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光的折射(第4节)


光的干涉

本章内容
光的反射

Contents

chapter 19

平面镜、球面镜成像 光的折射 薄透镜成像 简单光学仪器 光的本性

有人在游泳池边上竖直向下观察池水的深度, 看上去池水的视深约为h′。 已知水的折射率n=4/3,那么,水的实际深度约为__

_________。

甲介质 乙介质

h tan i ? h? tan r h sin i ? h? sin r n sin i ? sin r
h h? ? n

视深=实深/折射率

像距=物距×像方折射率/物方折射率

光导纤维
利用光的全反射,可制成光导纤维。光从光导纤维一端 射入后,在传播过程中经过多次全反射,最终从另一端射 出。由于发生的是全反射,因此传播过程中的能量损耗非 常小。用光导纤维传输信息,既经济又快捷。

i

折射的特性

n1 sin i1 ? n2 sin i2
? n1 ? n2 时, i1 ? i2 ?

光密介质— 折射率大的介质; 光疏介质— 折射率小的介质;

i1 i2

n1 n2

n1 ? n2 时, i1 ? i2
包裹层 n1

? n2 ? ? ? i1 ? ic ? arcsin ? ? n ? 时, 全部反射 ? 1?
? 光纤

n2

包裹层 n1

n1 ? n2
n

n2

半径

一个长 l,折射率为 n的透明长方体AB放在空气中,若从A端以某 一入射角入射的光,恰能在长方体的上、下两侧面发生多次全反 射后从 B 端射出,则光通过长方体的时间是多少?

? 光在上、下侧面恰能发生全反射,入射角等于临界角

1 sin i c ? n

?由折射率 n 即可算出临界角及光速,根据光在其中的实际路 程即可算出通过透明体的时间

d A ic l B

? 每反射一次,光在透明体内走过的距离 s 和经历的时间 Δt 分 别为

d s? =nd sin i c s n Δt ? ? s v c

n Δt ? d c
n2 n2 Nd ? l t ? N ? Δt ? c c

2

? 设光从一端至另一端发生 N 次全反射,即 l=Nd
? 经历的总时间 t d

A ic

d l

B

? 由反射光线的对称性(如图所示):

C

l AC ? sin ic
AC t? ? v l sin i c n 2 ? l c c n

m′ 3′ 2′

1′
A ic 1 2

3

m

B

? 光线沿轴线方向的速度不变.(如图所示):
l l n2 t? ? ? l c v sin i c c sin i c n

速度分解更 方便! d A ic l

B

如图所示,一条长L=500m的光导纤维用折射率为n= 2 的材料制成。 一细束激光由其左端的中心点以i=45? 的入射角射入光导纤维内,经
过一系列全反射后从右端射出。求: (1)该激光在光导纤维中的速度v 是多大? (2)该激光在光导纤维中传输所经历的时间是多少?
参考解答:(1)由 (2)由

n?

sin i sin r

n? c υ



v=2.1×108m/s;

得折射角r=30? ,因此光在光导纤维中传输通过的总路程为

s?

L ? 577m,经历的时间 cos r

t?

s 2.7×10-6s。 ? υ

i

虹和霓是色散形成的自然现象.雨后, 天空中悬浮着许多小水珠.虹的产生 是由于阳光射入水珠,发生两次折射

和一次反射的结果.虹的红色在外侧,
紫色在内侧的弧形彩带.霓是由于阳 光在水珠里经过两次反射和两次折

射后再射入人们的眼中形成的,由于
多了一次反射,能量损失较多,霓比 虹暗一些,有时雨后的天空中可以同 时看到虹和霓.

虹和霓是色散形成的自然现象.雨后,天空中悬浮着许多小水珠.虹的产生 是由于阳光射入水珠,发生两次折射和一次反射的结果.虹的红色在外侧, 紫色在内侧的弧形彩带.霓是由于阳光在水珠里经过两次反射和两次折 射后再射入人们的眼中形成的,由于多了一次反射,能量损失较多,霓比虹 暗一些,有时雨后的天空中可以同时看到虹和霓.

