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15理科数学分类圆锥曲线


圆锥曲线
x2 y2 2 20(四川).如图,椭圆 E: 2 + 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率是 ,过点 P(0,1)的动直线 l a b 2
与椭圆相交于 A,B 两点,当直线 l 平行与 x 轴时,直线 l 被椭圆 E 截得的线段长为 2 2 . (1)求椭圆 E 的方程; (2) 在平面直角坐标系 xOy 中, 是否存在与点 P 不同的定点

Q, 使得 若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.

QA PA 恒成立? ? QB PB

x2 y 2 ? ? 1; 【答案】 (1) (2)存在,Q 点的坐标为 Q (0, 2) . 4 2

【考点定位】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基 础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分 类与整合等数学思想. 【名师点睛】高考中解几题一般都属于难题的范畴,考生应立足于拿稳第(1)题的分和第 (2)小题的步骤分.解决直线与圆锥曲线相交的问题,一般是将直线方程与圆锥曲线的方程 联立,再根据根与系数的关系解答.本题是一个探索性问题,对这类问题一般是根据特殊情 况找出结果,然后再证明其普遍性.解决本题的关键是通过作 B 的对称点将问题转化. 20(陕西) . (本小题满分 12 分)已知椭圆 ? : 点 ? 到经过两点

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的半焦距为 c ,原 a 2 b2

(I)求椭圆 ? 的离心率;

? c, 0? , ? 0, b ? 的直线的距离为 2 c .
2 2

1

(II)如图, ?? 是圆 ? : ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 求椭圆 ? 的方 程.

5 的一条直径,若椭圆 ? 经过 ? , ? 两点, 2

【答案】 (I)

x2 y 2 3 ? ? 1. ; (II) 12 3 2

试题分析: (I)先写过点 ? c, 0 ? , ? 0, b ? 的直线方程,再计算原点 ? 到该直线的距离,进而 可得椭圆 ? 的离心率; (II) 先由 (I) 知椭圆 ? 的方程, 设 ?? 的方程, 联立 ?

? ? y ? k ? x ? 2? ? 1 , 2 2 2 x ? 4 y ? 4 b ? ?
2

消去 y ,可得 x1 ? x2 和 x1 x2 的值,进而可得 k ,再利用 ?? ? 10 可得 b 的值,进而可得 椭圆 ? 的方程. 试题解析: (I)过点(c,0),(0,b)的直线方程为 bx + cy - bc = 0 , 则原点 O 到直线的距离 d ?

bc b2 ? c 2

?

bc , a

由d =

1 c 3 c ,得 a = 2b = 2 a2 - c2 ,解得离心率 = . 2 a 2
2 2 2

(II)解法一:由(I)知,椭圆 E 的方程为 x + 4 y = 4b . 依题意,圆心 M(-2,1)是线段 AB 的中点,且 | AB|= 10 . 易知,AB 不与 x 轴垂直,设其直线方程为 y = k ( x + 2) +1 ,代入(1)得

(1)

(1 + 4k 2 ) x2 +8k (2k +1) x + 4(2k +1)2 - 4b2 = 0
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则 x1 + x2 = 由 x1 + x2 = - 4 ,得 从而 x1 x2 = 8 - 2b .
2

8k (2k +1) 4(2k +1) 2 - 4b 2 , x x = . 1 2 1 + 4k 2 1 + 4k 2

8k (2k +1) 1 = - 4, 解得 k = . 2 1 + 4k 2

5 ?1? 于是 | AB |? 1 ? ? ? | x1 ? x2 |? 2 ?2?

2

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 x2 ? 10(b 2 ? 2) .

2 2 由 | AB|= 10 ,得 10(b - 2) = 10 ,解得 b = 3 .

