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高中数学第二章算法初步2.1顺序结构与选择结构教案


2.1

顺序结构与选择结构
整体设计

教学分析 用自然语言表示的算法步骤有明确的顺序性,但是对于在一定条件下才会被执行的步 骤,以及在一定条件下会被重复执行的步骤,自然语言的表示就显得困难,而且不直观、不 准确.因此, 本节有必要探究使算法表达得更加直观、 准确的方法.流程图用图形的方式表达 算法,使算法的结构更清楚、步骤更直观也更精确.为了更好地学习流程图,我们需要掌握 程序框的功能和作用,需要熟练掌握三种基本逻辑结构. 三维目标 1.熟悉各种程序框及流程线的功能和作用. 2.通过模仿、操作、探索,经历通过设计流程图表达解决问题的过程.在具体问题的解决过 程中,理解流程图的三种基本逻辑结构:顺序结构、选择结构、循环结构. 3.通过比较体会流程图的直观性、准确性. 重点难点 教学重点:流程图的画法. 教学难点:流程图的画法. 课时安排 2 课时 教学过程 第 1 课时 顺序结构 导入新课 思路 1(情境导入).我们都喜欢外出旅游,优美的风景美不胜收,如果迷了路就不好玩了, 问路有时还听不明白,真是急死人,有的同学说买张旅游图不就好了吗,所以外出旅游先要 准备好旅游图.旅游图看起来直观、准确,本节将探究使算法表达得更加直观、准确的方法. 今天我们开始学习流程图. 思路 2(直接导入).用自然语言表示的算法步骤有明确的顺序性,但是对于在一定条件下 才会被执行的步骤,以及在一定条件下会被重复执行的步骤,自然语言的表示就显得困难, 而且不直观、不准确.因此,本节有必要探究使算法表达得更加直观、准确的方法.今天开始 学习流程图. 推进新课 新知探究 提出问题 (1)什么是流程图? (2)说出终端框(起止框)的图形符号与功能. (3)说出输入、输出框的图形符号与功能. (4)说出处理框(执行框)的图形符号与功能. (5)说出判断框的图形符号与功能. (6)说出流程线的图形符号与功能. (7)说出连接点的图形符号与功能. (8)总结几个基本的程序框、流程线和它们表示的功能. (9)什么是顺序结构? 讨论结果: (1)流程图又称程序框图,是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形.

1

在流程图中, 一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤; 带有方向箭头的流程线将程 序框连接起来,表示算法步骤的执行顺序. (2)椭圆形框: 表示程序的开始和结束,称为终端框(起止框).表示开始时只有一个 出口;表示结束时只有一个入口. (3)平行四边形框: 表示一个算法输入和输出的信息,又称为输入、输出框,它有一 个入口和一个出口. (4)矩形框: 表示计算、赋值等处理操作,又称为处理框(执行框) ,它有一个入口和 一个出口. (5)菱形框: 是用来判断给出的条件是否成立,根据判断结果来决定程序的流向,称 为判断框,它有一个入口和两个出口. (6)流程线: 表示程序的流向. (7) 圆圈: 连接点.表示相关两框的连接处, 圆圈内的数字相同的含义表示相连接在一起. (8)总结如下表. 图形符号 名称 终端框(起止框) 输入、输出框 处理框(执行框) 判断框 功能 表示一个算法的起始和结束 表示一个算法输入和输出的信息 赋值、计算 判断某一条件是否成立,成立时在出口处标明 “是”或“Y”;不成立时标明“否”或“N” 连接程序框

流程线

连接点

连接流程图的两部分

(9)很明显,顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的,这是任何一个算法都离不开的基 本结构. 顺序结构对应的流程图,如图 1 所示:

图1 应用示例 例 1 尺规作图,确定线段 AB 一个 5 等分点. 分析:确定线段 AB 的 5 等分点,是指在线段 AB 上确定一点 M,使得 AM=

1 AB.同学们都熟悉 5

解决这个问题的方法: 第一,从 A 点出发作一条与原直线不重合的射线; 第二,任取射线上一点 C,并在射线上作线段 AD,使 AD=5AC; 第三,连接 DB,并过 C 点作 BD 的平行线交 AB 于 M,M 就是要找的 5 等分点. 这个过程也需要一步一步来实现.
2

作法:作图步骤如下: 1.如图 2,从已知线段的左端点 A 出发,作一条射线 AP;

图2 2.在射线上任取一点 C,得线段 AC; 3.在射线上作线段 CE=AC; 4.在射线上作线段 EF=AC; 5.在射线上作线段 FG=AC; 6.在射线上作线段 GD=AC,那么线段 AD=5AC; 7.连接 DB; 8.过 C 作 BD 的平行线,交线段 AB 于 M,这样点 M 就是线段 AB 的一个 5 等分点. 这个实现过程可以用图 3 来表示.