太阳光 太阳光

紫 40

o

42o



红50.5

o

54o



z

x
54o 50.5o 42o 40o

y

雨过天晴,人们常看到天空中出现彩虹,它是由阳光照射到空 中弥漫的水珠上时出现的现象。在说明这个现象时,需要分析 光线射入水珠后的光路。 一细束光线射入水珠,水珠可视为一个半径为R的球,球心O 到入射光线的垂直距离为d,水的折射率为n。 (1)在图上画出该束光线射入水珠内经一次反射后又从水珠 中射出的光路图; (2)求这束光线从射向水珠到射出水珠每一次偏转的角度。

R

d O

一细束光线射入水珠,水珠可视为一个半径为 R的球,球

心O到入射光线的垂直距离为d,水的折射率为n。
(1)在图上画出该束光线射入水珠内经一次反射后又从水 珠中射出的光路图; (2)求这束光线从射向水珠到射出水珠每一次偏转的角度。

R

d O

(1)光路图见图1. (2)以i、r 表示入射光的入射角和折射角. 由折射定律,有 sini=nsinr

i r r r
Or

i

δ1
r r
r
Or

δ2

i
图1

δ3

i

图2

以δ1、 δ2 、 δ3表示每一次偏转的角度,如图所示,由反射定 律、折射定律和几何关系,有 sini=d/R δ1=i-r δ2=π-2 r δ3=i-r d d d d d δ3 ? sin?1 ? sin?1 δ1 ? sin?1 ? sin?1 δ2 ? π? 2 sin?1 R nR R nR nR

例题 : 光线在垂直于玻璃半园柱体轴的平面内,以 45o角射在半 圆柱体的平面上(图示),玻璃折射率为 2 ,试问光线在何处 离开圆柱体表面?

分析及解答:
分析— 光线发生两次折射 在下表面要考虑可能 存在的全反射

45o

?1? ? ic ? arcsin ? ? ? 45 ?n?

n? 2

上表面的折射角:

下表面的入射角 b 随入射点变化而变化
? ?

? sin 45o ? o ? a ? arcsin ? ? 30 ? n ? ? ?

? ? 120 -j A ?A点: b A ? 180 -?j A+90 -a ?

b A ? ic ? 45?

j A ? 75?
? C点:

45o

b C ? 180?-?180?-jC+90?+a ? D ? j C ? 120? a b C ? ic ? 45?
?

jA bA

O

E

bC jC
B

C

j c ? 165

题目答案: 75

?

? j ? 165

?

A

如图所示,平行单色光以45? 的入射角,射到半圆形玻璃砖的上表面AB上。 玻璃砖的半径为R,折射率为 域的长度。

2 。试判断半圆弧AB上有光线射出的区

A

O

B

如图所示,平行单色光以45? 的入射角,射到半圆形玻璃砖的上表面AB上。
玻璃砖的半径为R,折射率为 域的长度。 参考解答:由折射定律得光线从AB入射后的折射角是30? ,但到达 半圆弧AB上各点时的入射角θ是各不相同的,当θ大于临界角45? 时,

2

。试判断半圆弧AB上有光线射出的区

将发生全反射而不能射出。求得α=15? ,β=75? ,由计算可得:有光线
射出的区域长πR/2。

A θ C

β

O

α

θ

B D

例题: 有一根玻璃管,内外半径分别为r和R,充满发光液,在x射 线的照射下,会发出绿光。对于绿光,玻璃和液体的折射率分别 为 n1 和 n2 。如果从外表面观察,玻璃管壁的厚度似乎为 0 ,请问 比值r/R必须满足什么条件?

分析及解析: ? 分析 — 玻璃管壁的厚度似乎为 0 ,说 明在眼睛的观察方向上至少有一条来自 玻璃管A点沿切线方向射出的光线; R n1 n2

A
B

r O

? A点沿切线方向射出的光线是从液体内的光线 在内壁上某点B处折射到A点,再折射出来的。

? A点出射光线沿切向时,临界入射角i c: sin i c ? 1

因此由题意,A点至少有入射光线,其入射角 i ≥ ic

n1

r R ? DOAB: ? sin i sin?180? ? β ?
1 r ? B点有来自管内的折射光线,其折射角 sin β ? ? n1 R
? 同时 B 点的折射角 β 遵从 n2 sin α 折射关系:

sin β ?

α为B点的入射角 ? sinβ 有上限(最大值)

n1

R
n1

A b i B n2 Or

sinβ 同时又要满足

题目答案

1 R n2 sin α sin β ? ? 和 sin β ? n1 r n1 n2 sin α ? 求 sinb 的最大值: sin β ? n1
? 前面推导出: 如果n1

? n2

n2 sin βmax ? n1

1 R sin βmax ? ? n1 r
A b i B O r

r 1 ? R n2
如果n1

? n2

sin βmax ? 1

R
n1

r 1 ? R n1

n2

例题: 一半径为R1的不透明黑球外面包着一半径为R2的同心透明

介质层, R1 / R2 =2/3,球层介质的折射率 n=1.35。球层外表面
的右半部分(图中的ABC半球)为磨砂面。现用平行光从左向右 沿图中的所示的方向照在球层上。