故椭圆 E 的方程为

x2 y 2 + =1 . 12 3
(2)

解法二:由(I)知,椭圆 E 的方程为 x 2 + 4 y 2 = 4b2 . 依题意,点 A,B 关于圆心 M(-2,1)对称,且 | AB|= 10 . 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则 x12 + 4 y12 = 4b2 , x22 + 4 y22 = 4b2 ,

两式相减并结合 x1 + x2 = - 4, y1 + y2 = 2, 得 -4( x1 - x2 ) +8 y1 - y2 = 0 . 易知,AB 不与 x 轴垂直,则 x1 ? x2 ,所以 AB 的斜率 k AB = 因此 AB 直线方程为 y =

(

)

y1 - y2 1 = . x1 - x2 2

1 ( x + 2) +1 ,代入(2)得 x2 + 4 x +8 - 2b2 = 0. 2

所以 x1 + x2 = - 4 , x1 x2 = 8 - 2b2 .

5 ?1? 于是 | AB |? 1 ? ? ? | x1 ? x2 |? 2 ?2?

2

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 x2 ? 10(b 2 ? 2) .

2 2 由 | AB|= 10 ,得 10(b - 2) = 10 ,解得 b = 3 .

故椭圆 E 的方程为

x2 y 2 + =1 . 12 3

考点:1、直线方程;2、点到直线的距离公式;3、椭圆的简单几何性质;4、椭圆的方程; 5、圆的方程;6、直线与圆的位置关系;7、直线与圆锥曲线的位置. 20(广东) . (本小题满分 14 分) 已知过原点的动直线 l 与圆 C1 : x2 + y 2 - 6 x + 5 = 0 相交于不同的两点 A , B . (1)求圆 C1 的圆心坐标; (2)求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程; (3 ) 是否存在实数 k , 使得直线 L : y = k ( x - 4) 与曲线 C 只有一个交点: 若存在, 求出 k 的取值范围;若不存在,说明理由. 【答案】 (1)? 3,0 ? ; (2)? x ? ? ? y 2 ?

? ?

3? 2?

2

9?5 ? ? 3 3? ? 2 5 2 5 ? (3)k ? ?? , ? ? ? , ?. ? ? x ? 3? ; 4? 3 7 ? ? ? 4 4? ? 7
2

【解析】 (1)由 x2 ? y 2 ? 6x ? 5 ? 0 得 ? x ? 3? ? y 2 ? 4 ,∴ 圆 C1 的圆心坐标为 ? 3,0 ? ; (2)设 M ? x, y ? ,则

∵ 点 M 为弦 AB 中点即 C1M ? AB ,∴ kC1M ? k AB ? ?1 即 ∴ 线段 AB 的中点 M 的轨迹的方程为 ? x ? ? ? y 2 ?

y y ? ? ?1 , x ?3 x

? ?

3? 2?

2

9?5 ? ? ? x ? 3? ; 4? 3 ?

(3) 由 (2) 知点 M 的轨迹是以 C ? ,0 ? 为圆心 r ?

?3 ?2

? ?

3 为半径的部分圆弧 EF(如下图所示, 2

不包括两端点) ,且 E ? ,

?5 2 5? ?5 2 5 ? ,F ? , ? ,又直线 L : y ? k ? x ? 4? 过定点 D ? 4,0? , ? ? ?3 3 ? ?3 ? 3 ? ? ? ?
L

当 直 线 L 与 圆 C

相 切 时 , 由

?3 ? k ? ? 4? ? 0 ?2 ? k ?1
2 2

y

?

3 3 得 k?? , 又 4 2
E

k DE ? ?k DF

? 2 5? 0??? ? D 3 ? 2 5 ? 3 3? ? 2 5 2 5 ? ? ?? ? , 结合上图可知当 k ? ?? , ? ? ? 直 , ? 时, x 5 O? 4 4 C? ? 7 7 7 ? 4? 3
F

线 L : y ? k ? x ? 4? 与曲线 C 只有一个交点. 【考点定位】本题考查圆的标准方程、轨迹方程、直线斜率等知识与数形结合思想等应用, 属于中高档题.

