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1、数列、函数极限


第一章
一、选择题

数列、函数的极限

1、 选择题当 x ? 0 ? 时,下列是无穷小量的是( A A



x sin

1 x

1

B

ex

C

ln

x

D

1 sin x x


2、当 x ? 0 时,变量 A、无穷小

1 1 sin 是( D 2 x x
B、无穷大

C、有界的,但不是无穷小 3、已知极限 lim(
x ??

D、无界的,也不是无穷大

x2 ? 2 ? ax) ? 0 ,则常数 a 等于( A ) x
C 1 D 2 )

A -1

B 0
2

ex ?1 4、极限 lim 等于( D x ?0 cos x ? 1
A

?

B 2

C 0
sin x

D

-2 ) D 单调函数

5、设函数 f ( x) ? xe A 偶函数 二、填空题 1、 lim(1 ? ) = e
2x x ??

tan x ,则 f ( x) 是( B
C 周期函数

B 无界函数

1 x

?2

2、当 x ? 0 ? 时,无穷小 ? ? ln(1 ? Ax) 与无穷小 ? ? sin 3x 等价,则常 数 A= 3、 lim[
n ??

3

1 1 1 ? ?? ? ]= 1? 2 2 ? 3 n( n ? 1)

1

1

4、若 lim f ( x ) 存在,且 f ( x) ?
x ??

sin x ? 2lim f ( x) ,则 lim f ( x) = 1 x ?? x ?? x ??

? a (1 ? cos x) , x <0 ? x2 ? 1, x =0 在 x =0 连续,则 a= 2 , b= 5、设函数 f ( x ) ? ? ? ln(b ? x 2 ) x >0 ? ?
6、设函数 f ( x) ?

e

ex ? b 有无穷间断点 x ? 0 ,以及可去间断点 ( x ? a )( x ? 1)
,b = e .

x ? 1 ,则常数 a = 0
三、
n ??

计算下列极限

1. lim(1 ?

1 1 1 )(1 ? 2 )?(1 ? 2 ) 2 2 3 n

=

1 2

(每项通分,再利用平方差公式,逐次消掉) 2. lim
n ??

n! nn
1
2

=0

(数列的夹挤定理)

3. lim(
n ??

n ?1
1 x

?

1 n ?2
2

?? ?

1 n ?n
2

)

=1

(数列的夹挤定理)

4. lim x
x ???

=1

(记住即可,证明很麻烦,

n? ? ?

l i mn n ? ) 1

tan x ? sin x 1 = 3 x ?0 x 2 sin x ( tan x ? ,分子通分,再利用第一个重要极限和等价无穷小替换) cos x 2 x ? 3 x ?1 6. lim( (凑第二个重要极限) ) =e x ?? 2 x ? 1
5. lim 7. lim
x ?0

1 ? x sin x ? 1 e ?1
x2

=

1 2

(分子、分母 利用等价无穷小替换)

1

8.lim(1 ? sin x)
2 x ?0

x2

=e

(凑第二个重要极限, 再利用第一个重要极限)

2

9. lim(1 ? cos x)
x ?0

1 sin x

=1
2

10. lim(
x ?0

? 3 ? tan x csc x =e 3 ) x?3

11. lim(2 ? x )
x ?1

tan

?
2

x

2

= e? =e
2

12. lim(
x ?0

1 ? x cot x ) 1? x

(9—12 题凑重要极限)

1 ? x2 13. lim x ?1 sin ? x
14. lim e
x ?0 1 x

?

2

?

(变量替换 t=1-x)

不存在

(计算左右极限) =0 (无穷小量与有界函数的乘积仍是无穷小量)

15. lim x cos
x ?0
3

2

1 x

16. lim
x ?2

x ?1 ?1 x?2

=

1 3

(变量替换 3 x ? 1 ? t )

x2 ? 2 17. lim 2 x ?1 2 x ? x
18. lim

=3

(x=1 是定义域的一点,直接带入函数)

x2 ? 2 x ?? 2 x 2 ? x

=

1 2

(一类题:x ?? , 分子分母都是多项式形式,

分子分母除以分母的最高次数) 19. lim

sin x 不存在 x ?0 x
2

(左右极限,去掉绝对值符号)

20. lim ( x ? x ? 1 ? x ? x ? 1) =1 (分子有理化)
2 x ???

21.设 ? ( x) ? x ? 3x ? 2, ? ( x) ? c( x ? 1) ,试确定常数 c, n ,使得当
3 n

x ? 1 时 ? ( x ) ~ ? ( x)
( c ? 3, n ? 2 )
3


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