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平面直角坐标系的伸缩变换


知识回顾:三角函数y=sinx的变换

一.平面直角坐标系中的伸缩变换
思考: (1)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?

y=sin2x ?

2?
x

O

y=sinx

在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,

y),保持纵坐 1 标不变,将横坐标x缩为原来的 2 ,就得到正弦曲 线y=sin2x.设点P(x,y)经变换得到点P’(x’,y’) 坐标对应关系为:

x’=

1 2

x 1

y’=y
通常把

1 叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。

(2)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx? 写出其坐标变换。 在正弦曲线上任取一点P(x,y),保持横坐 标x不变,将纵坐标伸长为原来的3倍,就得到 曲线y=3sinx。 设点P(x,y)经变换得到点为P’(x’,y’)

x’=x

y’=3y
通常把 变换。

2

2 叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长

(3)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x? 写出其坐标变换。 在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y),保持纵坐 1 标不变,将横坐标x缩为原来的 2 ,在此基础上, 将纵坐标变为原来的3倍,就得到正弦曲线 y=3sin2x. 设点P(x,y)经变换得到点为P’(x’,y’) 1 x’= 2 x

y’=3y

3

通常把 3 叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸 缩变换。

定义:设P(x,y)是平面直角坐标系中任意 一点,在变换 (? ? 0) ?x' ? ? x ? :? 4 ( ? ? 0) ? y' ? ? y

的作用下,点P(x,y)对应P’(x’,y’).称 ? 为平面直 角坐标系中的伸缩变换。 注(1)? ? 0, ? ? 0 (2)把图形看成点的运动轨迹,平面图形的 伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到; (3)在伸缩变换下,平面直角坐标系不变, 在同一直角坐标系下进行伸缩变换。

练习: 1.在直角坐标系中,求下列方程所对应 的图形经过伸缩变换 x’=2x y’=3y (1)2x+3y=0; (2)x2+y2=1 后的图形。

(3) y ? 4x
2

2.在同一直角坐标系下,求满足下列图 形的伸缩变换: (1).由直线 x ? 2 y ? 2 变成直线 2x ? y ? 4 x y 2 2 ? (2).由圆 x ? y ? 4 变成椭圆 16 36 ? 1 2 y (3).由抛物线 ? 2x变为抛物线 y ? 9 x
' '
'

2

'2

'

2

'

巩固提高:已知函数

1 3 y ? cos2 x ? sin x cos x ?1, x ? R 2 2

(1)当函数Y取得最大值时,求自变量x的取值集合; (2)当函数的图像可由 y ? sin x, x ? R 的图像经过怎样 的平移和伸缩变换得到?

课堂小结: 掌握平面直角坐标系中的伸缩变换。

预习: 极坐标系(书本P9-P11)

2012.3.26


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