(20)(课标 1)(本小题满分 12 分)
x2 在直角坐标系 xoy 中,曲线 C:y= 与直线 y ? kx ? a ( a >0)交与 M,N 两点, 4

(Ⅰ)当 k=0 时,分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程; (Ⅱ)y 轴上是否存在点 P,使得当 k 变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由。 【答案】 (Ⅰ) ax ? y ? a ? 0 或 ax ? y ? a ? 0 (Ⅱ)存在 试题分析: (Ⅰ)先求出 M,N 的坐标,再利用导数求出 M,N.(Ⅱ)先作出判定, 再利用设而不求思想即将 y ? kx ? a 代入曲线 C 的方程整理成关于 x 的一元二次 方程,设出 M,N 的坐标和 P 点坐标,利用设而不求思想,将直线 PM,PN 的斜率 之和用 a 表示出来,利用直线 PM,PN 的斜率为 0,即可求出 a , b 关系,从而找出 适合条件的 P 点坐标.

试题解析: (Ⅰ) 由题设可得 M (2 a , a) ,N (?2 2, a) , 或 M (?2 2, a) ,N (2 a , a) . ∵ y? ? 为
1 x2 x ,故 y ? 在 x = 2 2a 处的到数值为 a ,C 在 (2 2a, a) 处的切线方程 2 4

y ? a ? a ( x ? 2 a ) ,即 ax ? y ? a ? 0 .
x2 故 y ? 在 x =- 2 2a 处的到数值为- a ,C 在 (?2 2a, a) 处的切线方程为 4

y ? a ? ? a ( x ? 2 a ) ,即 ax ? y ? a ? 0 .
故所求切线方程为 ax ? y ? a ? 0 或 ax ? y ? a ? 0 . (Ⅱ)存在符合题意的点,证明如下: 设 P(0,b)为复合题意得点, M ( x1, y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,直线 PM,PN 的斜率分 别为 k1 , k2 . 将 y ? kx ? a 代入 C 得方程整理得 x2 ? 4kx ? 4a ? 0 . ∴ x1 ? x2 ? 4k , x1x2 ? ?4a . ∴ k1 ? k2 ?
y1 ? b y2 ? b 2kx1 x2 ? (a ? b)( x1 ? x2 ) k ( a ? b) = = . ? a x1 x2 x1 x2

……5 分

当 b ? ? a 时,有 k1 ? k2 =0,则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补, 故∠OPM=∠OPN,所以 P(0, ?a) 符合题意. ……12 分

考点:抛物线的切线;直线与抛物线位置关系;探索新问题;运算求解能力 19. (北京) (本小题 14 分)
2 x2 y 2 1? 和点 A? m , n ? ? m ≠ 0? 都 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0? 的离心率为 , 点 P?0, 2 a b

在椭圆 C 上,直线 PA 交 x 轴于点 M . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程,并求点 M 的坐标(用 m , n 表示) ; (Ⅱ)设 O 为原点,点 B 与点 A 关于 x 轴对称,直线 PB 交 x 轴于点 N .问: y 轴上是 否存在点 Q ,使得 ?OQM ? ?ONQ ?若存在,求点 Q 的坐标;若不存在,说明理由. 【解析】

试题分析:椭圆 C :

2 x2 y 2 1? 在椭圆上,利用 ,点 P ? 0 , ? 2 ? 1? a ? b ? 0? 的离心率为 2 2 a b
2

条件列方程组,解出待定系数 a

1? 和点 ? 2,b 2 ? 1 ,写出椭圆方程;由点 P ? 0 ,

A? m , n ? ? m ≠ 0? ,写出 PA 直线方程,令 y ? 0 求出 x 值,写出直线与 x 轴交点坐标;
由点 P(0,1),B(m ,?n ),写出直线 PB 的方程,令 y ? 0 求出 x 值,写出点 N 的坐标, 设 Q(0,y 0 ),

?OQM ? ?ONQ ,? tan ?OQM ? tan ?ONQ 求出 tan ?OQM 和
使得 2)

tan ?ONQ ,利用二者相等,求出 y 0 ? ? 2 ,则存在点 Q( 0, ?
?OQM ? ?ONQ .

