 解得 x>1; x x2

由 g '( x) ? 0 解得 0<x<1.所以函数 g ( x) 在区间(0,1)为减函数,在区间(1,+∞)为

? g (e ?1 ) ? 0 ? - 增 函 数 . 又 因 为 函 数 g ( x) 在 区 间 [e 1 , e] 上 有 两 个 零 点 , 所 以 ? g (e ) ? 0 . 解 得 ? g (1)? 0 ?
1? b ? 2 2 ?e ?1 .所以 b 的取值范围是 (1, ? e ? 1] . e e
……………… 13

分 3.解:(Ⅰ)f (x)的定义域为(0,+∞).

……………… 1 分

因为 f '( x) ?

1 ? 2 x ? 0 ,所以 f (x)在[1,e]上是增函数, x
……………… 3 分

当 x=1 时,f (x)取得最小值 f (1)=1. 所以 f (x)在[1,e]上的最小值为 1. (Ⅱ)解法一: f '( x) ? 设 g (x)=2x2―2ax+1,

1 2 x 2 ? 2ax ? 1 ? 2( x ? a) ? x x
……………… 4 分 …… 5 分

依题意,在区间 [ , 2] 上存在子区间使得不等式 g (x)>0 成立.

1 2

注意到抛物线 g (x)=2x2―2ax+1 开口向上,所以只要 g (2)>0,或 g ( ) ? 0 即可 ……………… 6 分

1 2

9 , 4 1 1 3 由 g ( ) ? 0 ,即 ? a ? 1 ? 0 ,得 a ? , 2 2 2 9 所以 a ? , 4 9 所以实数 a 的取值范围是 (??, ) . 4
由 g (2)>0,即 8―4a+1>0,得 a ? 解法二: f '( x) ?

……………… 8 分

1 2 x 2 ? 2ax ? 1 ? 2( x ? a) ? , x x
1 2

……………… 4 分

依题意得,在区间 [ , 2] 上存在子区间使不等式 2x2―2ax+1>0 成立. 又因为 x>0,所以 2a ? (2 x ? ) . 设 g ( x) ? 2 x ?

1 x

……………… 5 分

1 1 ,所以 2a 小于函数 g (x)在区间 [ , 2] 的最大值. x 2 1 又因为 g '( x) ? 2 ? , x
由 g '( x ) ? 2 ?

1 2 ? 0 解得 x ? ; 2 x 2 1 2 ? 0 解得 0 ? x ? . 2 x 2

由 g '( x ) ? 2 ?

所以函数 g (x)在区间 ( 所以函数 g (x)在 x ?

2 1 2 , 2) 上递增,在区间 ( , ) 上递减. 2 2 2

1 ,或 x=2 处取得最大值. 2

9 1 9 9 , g ( ) ? 3 ,所以 2 a ? , a ? 2 2 2 4 9 所以实数 a 的取值范围是 (??, ) . 4
又 g (2) ? (Ⅲ)因为 f '( x) ?

……………… 8 分

2 x 2 ? 2ax ? 1 ,令 h (x)=2x2―2ax+1 x

①显然,当 a≤0 时,在(0,+∞)上 h (x)>0 恒成立,f ' (x)>0,此时函数 f (x)没有 极值点; ……………… 9 分 ②当 a>0 时, (i)当Δ ≤0,即 0 ? a ? 2 时,在(0,+∞)上 h (x)≥0 恒成立,这时 f ' (x)≥0,此 时,函数 f (x)没有极值点; (ii)当Δ >0 时,即 a ? ……………… 10 分

2 时,

易知,当

a ? a2 ? 2 a ? a2 ? 2 时,h (x)<0,这时 f ' (x)<0; ?x? 2 2 a ? a2 ? 2 a ? a2 ? 2 或x? 时,h (x)>0,这时 f ' (x)>0; 2 2

当0 ? x ?

a ? a2 ? 2 a ? a2 ? 2 所以,当 a ? 2 时, x ? 是函数 f (x)的极大值点; x ? 是函 2 2
数 f (x)的极小值点. 综上,当 a ? 当a ? 小值点. 4.解: f ?( x) ? ax ? (2a ? 1) ? ……………… 12 分

2 时,函数 f (x)没有极值点;

2 时, x ?

a ? a2 ? 2 a ? a2 ? 2 是函数 f (x)的极大值点; x ? 是函数 f (x)的极 2 2

2 ( x ? 0) . ………1 分 x 2 (Ⅰ) f ?(1) ? f ?(3) ,解得 a ? . ………3 分 3 (ax ? 1)( x ? 2) ( x ? 0) . (Ⅱ) f ?( x) ? ………4 分 x ①当 a ? 0 时, x ? 0 , ax ? 1 ? 0 ,
在区间 (0, 2) 上, f ?( x) ? 0 ;在区间 (2, ??) 上 f ?( x) ? 0 , 故 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, 2) ,单调递减区间是 (2, ??) . ②当 0 ? a ? ………5 分

1 1 时, ? 2 , 2 a

在区间 (0, 2) 和 ( , ??) 上, f ?( x) ? 0 ;在区间 (2, ) 上 f ?( x) ? 0 , 故 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, 2) 和 ( , ??) ,单调递减区间是 (2, ) . ……… 6分 ③当 a ?