图3 点评:通常,为了使算法结构更加清晰,可借助图来帮助描述算法.图的特点是直观、清楚, 便于检查和交流.顺序结构的图见图 4.通常,像这样的图叫作流程图.

图4 例 2 已知一个三角形三条边的边长分别为 a,b,c,利用海伦—秦九韶公式设计一个计算 三角形面积的算法,并画出流程图.(已知三角形三边边长分别为 a,b,c,则三角形的面积 为 S=

p( p ? a)( p ? b)( p ? c) ,其中 p=

a?b?c .这个公式被称为海伦—秦九韶公式) 2

算法分析:只需先算出 p 的值,再将它代入分式,最后输出结果.因此只用顺序结构应能表 达出算法. 算法步骤如下: 1.输入三角形三条边的边长 a,b,c.

3

2.计算 p= 3.计算 S=

a?b?c . 2

p( p ? a)( p ? b)( p ? c) .

4.输出 S. 流程图如下:

图5 点评:很明显,顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的,它是最简单的逻辑结构,它是 任何一个算法都离不开的基本结构. 变式训练 下图所示的是一个算法的流程图,已知 a1=3,输出的 b=7,求 a2 的值.

图6 解:根据题意

a1 ? a 2 =7, 2

∵a1=3,∴a2=11, 即 a2 的值为 11. 知能训练 写出通过尺轨作图确定线段 AB 的一个 5 等分点的流程图. 解:利用我们学过的顺序结构得流程图如下:

4

图7 点评:这个算法步骤具有一般性,对于任意自然数 n,都可以按照这个算法的思想,设计出 确定线段的 n 等分点的步骤解决问题,通过本题学习可以巩固顺序结构的应用. 拓展提升 如下给出的是计算 ___________.

1 1 1 1 ? ? ? ? ? 的值的一个流程图,其中处理框内应填入的是 2 4 6 10

图8 答案:S=S+

1 10

课堂小结 1.掌握流程图的画法和功能. 2.掌握顺序结构的应用,并能解决与顺序结构有关的流程图的画法. 作业 习题 2—2 A 组 1. 设计感想 首先,本节的引入新颖独特,旅游图的故事阐明了学习流程图的意义.通过丰富有趣的 事例让学生了解了什么是流程图, 进而激发学生学习流程图的兴趣.本节设计题目难度适中, 逐步把学生带入知识的殿堂,是一节好的课例. (设计者:张新军)

5

第 2 课时

选择结构

导入新课 思路 1(情境导入).我们以前听过这样一个故事,野兽与鸟发生了一场战争,蝙蝠来了, 野兽们喊道:你有牙齿是我们一伙的,鸟们喊道:你有翅膀是我们一伙的,蝙蝠一时没了主 意.过了一会儿蝙蝠有了一个好办法,如果野兽赢了,就加入野兽这一伙,否则加入另一伙, 事实上蝙蝠用了分类讨论思想, 在算法和流程图中也经常用到这一思想方法, 今天我们开始 学习新的逻辑结构——选择结构. 思路 2(直接导入).前面我们学习了顺序结构,顺序结构像是一条没有分支的河流,奔流 到海不复回, 事实上多数河流是有分支的, 今天我们开始学习有分支的逻辑结构——选择结 构. 推进新课 新知探究 提出问题 (1)举例说明什么是分类讨论思想? (2)什么是条件结构? (3)试用流程图表示条件结构. 讨论结果: (1)例如解不等式 ax>8(a≠0),不等式两边需要同除 a,需要明确知道 a 的符号,但条件没 有给出,因此需要进行分类讨论,这就是分类讨论思想. (2)在一个算法中,经常会遇到一些条件的判断,算法的流程根据条件是否成立有不同的 流向.选择结构就是处理这种过程的结构. (3)用流程图表示条件结构如下. 选择结构:先根据条件作出判断,再决定执行哪一种操作的结构就称为选择结构(或分支结 构) ,如图 1 所示.执行过程如下:条件成立,则执行 A 框;不成立,则执行 B 框.