试题解析: (Ⅰ)由于椭圆 C :

2 x2 y 2 1? 且离心率为 , ? 2 ? 1? a ? b ? 0? 过点 P ? 0 , 2 2 a b

1

b2
x2
2

? 1,b 2 ? 1, e 2 ?

c2 a2 ? b 2 1 1 ? ? 1 ? 2 ? , a 2 ? 2 ,椭圆 C 的方程为 2 2 2 a a a

? y 2 ? 1.

P(0,1),A(m ,n ),直线 PA 的方程为: y ?

n ?1 m x ? 1 ,令 y ? 0,x ? , m 1?n

? M( ,0); 1?n

m

考点:1.求椭圆方程;2.求直线方程及与坐标轴的交点;3.存在性问题. 19. (天津) (本小题满分 14 分)已知椭圆

x2 y 2 + =1(a > b > 0) 的左焦点为 F(-c,0) , a 2 b2

离心率为

b4 3 2 2 ,点 M 在椭圆上且位于第一象限,直线 FM 被圆 x +y = 截得的线段的长 4 3

为 c, |FM|=

4 3 . 3

(I)求直线 FM 的斜率; (II)求椭圆的方程; (III)设动点 P 在椭圆上,若直线 FP 的斜率大于 2 ,求直线 OP(O 为原点)的斜率的取 值范围. 【答案】(I) 【解析】 试题分析:(I) 由椭圆知识先求出 a, b, c 的关系,设直线直线 FM 的方程为 y ? k ( x ? c) ,

? 2 3? ? 2 2 3? x2 y2 3 , ? ? 1 ;(III) ? ??, ? ; (II) ? ? ?. 3 3 3 3 2 3 ? ? ? ?

求出圆心到直线的距离, 由勾股定理可求斜率 k 的值; (II)由(I)设椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1, 3c 2 2c 2

直线与椭圆方程联立, 求出点 M 的坐标, 由 FM ?

4 3 可求出 c , 从而可求椭圆方程.(III) 3

设出直线 FP : y ? t ( x ? 1) ,与椭圆方程联立,求得 t ? 即可求直线 OP 的斜率的取值范围. 试题解析:(I) 由已知有

6 ? 2 x2 ? 2 ,求出 x 的范围, 3( x ? 1)2

c2 1 ? ,又由 a 2 ? b2 ? c2 ,可得 a 2 ? 3c 2 , b2 ? 2c 2 , 2 a 3

设直线 FM 的斜率为 k (k ? 0) ,则直线 FM 的方程为 y ? k ( x ? c) ,由已知有

? kc ? ? c ? ? b ? 3 . ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ,解得 k ? 3 ? k ?1 ? ? 2 ? ? 2 ?

2

2

2

x2 y2 (II)由(I)得椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 ,直线 FM 的方程为 y ? k ( x ? c) ,两个方程联立,消 3c 2c
去 y ,整理得

5 3x 2 ? 2cx ? 5c 2 ? 0 ,解得 x ? ? c 或 x ? c ,因为点 M 在第一象限,可得 M 的坐标为 3

? 2 3 ? ?2 3 ? 4 3 c ? ,由 FM ? (c ? c)2 ? ? ,解得 c ? 1 ,所以椭圆方程为 c ? 0? ? ? c, 3 ? 3 3 ? ? ?

2

x2 y2 ? ?1 3 2
(III)设点 P 的坐标为 ( x, y ) ,直线 FP 的斜率为 t ,得 t ?

y x ?1 ) ( x ? ?1 ) , ,即 y ? t ( x ?1

? y ? t ( x ? 1) ? 2 2 2 与椭圆方程联立 ? x 2 y 2 ,消去 y ,整理得 2 x ? 3t ( x ? 1) ? 6 ,又由已知,得 ? ?1 ? 2 ?3
3 6 ? 2 x2 t? ? 2 ,解得 ? ? x ? ?1 或 ?1 ? x ? 0 , 2 2 3( x ? 1)
设直线 OP 的斜率为 m ,得 m ?

y ,即 y ? mx( x ? 0) ,与椭圆方程联立,整理可得 x

m2 ?