1 a

1 a

1 a

1 a

1 ( x ? 2) 2 时, f ?( x) ? , 2 2x

故 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, ??) . ………7 分 ④当 a ?

1 1 时, 0 ? ? 2 , 2 a 1 1 在区间 (0, ) 和 (2, ??) 上, f ?( x) ? 0 ;在区间 ( , 2) 上 f ?( x) ? 0 , a a 1 故 f ( x ) 的 单 调 递 增 区 间 是 (0, ) 和 (2, ??) , 单 调 递 减 区 间 是 a 1 ( , 2) . ………8 分 a
………9 分

(Ⅲ)由已知,在 (0, 2] 上有 f ( x)max ? g ( x)max . 由已知, g ( x)max ? 0 ,由(Ⅱ)可知, ①当 a ?

1 时, f ( x ) 在 (0, 2] 上单调递增, 2

故 f ( x)max ? f (2) ? 2a ? 2(2a ? 1) ? 2ln 2 ? ?2a ? 2 ? 2ln 2 , 所以, ?2a ? 2 ? 2 ln 2 ? 0 ,解得 a ? ln 2 ? 1,故 ln 2 ? 1 ? a ? ②当 a ?

1 .……10 分 2

1 1 1 时, f ( x ) 在 (0, ] 上单调递增,在 [ , 2] 上单调递减, 2 a a 1 1 ? 2 ln a . 故 f ( x) max ? f ( ) ? ?2 ? a 2a 1 1 1 由 a ? 可知 ln a ? ln ? ln ? ?1 , 2 ln a ? ?2 , ?2 ln a ? 2 , 2 2 e
所以, ?2 ? 2 ln a ? 0 , f ( x)max ? 0 , 综上所述, a ? ln 2 ? 1. ………12 分

5、(Ⅰ)直线 y=x+2 的斜率为 1, 函数 f(x)的定义域为 ?0,??? 因为 f (x ) ? ?
'

2 a 2 a ? ,所以 f ' ?1? ? ? 2 ? ? ?1 ,所以 a=1 2 x 1 x 1

所以 f ?x? ?

2 x?2 ? ln x ? 2, f ' ?x? ? 2 x x

由f

'

?x ? ? 0 解得 x>2

; 由f

'

?x ? ? 0 解得 0<x<2

所以 f(x)得单调增区间是 ?2,??? ,单调减区间是 ?0,2? ………4 分 (Ⅱ) f (x ) ? ?
'

2 a ax ? 2 ? ? 2 x x x2 2 2 由 f ' ?x ? ? 0 解得 x ? ; 由 f ' ?x ? ? 0 解得 0 ? x ? a a 2 2 所以 f(x)在区间 ( ,?? ) 上单调递增,在区间 (0, ) 上单调递减 a a 2 2 所以当 x ? 时,函数 f(x)取得最小值 y min ? f ( ) a a
因为对于任意 x ? ?0,???都有f ?x ? ? 2(a ? 1) 成立, 所以 f ( ) ? 2(a ? 1) 即可

2 a



2 2 2 2 ? a ln ? 2 ? 2(a ? 1) ,由 a ln ? a 解得 0 ? a ? 2 a a e a
2 e
……… 8 分

所以 a 得取值范围是 (0, ) (Ⅲ)依题意得 g (x ) ?
'

2 x 2 ?x ?2 ? ln x ? 2 ? b ,则 g ' (x ) ? x x2
'

由 g ?x ? ? 0 解得 x>1,由 g ?x ? ? 0 解得 0<x<1 所以函数 g(x)在区间 e , e 上有两个零点,

?

?1

?

? g (e ?1 ) ? 0 ? 所以 ? g (e ) ? 0 ? g (1) ? 0 ?

解得 1 ? b ?

2 ? e ?1 e
……… 12 分

所以 b 得取值范围是 (1, 6、解: (1)因为 f ( x) ?

2 ? e ? 1] e

1 ? ln x ln x , x ? 0 ,则 f ?( x) ? ? 2 , …1 分 x x 当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 . ∴ f ( x) 在 (0,1) 上单调递增;在 (1, ??) 上单调递减, ∴函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得极大值.………3 分

1 ∵函数 f ( x) 在区间 (a, a ? ) (其中 a ? 0 )上存在极值, 2

∴?

?a ? 1, 1 解得 ? 1 2 ?a ? 2 ? 1, ?

? a ? 1 .……….5 分

(2)不等式 f ( x) ? 记 g ( x) ?

k ( x ? 1)(1 ? ln x) ,即为 ?k , x ?1 x

………7 分

( x ? 1)(1 ? ln x) [( x ? 1)(1 ? ln x)]?x ? ( x ? 1)(1 ? ln x) x ? ln x ∴ g ?( x) ? ,…9 分 ? x x2 x2 1 ,∵ x ? 1 ,∴ h '( x) ? 0 ,∴ h( x) 在[1, ??) 上递增, x

令 h( x) ? x ? ln x ,则 h '( x) ?1 ?

∴ [h( x)]min ? h(1) ? 1 ? 0 ,从而 g ?( x) ? 0 ,故 g ( x) 在 [1, ??) 上也单调递增, ∴ [ g ( x)]min ? g (1) ? 2 ,∴ k ? 2 .………12 分


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