图1 注:无论条件是否成立,只能执行 A、B 之一,不可能两个框都执行. 应用示例 例 1 通常说一年有 365 天,它表示地球围绕太阳转一周所需要的时间,但事实并不是这样简 单.根据天文资料,地球围绕太阳转一周所需要的精确时间是 365.242 2 天,称之为天文年. 这个误差看似不大,却引起季节和日历之间难以预料的大变动.在历法上规定四年一闰,百年 少一闰,每四百年又加一闰.如何判断某一年是不是闰年呢?请设计一个算法,解决这个问题, 并用流程图描述这个算法. 分析: 设 y 为年份,按照历法的规定,如果 y 为闰年,那么或者 y 能被 4 整除不能被 100 整除, 或者 y 能被 400 整除. 对于给定的年份 y,要确定它是否为闰年,需要进行判断,判断的结果决定后面的步骤, 像这样的结构通常称作选择结构.选择结构的算法流程图可以用图 2 来表示.

6

图2 解:算法步骤如下: 1.若 y 不能被 4 整除,则输出“y 不是闰年”. 2.若 y 能被 4 整除,则判断 y 是否能被 100 整除: (1)若 y 不能被 100 整除,则输出“y 是闰年”; (2)若 y 能被 100 整除,则判断 y 是否能被 400 整除; ①若 y 能被 400 整除,则输出“y 是闰年”; ②若 y 不能被 400 整除,则输出“y 不是闰年”. 这个算法的流程图如下:

图3 变式训练 任意给定 3 个正实数,设计一个算法,判断以这 3 个正实数为三边边长的三角形是否存在, 并画出这个算法的流程图. 算法分析:判断以 3 个任意给定的正实数为三条边边长的三角形是否存在,只需验证这 3 个 数中任意两个数的和是否大于第 3 个数.这个验证需要用到条件结构. 算法步骤如下: 1.输入 3 个正实数 a,b,c. 2.判断 a+b>c,b+c>a,c+a>b 是否同时成立.若是,则存在这样的三角形;否则,不存在这样的 三角形. 流程图如图 4:

7

图4 点评:根据构成三角形的条件,判断是否满足任意两边之和大于第三边,如果满足则存在这 样的三角形,如果不满足则不存在这样的三角形.这种分类讨论思想是高中的重点,在画流 程图时,常常遇到需要讨论的问题,这时要用到选择结构. 2 例 2 设计一个求解一元二次方程 ax +bx+c=0 的算法,并画出流程图表示. 2 算法分析:我们知道,若判别式 Δ =b -4ac>0,则原方程有两个不相等的实数根 x1=

?b? ? ?b? ? ,x2= ; 2a 2a
b ; 2a

若 Δ =0,则原方程有两个相等的实数根 x1=x2=-

若 Δ <0,则原方程没有实数根.也就是说,在求解方程之前,可以先判断判别式的符号,根 据判断的结果执行不同的步骤,这个过程可以用条件结构实现. 又因为方程的两个根有相同的部分,为了避免重复计算,可以在计算 x1 和 x2 之前,先计算 p= ?

b ? ,q= . 2a 2a

解决这一问题的算法步骤如下: 1.输入 3 个系数 a,b,c. 2 2.计算 Δ =b -4ac. 3.判断 Δ ≥0 是否成立.若是,则计算 p= ?

b ? ,q= ;否则,输出“方程没有实数根”, 2a 2a

结束算法. 4.判断 Δ =0 是否成立.若是,则输出 x1=x2=p;否则,计算 x1=p+q,x2=p-q,并输出 x1,x2. 流程图如下:

图5

8

例 3 设计算法判断一元二次方程 ax +bx+c=0 是否有实数根,并画出相应的流程图. 解:算法步骤如下: 1.输入 3 个系数:a,b,c. 2 2.计算 Δ =b -4ac. 3.判断 Δ ≥0 是否成立.若是,则输出“方程有实根”;否则,输出“方程无实根”.结束算 法. 相应的流程图如下:

2

图6 2 点评:根据一元二次方程的意义,需要计算判别式 Δ =b -4ac 的值.再分成两种情况处理: (1)当 Δ ≥0 时,一元二次方程有实数根; (2)当 Δ <0 时,一元二次方程无实数根.该问题实际上是一个分类讨论问题,根据一元二 次方程系数的不同情况,最后结果就不同.因而当给出一个一元二次方程时,必须先确定判 别式的值,然后再用判别式的值的取值情况确定方程是否有解.该例仅用顺序结构是办不到 的,要对判别式的值进行判断,需要用到条件结构. 变式训练 设计算法,求 ax+b=0 的解,并画出流程图. 解:对于方程 ax+b=0 来讲,应该分情况讨论方程的解. 我们要对一次项系数 a 和常数项 b 的取值情况进行分类,分类如下: (1)当 a≠0 时,方程有唯一的实数解是 ?

b ; a

(2)当 a=0,b=0 时,全体实数都是方程的解; (3)当 a=0,b≠0 时,方程无解. 联想数学中的分类讨论的处理方式,可得如下算法步骤: 1.判断 a≠0 是否成立.若成立,输出结果“解为 ?

b ”. a

2.判断 a=0,b=0 是否同时成立.若成立,输出结果“解集为 R”. 3.判断 a=0,b≠0 是否同时成立.若成立,输出结果“方程无解”,结束算法. 流程图如下:

9

图7 点评:这是选择结构叠加问题,选择结构叠加,程序执行时需依次对“条件 1”“条件 2”“条件 3”??都进行判断,只有遇到能满足的条件才执行该条件对应的操作. 知能训练 1.设计算法,找出输入的三个不相等实数 a、b、c 中的最大值,并画出流程图. 解:算法步骤: 1.输入 a,b,c 的值. 2.判断 a>b 是否成立,若成立,则执行第三步;否则执行第四步. 3.判断 a>c 是否成立,若成立,则输出 a,并结束;否则输出 c,并结束. 4.判断 b>c 是否成立,若成立,则输出 b,并结束;否则输出 c,并结束. 流程图如下:

图8 2.“特快专递”是目前人们经常使用的异地邮寄信函或托运物品的一种快捷方式.某快递公 司规定甲、乙两地之间物品的托运费用根据下列方法计算: f= ?

?0.53?, ? ? 50, ?50 ? 0.53 ? (? ? 50) ? 0.85, ? ? 50.

其中 f(单位:元)为托运费,ω 为托运物品的重量(单位:千克). 试画出计算费用 f 的流程图. 分析:这是一个实际问题,根据数学模型可知,求费用 f 的计算公式随物品重量 ω 的变化
10

而有所不同,因此计算时先看物品的重量,在不同的条件下,执行不同的指令,这是选择结 构的运用,是二分支选择结构. 其中,物品的重量通过输入的方式给出. 解:算法流程图如下图.

图9 拓展提升 有一城市,市区为半径为 15 km 的圆形区域,近郊区为距中心 15—25 km 的范围内的环 形地带,距中心 25 km 以外的为远郊区,如图 10 所示.市区地价每公顷 100 万元,近郊区地 价每公顷 60 万元,远郊区地价为每公顷 20 万元,输入某一点的坐标为(x,y),求该点的地 价,并画出流程图.

图 10
2 2 分析:由该点坐标(x,y),求其与市中心的距离 r= x ? y ,确定是市区、近郊区,还是

?100,0 ? r ? 15, ? 远郊区,进而确定地价 p.由题意知,p= ?60,15 ? r ? 25, ?20, r ? 25. ?
解:流程图如下:

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图 11 课堂小结 1.理解选择结构的特点. 2.能用学过的选择结构解决常见的算法问题. 作业 习题 2—2 A 组 3. 设计感想 本节采用引人入胜的方法引入正课,选用的例题难度适中,有的经典实用,有的新颖独 特, 每个例题都是很好的素材.选择结构是逻辑结构的核心, 是培养学生逻辑推理的好素材, 本节设计符合新课标精神,难度设计略高于教材.

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