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高中新课程数学(新课标人教A版)选修2-2《1.2.1几个常用函数的导数》导学案


§ 1.2.1 几个常用函数导数
学习目标
1.掌握四个公式,理解公式的证明过程; 2.学会利用公式,求一些函数的导数; 3.理解变化率的概念,解决一些物理上的简单问题.

学习过程
一、课前准备 (预习教材,找出疑惑之处) 复习 1:导数的几何意义是:曲线 y ? f ( x) 上点( x0 , f ( x0 ) )处的切线的斜率.因此,如果

y ? f ( x) 在点 x0 可导,则曲线 y ? f ( x) 在点( x0 , f ( x0 ) )处的切线方程为
复习 2:求函数 y ? f ( x) 的导数的一般方法: (1)求函数的改变量 ?y ? ?y (2)求平均变化率 ? ?x (3)取极限,得导数 y / = f ?( x) ? lim =
?x ?0

?y ?x

二、新课导学 学习探究 探究任务一:函数 y ? f ( x) ? c 的导数. 问题:如何求函数 y ? f ( x) ? c 的导数

新知: y ? ? 0 表示函数 y ? c 图象上每一点处的切线斜率为 若 y ? c 表示路程关于时间的函数,则 y ? ? ,可以解释为 即一直处于静止状态. 试试: 求函数 y ? f ( x) ? x 的导数

.

反思: y ? ? 1 表示函数 y ? x 图象上每一点处的切线斜率为 . 若 y ? x 表示路程关于时间的函数,则 y ? ? ,可以解释为 探究任务二:在同一平面直角坐标系中,画出函数 y ? 2 x, y ? 3x, y ? 4 x 的图象,并根据导数 定义,求它们的导数. (1)从图象上看,它们的导数分别表示什么? (2)这三个函数中,哪一个增加得最快?哪一个增加得最慢? (3)函数 y ? kx(k ? 0) 增(减)的快慢与什么有关?

典型例题
例 1 求函数 y ? f ( x) ?

1 的导数 x

变式: 求函数 y ? f ( x) ? x2 的导数

小结:利用定义求导法是最基本的方法,必须熟记求导的三个步骤:作差,求商,取极限.

例 2 画出函数 y ? 方程.

1 的图象.根据图象,描述它的变化情况,并求出曲线在点 (1,1) 处的切线 x

变式 1:求出曲线在点 (1, 2) 处的切线方程.

小结:利用导数求切线方程时,一定要判断所给点是否为切点,它们的求法是不同的.

动手试试 练 1. 求曲线 y ? 2 x2 ? 1 的斜率等于 4 的切线方程.

练 2. 求函数 y ? f ( x) ? x 的导数

三、总结提升 学习小结 1. 利 用 定 义 求 导 法 是 最 基 本 的 方 法 , 必 须 熟 记 求 导 的 三 个 步 骤: , , . 2. 利用导数求切线方程时,一定要判断所给点是否为切点,一定要记住它们的求法是不同

的.

知识拓展 微积分的诞生具有划时代的意义,是数学史上的分水岭和转折点.关于微积分的地位, 恩格斯是这样评价的: “在一切理论成就中, 未必再有什么像 17 世纪下半叶微积分的发现那 样被看作人类精神的纯粹的和惟一的功绩,那正是在这里.”

学习评价

当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. f ( x) ? 0 的导数是( ) A.0 B.1 C.不存在 D.不确定 2 2.已知 f ( x) ? x ,则 f ?(3) ? ( ) A.0 B.2 x C.6 D.9
3. 在曲线 y ? x 2 上的切线的倾斜角为 A. (0, 0) 4. 过曲线 y ? B. (2, 4)

? 的点为( 4 1 1 1 1 C. ( , ) D. ( , ) 4 16 2 4



1 上点 (1,1) 且与过这点的切线平行的直线方程是 x 5. 物体的运动方程为 s ? t 3 ,则物体在 t ? 1 时的速度为 为 .

,在 t ? 4 时的速度

课后作业
1. 已知圆面积 S ? ? r 2 ,根据导数定义求 S ?(r ) .


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