2 2 ? . x2 3

①当 x ? ? ? , ?1? 时,有 y ? t ( x ? 1) ? 0 ,因此 m ? 0 ,于是 m ?

? 3 ? 2

? ?

2 2 ? ,得 x2 3

? 2 2 3? m?? , ? 3 ? ? 3
②当 x ? ? ?1,0? 时,有 y ? t ( x ? 1) ? 0 ,因此 m ? 0 ,于是 m ? ?

2 2 ? ,得 x2 3

? 2 3? m ? ? ??, ? ? 3 ? ?
综上,直线 OP 的斜率的取值范围是 ? ??, ?

? ?

2 3? ? 3 ?

? 2 2 3? , ? ? 3 ? ? 3

考点:1.椭圆的标准方程和几何性质;2.直线和圆的位置关系;3.一元二次不等式. 21、 (上海)(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分. 已知椭圆 x ? 2 y ? 1 ,过原点的两条直线 l1 和 l2 分别于椭圆交于 ? 、 ? 和 C 、 D ,记得
2 2

到的平行四边形 ?? CD 的面积为 S . ( 1 )设 ? ? x1, y1 ? , C ? x2 , y2 ? ,用 ? 、 C 的坐标表示点 C 到直线 l1 的距离,并证明

1 (2)设 l1 与 l2 的斜率之积为 ? ,求面积 S 的值. S ? 2 x1 y1 ? x2 y1 ; 2
【答案】 (1)详见解析(2) S ? 2

? 2k 2 ? 1? 2k x1 ? x2 2k 2 ? 1 由 ?1? , S ? 2 x1 y2 ? x2 y1 ? 2 , ? x2 ? kx1 ? ? x1 x2 ? 2k k k 1 ? 2k 2 ? 2k 2 ? 1
整理得 S ? 2 . 【考点定位】直线与椭圆位置关系

(21) (重庆) (本小题满分 12 分, (I)小问 5 分, (II)小问 7 分) 如题(21)图,椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、右焦点分别为 F1 , F2 , 过 F2 的直线 a 2 b2

交椭圆于 P, Q 两点,且 PQ ? PF1 (I)若 PF1 ? 2 ? 2, PF2 ? 2 ? 2 求椭圆的标准方程 (II)若 PF1 ? PQ , 求椭圆的离心率 e. 18. ( 江 苏 ) ( 本 小 题 满 分 16 分 ) 如 图 , 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 已 知 椭 圆

x2 y 2 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 ,且右焦点 F 到左 2 a b 2
准线 l 的距离为 3. (1)求椭圆的标准方程; (2)过 F 的直线与椭圆交于 A,B 两点,线段 AB 的垂直平分线分别交直线 l 和 AB 于点 P,C,若 PC=2AB,求直线 AB 的方程.

【答案】 (1)

x2 ? y 2 ? 1(2) y ? x ? 1 或 y ? ? x ? 1 . 2

(2)当 ?? ? x 轴时, ?? ? 2 ,又 C? ? 3 ,不合题意. 当 ?? 与 x 轴不垂直时,设直线 ?? 的方程为 y ? k ? x ?1? , ? ? x1, y1 ? , ? ? x2 , y2 ? , 将 ?? 的方程代入椭圆方程,得 1 ? 2k

?

2

?x

2

? 4k 2 x ? 2 ? k 2 ? 1? ? 0 ,

则x

1,2

?

2k 2 ? 2 ?1 ? k 2 ? 1 ? 2k 2
2

? 2k 2 ?k ? , , C 的坐标为 ? 2 2 ? ,且 ? 1 ? 2k 1 ? 2 k ?
2

?? ?

? x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ?

?

?1 ? k ? ? x
2

2

? x1 ? ?
2

2 2 ?1 ? k 2 ? 1 ? 2k 2



若 k ? 0 ,则线段 ?? 的垂直平分线为 y 轴,与左准线平行,不合题意. 从而 k ? 0 ,故直线 ? C 的方程为 y ?

k 1? 2k 2 ? ? ? x ? ? ?, 1 ? 2k 2 k ? 1 ? 2k 2 ?