(1)试求ABC球面被照到的范围是什么图形?
(2)如果介质球层的折射率依次取从n=1.35逐渐增大到n>3/2的 各值,定性说出ABC球面上被照到的范围是如何变化的。 A

n

R1

R2
C

B

分析 —

? 只有P、Q 间的平行光线能到达右半球; ? 能到达右半球的光线都落在P′、Q ′之间; ? 根据对称性,在右半球形成的照射区是一个以DB为对称轴的 圆环型带或圆盘。 P Q D M O A Q′ P′ B

n

R1

R2
C

(1)R1 / R2 =2/3,n=1.35

P Q

1 ?A点折射: sin i' A ? n

iM M
D

i’M

iA A i’ A

Q′ P′

sin i M ?M点折射:

? n sin i' M

n

R1 O

B

R2

?M点折射光线于黑球相切: ?几何关系:

R1 sin i' M ? R2

C

?BOQ' ? 180? ? ?DOQ'

?BOQ' ? 2i' M ?i M
? 同理

?DOQ' ? i M ? ?MOQ'

?BOP' ? 2i' A ?90?

?MOQ' ? 180? ? 2i' M

前面已知:R1 / R2 =2/3,n=1.35

sin i M ? n sin i' M
R1 sin i' M ? R2

1 sin i' A ? n

P

iA A iM M i′M i′A
Q′ P′ B

Q

D

n

R1 O

R2

i' A ? 47.8? i' M ? 41.8? i M ? 64.2?
还有

C

?BOQ' ? 2i' M ?i M

?BOQ' ? 19.4? 同心圆环带 ?BOP' ? 2i' A ?90? ?BOP' ? 5.6?

(2)如果介质球层的折射率依次取从n=1.35逐渐增大到n>3/2的各 值,定性说出ABC球面上被照到的范围是如何变化的。

解: 已知

1 sin i ' A ? n

P Q

R1 sin i 'M ? R2
n 逐渐增大

sin iM ? n sin i'M

iM M
D

i ′M

iA A i ′A

Q′ P′

i′A、i′M 逐渐变小
M点不断移 动至A处

n

R1

O

B

R2

C

被照范围:圆环

圆盘

圆环

n≥3/2时只有两端面有光 线射入,形成稳定的环.

例题: 有一半导体发光管,发光区为半径为 r 的圆盘,发光面上覆盖一折
射率为 n、半径为 R 的半球形介质,如图所示。问:要使发光区发出的 全部光线在球面上不发生全反射,介质半球的半径 R 至少应多大?

球面全反射临界角

?1? i c ? arcsin ? ? ? n?
根据题意,找到发光区上发出 的光线在球面上的最大入射角, 使之小于临界角,得解

R

n

发光区 O

? 考察任意一点 A 发出

P′
P

的光线在球面上任意一
点P 反射后的光线 O B B′

? P 点的法线沿 PO 方向

A

反射线、折射线、法线三者共面
? 因此反射光线一定在 APO 平面内,与发光面交点 B 在 AO 延 长线上,即AO所在的直径上 ? A点发出的其它光线反射后都与 AO所在的直径相交.

数学推导
? EO区内E点光线的入射角iE最
大,同样FO区内F点的光线的入 射角iF最大;
R
E O

P

iE

iF

n
F

r

? 如果 P 点在右半边,则有 iF > iE , P 点在左边,则反之;
? 求 F点光线的最大入射角
sin iE sin ?EOP ? r EP

sin ?OFP sin iF ? ?r R ?r? max iF ? arcsin ? ? ? R?
? 不发生全反射: iF
max

PF ? EF 时

sin i F sin ?FOP sin ?EOP ? ? r FP FP

EP ? FP

?1? ? ic ? arcsin ? ? ?n?

R ? nr

用光线来处理光的传播

λ→0

或者说,几何光学是波动光学的近似理论 几何光学三定律 ? 光的直线传播定律 — 光在均匀媒质中沿直线传播

反过来说,光在非均匀介质中的传播路径是曲线

i1= i1′

—反射关系

— 折射关系(斯涅尔定律) n1 sin i1 ? n2 sin i 2
◆ 反射角只决定于入射角,

i1

i1′

与波长及介质无关

n1 n2
i2

反射无色散
◆ 反射面可以是任意形状,光滑

或粗糙,但每一条光线都遵从反 射定律 ◆ 光路的可逆性:当光线沿反射光线方向入射时,反射光线一定沿入射 光线方向反射

本次辅导课结束. 同学们,再见!

2009年5月8日晚上 19:15 ~ 20:45


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