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2.3-2《等差数列的前n项和二》(上课)


复习回顾
等差数列的前n项和公式:

n(a1 ? an ) 形式1: Sn ? 2
形式2: n(n ? 1) Sn ? na1 ? d 2

1.将等差数列前n项和公式

看作是一个关于n的函数,这个函数 有什么特点?

n(n ? 1)d S n ? na1 ? 2

d 2 d Sn ? n ? (a1 ? )n 2 2

当d≠0时,Sn是常数项为零的二次函数

等差数列的前n项的最值问题 例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值. 解法1 由S3=S11得 ∴ d=-2
1 1 3 ? 13 ? ? 3 ? 2 ? d ? 11 ? 13 ? ? 11 ? 10 ? d 2 2

1 ? Sn ? 13n ? n( n ? 1) ? ( ?2) 2 2 2 ? ? n ? 14n ? ?(n ? 7) ? 49
∴当n=7时,Sn取最大值49.

等差数列的前n项的最值问题 例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值. 解法2 由S3=S11得

a4+a5+a6+……+a11=0 而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8
∴a7+a8=0 又d=-2<0,a1=13>0 ∴a7>0,a8<0

∴当n=7时,Sn取最大值49.

练习1
2 4 已知等差数列 5, 4 , 3 , .... 7 7

的前n项的和为Sn,求使得Sn最大
的序号n的值.

讲解范例: 例2. 已知数列{an}的前n项和为 1 2 S n ? n ? n, 2
求这个数列的通项公式. 这个数列 是等差数列吗?如果是,它的首项 与公差分别是什么?

练习2:
已知数列{an}的前n项和为

1 2 2 S n ? n ? n ? 3, 4 3
求该数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗?

结论:
等差数列前n项和的最值问题有两种方法:

(1) 当 >0,d<0,前n项和有最大值. 1 可由an≥0,且 +1 ≤0,求得n的值; n 当 <0,d>0,前n项和有最小值. 1 可由 ≤0,且 +1≥0,求得n的值.

a

a an

a

an

d d 2 ( 2) 由 S n ? n ? (a1 ? )n 利用二次函 2 2 数配方法求得最值时n的值.

1.根据等差数列前n项和,求通项公式.

n?1 ?a1 an ? ? ? S n ? S n ?1 n ? 2
2、结合二次函数图象和性质求 的最值.

d 2 d S n ? n ? (a1 ? ) n 2 2


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