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【导学案523】解三角形的实际应用举例(一)


陕西省柞水中学 2018 届高二数学备课组

北师大版必修 5

【导学案 523】解三角形的实际应用举例(一) 班级 姓名 编写人:王松涛 审核人: 【学习目标】 1. 能够运用正、余弦定理解决一些与三角形有关的实际问题; 2. 了解常用的测量相关术语的含义,体会数学知识源于实际生活。 3、通过解答实际问题掌握解三角形实际应用的解题步骤

【学习重点】由实际问题中抽象出三角形,利用解三角形的知识解决相关实际问题 【学习难点】由实际问题题意画出示意图,建立解三角形问题模型。 【学习过程】 一、课前预习自学(阅读课本第 58 页 59 页内容,思考回答下列问题) 1.画图说明什么是仰角和俯角?它们有什么区别?

2.方向角和方位角有什么区别?

3.课本 58 页例 1 和例 2 分别利用解三角形的知识解决了那类问题?用解三角形的知识解 决距离、高度问题的关键是什么?主要应用了那些数学思想?

二、合作探究,典型突破 知识点一: 利用解三角形知识解决距离问题 【探究 1】如图,设 A、B 两点在河的两岸,要测量两点之间的距离,测量者在 A 的同侧, 在所在的河岸边选定一点 C,测出 AC 的距离是 55m, ? BAC= 51 ? , ? ACB= 75 ? . 求 A、 B 两点的距离(精确到 0.1m). 答案:A、B 两点间的距离为 65.7 米

【变式训练 1】A、B 两点都在河的对岸(不可到达),若在河岸选取相距 40 米的 C、D 两点,测得 ? BCA=60 ? , ? ACD=30 ? , ? CDB=45 ? , ? BDA =60 ? .试求 A、B 两点间距离。 答案:AB=20 6 米

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知识点二:利用正、余弦定理解决一些有关底部不可到达的物体高度测量问题 【探究 2】为测某塔 AB 的高度,在一幢与塔 AB 相距 20m 的楼的楼顶处测得塔顶 A 的 仰角为 30 ? ,测得塔基 B 的俯角为 45 ? ,则塔 AB 的高度为多少?答案:20+

20 3 (m) 3

【探究 3】在某点 B 处测得建筑物 AE 的顶端 A 的仰角为 ? ,沿 BE 方向前进 30m,至点 C 处测得顶端 A 的仰角为 2 ? , 再继续前进 10 3 m 至 D 点, 测得顶端 A 的仰角为 4 ? , 求? 的大小和建筑物 AE 的高。 解法一: (用正弦定理求解)由已知可得在 ? ACD 中, AC=BC=30, AD=DC=10

3,

? ADC =180

?

-4 ? ,

? 10 3 =
sin 2?

30 。 sin(180? ? 4? )

因为

sin4 ? =2sin2 ? cos2 ?

? cos2 ? =

3 ,得 2

2 ? =30 ?

? ? =15 ? ,

? 在 Rt ? ADE 中,AE=ADsin60 ? =15

答:所求角 ? 为 15 ? ,建筑物高度为 15m 解法二: (设方程来求解)设 DE= x,AE=h 在 Rt ? ACE 中,(10 3 + x) 2 + h 2 =30 2 在 Rt ? ADE 中,x 2 +h 2 =(10 3 ) 2 两式相减,得 x=5 3 ,h=15 =

?在 Rt ? ACE 中,tan2 ? =

h 10 3 ? x

3 3

? 2 ? =30 ? , ? =15 ?

答:所求角 ? 为 15 ? ,建筑物高度为 15m 解法三: (用倍角公式求解)设建筑物高为 AE=8,由题意,得

? BAC= ? ,

? CAD=2 ? ,AC = BC =30m , AD = CD =10 3 m
x 30
① 在 Rt ? ADE 中,sin4 ? =

在 Rt ? ACE 中,sin2 ? =

4 10 3

, ②

2

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②?① 得

cos2 ? =

3 ,2 ? =30 ? , ? =15 ? ,AE=ADsin60 ? =15 2

答:所求角 ? 为 15 ? ,建筑物高度为 15m 【变式训练 2】课本 59 页练习 1 三、达标检测 1. 台风中心从 A 地以每小时 20 千米的速度向东北方向移动, 离台风中心 30 千米内的地 区为危险区,城市 B 在 A 的正东 40 千米处,B 城市处于危险区内的时间为( ). A .0.5 小时 B.1 小时 C.1.5 小时 D.2 小时 解析:设 A 地东北方向上点 P 到 B 的距离为 30 千米,AP=x,在△ABP 中 PB =AP +AB -2AP·AB·cosA, 2 2 2 0 即 30 =x +40 -2x·40cos45 化简得 x ? 40 2 x ? 700 ? 0
2
2 2 2

北 D C
30 km

|x1-x2| =(x1+x2) -4x1x2=400,|x1-x2|=20, 即 CD=20 故t ?

2

2

西

450

A

40 km

B



CD 20 ? ?1 v 20



2、两灯塔 A、B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 30 ? ,灯 塔 B 在观察站 C 南偏东 60 ? ,则 A、B 之间的距离为 答案: 2 a km 3、A、B 是水平面上的两个点,相距 800m,在 A 点测得山顶 C 的仰角为 45°,∠BAD =120°,又在 B 点测得∠ABD=45°,其中 D 是点 C 到水平面的垂足,求山高 CD. 【解析】如图,由于 CD⊥平面 ABD,∠CAD=45°, 所以 CD=AD. 因此,只需在△ABD 中求出 AD 即可,在△ABD 中, ∠BDA=180°-45°-120°=15°, 由

AB AD = , sin15? sin 45?

AB ? sin 45? 得 AD= = sin15?

800 ?

2 2 =800( 3 +1)(m).∴CD=AD=800( 3 +1)≈ 6? 2 4

2186(m). 答:山高 CD 约为 2186 m
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四、知识小结 解斜三角形应用题的一般步骤: (1)分析:理解题意,分清已知与未知,画出示意图 (2)建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中, 建立一个解斜三角形的数学模型 (3)求解:利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求得数学模型的解 (4)检验:检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解

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