? 2 ? 3k 2 ? 1? 1 ? k 2 5k 2 ? 2 ? ? ? 则 ? 点的坐标为 ?2, ,从而 ?C ? . ? k ?1 ? 2k 2 ? ? k ?1 ? 2k 2 ? ? ?
因为 ?C ? 2 ?? ,所以

2 ? 3k 2 ? 1? 1 ? k 2 k ?1 ? 2k 2 ?

?

4 2 ?1 ? k 2 ? 1 ? 2k 2

,解得 k ? ?1 .

此时直线 ?? 方程为 y ? x ? 1 或 y ? ? x ? 1 . 考点:椭圆方程,直线与椭圆位置关系

x2 y 2 2 18. (福建) .已知椭圆 E: 2 + 2 = 1(a > b > 0) 过点 (0, 2) ,且离心率为 . a b 2
(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设直线 x = my - 1 ,(m

9 R)交椭圆 E 于 A,B 两点,判断点 G (- ,0)与以线段 AB 为 4

直径的圆的位置关系,并说明理由.

9 x2 y 2 + = 1 ;(Ⅱ) G (- ,0)在以 AB 为直径的圆外. 【答案】(Ⅰ) 4 4 2

G 在圆上.
试题解析:解法一:(Ⅰ)由已知得

ì b = 2, ? ì a =2 ? ? 2 ? ? c 解得 = , íb= 2 í 2 ? ? a ? ? a 2 = b2 + c2 , ?c= 2 ? ?

所以椭圆 E 的方程为

x2 y 2 + =1 . 4 2



|AB|2 5 25 5m2 3(m2 +1) 25 17m2 + 2 2 |GH| = my0 + (m +1) y1 y2 + = + = >0 4 2 16 2(m2 + 2) m2 + 2 16 16(m2 + 2)
2

所以 |GH|>

|AB| 9 ,故 G (- ,0)在以 AB 为直径的圆外. 2 4 9 4 9 4

解法二:(Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)设点 A( x1 y1 ), B( x2 , y2 ), ,则 GA = ( x1 + , y1 ), GB = ( x2 + , y2 ).

ì x = my - 1 ? 2m 3 由 í x2 y 2 得(m2 + 2) y 2 - 2my - 3 = 0, 所以 y1 + y 2 = 2 , y1 y 2 = 2 , m +2 m +2 ? + =1 ? ? 4 2
从而 GA GB = ( x1 + )( x2 + ) + y1 y2 = (my1 + )(my 2 + ) + y1 y2

9 4

9 4

5 4

5 4

5 25 5m2 3(m2 +1) 25 17m2 + 2 = (m2 +1) y1 y2 + m( y1 + y2 ) + = + = >0 4 16 2(m2 + 2) m2 + 2 16 16(m2 + 2)
所以 cos狁 GA,GB > 0, 又GA, GB 不共线,所以 ?AGB 为锐角. 故点 G (- ,0)在以 AB 为直径的圆外. 考点:1、椭圆的标准方程;2、直线和椭圆的位置关系;3、点和圆的位置关系. 19.( (浙江满分 15 分)已知椭圆

9 4

x2 1 ? y 2 ? 1 上两个不同的点 A,B 关于直线 y=mx+ 对称. 2 2

(1)求实数 m 的取值范围; (2)求 AOB 面积的最大值(O 为坐标原点) .

【答案】 (1) m ? ?

2 6 6 或m ? ; (2) . 2 3 3

? x2 ? y2 ? 1 ? 1 ?2 试题分析: (1)可设直线 AB 的方程为 y ? ? x ? b ,从而可知 ? 有两个不同 m ?y ? ? 1 x ?b ? m ?
的解,再由 AB 中点也在直线上,即可得到关于 m 的不等式,从而求解; (2)令 t ?

