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高中数学联赛初赛模拟试题201602


高中数学联赛初赛模拟试题 2016/6/9 02
(时间:120 分钟 满分:150) 姓名_______________ 一、填空题:本大题共 10 小题,每小题 7 分,共 70 分.

1 1.若 tan x ? tan y ? 2 , sin x ? sin y ? ,则 x ? y ? __________ 3 1 1 ( x ? R) 的

最小值是关于 2. 已知关于参数 a (a ? 0) 的二次函数 y ? ax2 ? 1 ? a2 x ? a2 ? 3a ? ? 4 4a

a
的函数 f (a) ,则 f (a) 的最小值为__________
b 为正整数,a ? b , 3. 已知 a、 实数 x、y 满足 x ? y ? 4( x ? a ? y ? b ) , 若 x ? y 的最大值为 40,

则满足条件的数对 ( a, b) 的数目为__________ 4.定义区间 (c, d ) , [c, d ) , (c, d ] , [c, d ] 的长度均为 d ? c ,其中 d ? c .已知实数 a ? b ,则 满足

1 1 ? ? 1 的 x 构成的区间的长度之和为__________ x ?a x ?b
5.过四面体 ABCD 的顶点 D 作半径为 1 的球,该球与四面体 ABCD 的外接球相切于点 D ,且 与平面 ABC 相切;若 AD ? 2 3 , ?BAD ? ?CAD ? 45? , ?BAC ? 60? ,则四面体 ABCD 的 外接球的半径 r 为__________ 6.设直线 l 与曲线 y ? x3 ? x ? 1 有三个不同的交点 A 、B、C ,并且 AB ? BC ? 5 ,则直线 l 的 方程为__________ 7.若 D 是边长为 1 的正 ?ABC 的边 BC 上的点, ?ABD 与 ?ACD 的内切圆半径分别为 r1 、 r2 ; 若 r1 ? r2 ? 8.方程 ________ 9 .设集合 A ? {a1 , a2 , a3 , a4 , a5 }, B ? {a12 , a2 2 , a32 , a4 2 , a5 2 } ,其中 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 是五个不同的 正整 数, a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 , A ? B ? {a1 , a4 } , a1 ? a4 ? 10 ,若 A ? B 中所有元素的和为 246, 则满 足条件的集合 A 的个数为__________

1 则满足条件的点 D 有两个, 分别设 D1、D2 , 则 D1、D2 间的距离为__________ 3, 5

( x ? 1)( x ? 4)( x ? 9) 2 x3 ? 1 x 3 ? 43 x 3 ? 93 ? [ ? ? ] ?1 的 不 同 非 零 整 数 解 的 个 数 为 3 3 ( x ? 1)( x ? 4)( x ? 9) 3 ( x ? 1) ( x ? 4) ( x ? 9)3

x, y ) 10. 定义两点 P( x1 , y1 ) ,Q( x2 , y2 ) 之间的 “交通距离” 为:d ( P, Q) ?| x1 ? x2 | ? | y1 ? y2 | . 若 C(

到点 A(1, 3) , B(6, 9) 的“交通距离”相等,其中实数 x、y 满足 0 ? x ? 10 , 0 ? y ? 10 ,则 所有 满足条件的点 C 的轨迹的长之和为__________

二、解答题:本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分. 11.设函数 f ( x) ? e x ? ax ? a (a ? R) ,其图象与 x 轴交于 A( x1 , 0) , B ( x2 , 0) 两点,且 x1 ? x2 ; (1)求 a 的取值范围; (2)求证: f ?( x1 x2 ) ? 0 ( f ?( x) 为函数 f ( x) 的导函数) ;
x2 ? 1 ?t , x1 ? 1

(3)设点 C 在函数 y ? f ( x) 的图象上,且 ?ABC 为等腰直角三角形,记 求 (a ? 1)(t ? 1) 的值.

12.已知数列 {an } ( n ? 0 )满足 a0 ? 0 , a1 ? 1 ,对于所有正整数 n ,有 an?1 ? 2an ? 2007an?1 , 求使得 2008 | an 成立的最小正整数 n .

13.已知 ?ABC 的外心为 O , ?A ? 90? , P 为 ?OBC 的外接圆上且在 ?ABC 内部的任意一点, 以 OA 为直径的圆分别与 AB 、 AC 交于点 D 、 E , OD 、 OE 分别与 PB 、 PC 或其延长线交于点

F、

G ,求证 A、 F、 G 三点共线.

A

D P G B

F

O

E

C

14.排成一排的 10 名学生生日的月份均不相同,有 n 名教师,依次挑选这些学生参加 n 个兴趣 小组,每个学生恰被一名教师挑选,且保持学生的排序不变,每名教师挑出的学生必须满足 生日的月份是逐渐增加或逐渐减少的 (挑选一名或两名学生也认为是逐渐增加或逐渐减少) , 每名教师尽可能多选学生.对于学生所有可能的排序,求 n 的最小值.


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