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高一数学(空间两条直线的位置关系2)


高一年级数学必修2
2.1 空间中直线与直线之间的位置关系

复习巩固 公理:经过不在同一直线上的三点,有且 只有一个平面。 推论1、 经过一条直线和这条直线外一点, 有且只有一个平面.
A

a

复习巩固

推论2、经过两条相交直线,有且只有一个 平面.
a α b

推论3、 经过两条平行直线,有且只有一 个平面.
α

a b

复习巩固

异面直线: 我们把不同在任何一个平面内的 两条直线.

空间两条直线的位置关系: 相交直线 共面直线 平行直线 异面直线

位置关系 共面情况
平行直线 在同一平面内 异面直线 不同在任何 一平面内

公共点个数
没有

相交直线 在同一平面内 有且只有一个

没有

为了表示异面直线a,b不共面的特 点,作图时,通常用一个或两个平面衬 托,如图.
a
b
A

a
b

a b

探究新知(一)

取一块长方形纸板ABCD,E,F分别为 AB,CD的中点,将纸板沿EF折起,在空间 中直线AD与BC的位置关系如何 ?
D C F D F

A B

C E

B

E

A

平行公理

公理4

平行于同一直线的两条直线 互相平行.

a∥b ? ? 用符号可表示为: ? ? a∥c b∥c ? ?

公理4叫做三线平行公理,它说明空间 平行直线具有传递性.

探究新知(二) 如图,四棱柱ABCD--A′B′C′D′ 的底面是 平行四边形,∠ADC与∠A′D′C′, ∠ADC与∠B′A′D′的两边分别对应平行, 这两组角的大小关系如何 ?
C' B' A' C C' D' C D A

B' A'
B

D' D

B
A

等角定理

空间中如果两个角的两边分别对应 平行,那么这两个角相等或互补. 方向都相同或相反------相等

一边方向相同一边方向相反------互补

两条异面直线的夹角
如图: a, b是两条异面直线, 经过空间任意一点O, 作直线a`// a, b`// b, 我们把直线a`和b`所成的锐角 (或直角)叫做 异面直线 a, b 所成的角 .

b
?

b`
?

b

a

O

a`

a` ? a

O

?

思考:异面直线的夹角的范围是多少呢?

两条异面直线成角的特例

如果两条异面直线所成的角是90°, 则称这两条直线互相垂直.两条互相垂直 的异面直线a,b,记作a⊥b. 在长方体ABCD-A′B′C′D′中,有没有 两条棱所在的直线是互相垂直的异面直线
C'

D'
A' D A

B' C
B

思考?

思考1:在平面几何中,垂直于同一条直 线的两直线互相平行,在空间中这个结 论还成立吗 ?

思考2:如果两条平行直线中有一条与某 一条直线垂直,那么另一条是否也与这条 直线垂直?为什么?

实例讲解

例1 在长方体ABCD-A1B1C1D1中, 已知E、F分别是AB、BC的中点, 求证:EF∥A1C1.
D1

C1 B1

A1

D F A E B

C

练习

在空间四边形ABCD中,E,F,G,H 分别是AB,BC,CD,DA的中点,求证: 四边形EFGH是平行四边形

例2 如图是一个正方体的表面展开图,如果
将它还原为正方体,那么AB,CD,EF,GH这 四条线段所在直线是异面直线的有多少对?
C G D H A H B G C A D

B

F

E F E

C G

A

A C B G

D

D
H E F

H

FB

E

例3 已知E、E1分别为正方体ABCD-A1B1C1D1 的棱CD、C1D1的中点. 求证:∠A1E1B1=∠AEB.
E

C
A

B C1 B1

D

E1 D1 A1

例 4 已知ABCD ? A1 B1C1 D1 是棱长为

?1?正方体的哪些棱所在的直线与直
线BC1是异面直线 ?

a 的正方体 ?图1 ? 2 ? 22 ?.

?2?求异面直线AA1与BC 所成的角; ?3?求异面直线BC1和AC所成的角.D1
A1 B1

C1

D

C

A

B

例5 如图,在四面体ABCD中,E,F分别是棱 AD,BC上的中点,且已AB=CD=4, EF ? 2 2 ,求 异面直线AB和CD所成的角.
A

E D

M G

B

F

C

思考题: 已知异面直线a,b所成的角为60°,直 线l与a,b所成的角都为θ ,那么θ 的 取值范围是什么?

作业:
P48练习:2. P52习题2.1B组:1.

课后作业

1.教材第53页 习题2.1B组第2、3题

2.基础训练


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