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绿野专题八(空间向量与立体几何)


1.如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1C1C 是边长为 4 的正方形.平面 ABC⊥平面 AA1C1C,AB=3,BC=5.

(1) 求证: AA1⊥平面 ABC; (2) 求二面角 A1-BC1-B1 的余弦值; (3 ) 证明: 在线段 BC1 存在点 D, 使得 AD⊥ A1B, 并求

BD BC1

的值.

2.如图,

AB 是圆的直径, PA 垂直圆所在的平面, C 是圆上的点。

(?) 求证:平面 PAC ? 平面 PBC ; (?? ) 若 AB ? 2, AC ? 1, PA ? 1, 求二面角 C ? PB ? A 的余弦值。

3.如图, 四棱锥 P ? 的中点,

ABCD 中,PA ⊥底面 ABCD ,BC ? CD ? 2 ,AC ? 4 ,?ACB ? ?ACD ?

?
3

,F 为 PC

AF

⊥ PB .

(Ⅰ)求 PA 的长; (Ⅱ)求二面角 B ?

AF ? D 的正弦值.
-1-

4.如图,三棱柱 ABC ? (Ⅰ)证明

?. A1 B1C1 中, CA ? CB , AB ? AA1 , ?BAA 1 ? 60

AB ? A1C ;(Ⅱ)若平面 ABC⊥平面 AA1B1B,AB=CB,求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值.

5.如图,四棱锥 P ? ABCD中,?ABC (I)证明: PB

? ?BAD ? 90 ,BC ? 2 AD, ?PAB与?PAD 都是等边三角形.

? CD; (II)求二面角 A ? PD ? C的大小.

6.如图,在三棱柱 ABC ? A 1B 1C 中,侧棱 是线段 BC , B1C1 的中点, P 是线段 明理由, 并证明直线 l 的余弦值.

AA1 ? 底面 ABC , AB ? AC ? 2 AA1 , ?BAC ? 120

, D, D1 分别

AD 的中点. (1)在平面 ABC 内,试作出过点 P 与平面 A 1BC 平行的直线 l ,说
, 交

? 平面 ADD1 A1 ; (2 ) 设 (1) 中的直线 l 交 AB 于点 M

AC 于点 N

, 求二面角 A ? A 1M

?N

-2-

C A C1 A1 P

D B D1 B1

7.如图,四棱柱 ABCD -A1B1C1D1 中,侧棱 A1A⊥底面 ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E 为棱 AA1 的中点. (1)证明 B1C1⊥CE.(2)求二面角 B1-CE-C1 的正弦值.

? AC, AB = AC=2, A1 A = 4, 点 D 是 BC 的中点. 8.如图, 在直三棱柱 A 1B 1C1 - ABC 中, AB
(1)求异面直线 A 1B 与 C1 D 所成角的余弦值;(2)求平面 ADC1 与平面 AB

A1 所成二面角的正弦值.

-3-

9.如图,在直棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 中,AD // BC,
1

?BAD ? 90 , AC ? BD, BC ? 1, AD ? AA1 ? 3.
(1)证明:

AC ? B1D .(2)求直线 B1C1与平面ACD1 所成角的正弦值.

10.如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,E 为 BD 的中点,G 为 PD 的中点,△DAB PA=

△DCB,EA=EB=AB=1,

3 2

,连接 CE 并延长交 AD 于 F. (1)求证:AD⊥平面 CFG;(2)求平面 BCP 与平面 DCP 的夹角的余弦值.

-4-


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