1 ,可 m

考点:1.直线与椭圆的位置关系;2.点到直线距离公式;3.求函数的最值. 21(湖北) . (本小题满分 14 分) 一种作图工具如图 1 所示. O 是滑槽 AB 的中点,短杆 ON 可绕 O 转动,长杆 MN 通过 N 处铰链与 ON 连接,MN 上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑动,且 DN ? ON ? 1 , MN ? 3 .当栓 子 D 在滑槽 AB 内作往复运动时,带动 ,M 处的 ..N 绕 O 转动一周(D 不动时,N 也不动) 笔尖画出的曲线记为 C.以 O 为原点, AB 所在的直线为 x 轴建立如图 2 所示的平面直 角坐标系. (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)设动直线 l 与两定直线 l1 : x ? 2 y ? 0 和 l2 : x ? 2 y ? 0 分别交于 P, Q 两点.若直线 l 总与曲线 C 有且只有一个公共点,试探究:△OPQ 的面积是否存在最小值?若 存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.

【答案】 (Ⅰ) 【解析】

x2 y 2 (Ⅱ)存在最小值 8. ? ?1; 16 4

试题解析: (Ⅰ)设点 D(t , 0) (| t |? 2) , N ( x0 , y0 ), M ( x, y ) ,依题意,

MD ? 2 DN ,且 | DN |?| ON |? 1 ,
2 2 ? ?( x0 ? t ) ? y0 ? 1, 所以 (t ? x, ? y) ? 2( x0 ? t , y0 ) ,且 ? 2 2 ? ? x0 ? y0 ? 1.

?t ? x ? 2 x0 ? 2t , 即? 且 t (t ? 2 x0 ) ? 0. ? y ? ? 2 y0 .

由于当点 D 不动时,点 N 也不动,所以 t 不恒等于 0,

x2 y 2 x y 2 2 ? y0 ? 1 ,可得 ? 于是 t ? 2 x0 ,故 x0 ? , y0 ? ? ,代入 x0 ?1 , 4 2 16 4
即所求的曲线 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 16 4

1 (Ⅱ) (1)当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 为 x ? 4 或 x ? ?4 ,都有 S?OPQ ? ? 4 ? 4 ? 8 . 2 1 (2)当直线 l 的斜率存在时,设直线 l : y ? kx ? m (k ? ? ) , 2

? y ? kx ? m, 由? 2 2 ? x ? 4 y ? 16,

消去 y ,可得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ? 16 ? 0 .

因为直线 l 总与椭圆 C 有且只有一个公共点, 所以 ? ? 64k 2 m2 ? 4(1 ? 4k 2 )(4m2 ? 16) ? 0 ,即 m2 ? 16k 2 ? 4 .
? y ? kx ? m, 2m m ?2m m 又由 ? 可得 P( , ) ;同理可得 Q( , ). x ? 2 y ? 0, 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 2k ?



由原点 O 到直线 PQ 的距离为 d ?

|m| 1? k2

和 | PQ |? 1 ? k 2 | xP ? xQ | ,可得 ②

S?OPQ ?

1 1 1 2m 2m 2m 2 . | PQ | ?d ? | m || xP ? xQ |? ? | m | ? ? 2 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 4k 2

将①代入②得, S?OPQ

4k 2 ? 1 2m 2 . ? ?8 2 1 ? 4k 2 4k ? 1

当 k2 ?

4k 2 ? 1 2 1 时, S?OPQ ? 8( 2 ) ? 8(1 ? 2 ) ? 8 ; 4 4k ? 1 4k ? 1 4k 2 ? 1 2 1 时, S?OPQ ? 8( ) ? 8(?1 ? ). 2 4 1 ? 4k 1 ? 4k 2
1 2 2 ,则 0 ? 1 ? 4k 2 ? 1 , ? 2 ,所以 S?OPQ ? 8(?1 ? )?8, 2 4 1 ? 4k 1 ? 4k 2

当 0 ? k2 ? 因 0 ? k2 ?

当且仅当 k ? 0 时取等号. 所以当 k ? 0 时, S?OPQ 的最小值为 8. 综合(1) (2)可知,当直线 l 与椭圆 C 在四个顶点处相切时,△OPQ 的面积取得最小值 8. 考点:1 椭圆的标准方程、几何性质,2.直线与圆、椭圆的位置关系,最值,


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