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广东省深圳市高级中学2014-2015年高二下期中数学(文)试卷及答案


高级中学 2014-2015 学年第二学期期中测试

高二文科数学
命题人:朱志敏 审题人: 刘金凤 本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 4 页,第Ⅰ卷为 1-12 题, 共 60 分,第Ⅱ卷为 13-22 题,共 90 分. 全卷共计 150 分. 考试时间为 120 分钟. 注意事项: 1、答第一卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2、每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动用橡皮擦 干净后,再涂其它答案,不能答在试题卷上. 3、考试结束,监考人员将答题卡收回. 附: (1)回归直线方程: y ? a ? b x
n ? i i
? ? ?


? ?

(2)回归系数: b ?

? x y ? nx y
i ?1 n

?x
i ?1

2 i

? nx

2

,a ? y ?b x, x ?

1 n 1 n xi , y ? ? yi . ? n i ?1 n i ?1

第 I 卷 (本卷共计 60 分)
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分,在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的)
? ? 1.若 p 是 q 的必要不充分条件,则 p 是 q 的

(

)

A.充分不必要条件 C.充分且必要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( D. y= x )

2.下列函数中,定义域是 R 且为增函数的是 A. y=e
-x

B. y=x

3

C. y=lnx

3.有一段“三段论”推理是这样的:对于可导函数 f ( x) ,如果 f ?( x0 ) ? 0 ,那么 x ? x0 是函 数 f ( x) 的极值点,因为函数 f ( x) ? x3 在 x ? 0 处的导数值 f ?(0) ? 0 ,所以, x ? 0 是函数

1

f ( x) ? x3 的极值点。以上推理中
A.结论正确 B.大前提错误 C.小前提错误 D.推理形式错误





4.若复数 z ? a2 ?1 ? (a ? 1)i??(a ? R) 是纯虚数, 则 A. ?

1 的虚部为 z?a
D. i





2 5

B. ?

2 i 5

C.

2 5

2 5

5. 定义集合运算:A ? B ? ?z | z ? xy, x ? A, y ? B? . 设 A ? ?1 ,2 , ? B ? 0 ,2? 的所有元素之和为 A.0 B.2 6.函数 y ? x ? 4 x ? 3, x ? [0,3] 的值域为
2

则集合 A ? B ?, ( )

C.3

D.6 ( D. [0, 2] )

A. [0,3]

B. [?1, 0]

C. [?1,3]

7.如图所示,圆 O 的直径 AB ? 6 , C 为圆周上一点, BC ? 3 过 C 作圆的切线 l , 过 A 作 l 的垂线 AD ,垂足为 D ,则 ?DAC =( ) A. 15 ? B. 30 ? C. 45 ? D. 60 ?

1,3] 上连续不断的曲线,根据下表能判断方程 f ( x) ? g ( x) 有实 8.已知 f ( x ) 、 g ( x) 均为 [-
数解的区间是 ( )

x
f ( x)

-1 -0.677 -0.530

0 3.011 3.451

1 5.432 4.890 B. (1, 2) D. (2,3)

2 5.980 5.241

3 7.651 6.892

g ( x)

1, 0) A. (-
C. (0,1) 9.直线 ?

? x ? 1 ? 2t (t是参数) 被圆 x2 ? y 2 ? 9 截得的弦长等于( ?y ? 2 ?t
B.

)

A.

12 5

9 10 5

C.

9 2 5
2

D.

12 5 5
( )

10.若 a, b ?{?1, 0,1, 2},则函数 f ( x) ? ax ? 2 x ? b 有零点的概率为

2

A.

3 16

B.

7 8

C.

3 4

D.

5 8
( )

11.若 f ( x) ? x3 ? 3ax2 ? 3(a ? 2) x ? 1 有极大值和极小值,则 a 的取值范围是 A. ?1 ? a ? 2 C. a ? 2 或 a ? ?1 B. a ? 2 或 a ? ? 1 D. a ? 1或a ? ?2
x

12. 已知 f ( x) 是定义在 R 上周期为 4 的奇函数,当 x ? (0, 2] 时, f ( x) ? 2 ? log 2 x ,则

f (2015) ?
A. ?2 B.

(

)

1 2

C. 2

D. 5

第 II 卷 (本卷共计 90 分)
注意事项: 请用黑色墨水签字笔在答题卡 上作答,在试题卷上答题无效. ...

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分)
13.在极坐标系中,点 P ? 2 , 0? 与点 Q 关于直线 sin ? ?

3 对称,则 PQ ? 2




14.已知复数 z1 ? m ? 2i, z2 ? 3 ? 4i, 若

z1 为实数,则实数 m 的值为 z2

15. 如 图 , AD 为 圆 O 直 径 , BC 切 圆 O 于 点 E , AB ? BC, DC ? BC ,

AB ? 4, DC ? 1 ,则 AD 等于

. 。
2

16.下列命题中,错误命题的序号有

(1)“ a ? ?1 ”是“函数 f ? x ? ? x ? x ? a ? 1 ( x ? R) 为偶函数”的必要条件; (2)“直线 l 垂直平面 ? 内无数条直线”是“直线 l 垂直平面 ? ”的充分条件; (3) 若 xy ? 0 ,则 | x | ? | y |? 0 ; (4)若 p : ?x ? R,x ? 2 x ? 2 ? 0 ,则
2 ?

p : ?x ? R,x2 ? 2x ? 2>0 。

3

三、解答题: (本大题共 6 小题,满分 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) x ? 2a 17.(10 分)已知集合 A = {x | ( x ? 2)[ x ? (3a ? 1)] ? 0} , B = {x | ? 0} . x ? (a 2 ? 1) (1)当 a =2 时,求 A B; (2)求使 B ? A 的实数 a 的取值范围.
18. ( 10 分)已知椭圆的两焦点为 F1 (- 1, 0) 、 F2 ?1,0? , p 为椭圆上一点,且 2 F1F2 =

PF1 + PF2 .
(1)求此椭圆的方程; (2)若点 P 在第二象限,∠F2F1P=120° ,求△PF1F2 的面积.

19.(12 分)口袋中装有质地大小完全的 5 个球,编号分别为 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ,甲、乙两 人玩一种游戏:甲先摸一个球,记下编号,放回后乙再摸一个球,记下编号。如果两个编号 的和为偶数就算甲胜,否则算乙胜。 (1) 求甲胜且编号的和为 6 的事件发生的概率; (2) 这种游戏规则公平吗?说明理由。

1)=f (x- 1 ) ,且当 x ? (0, 1) 时, 20. ( 12 分)已知定义域为 R 的奇函数 f ( x ) 满足 f ( x+

2x ? 1 2x ? 1 (1)求 f ( x ) 在区间 [?1,1] 上的解析式; 1) ,满足 f ( x) ? m ,求实数 m 的取值范围. (2)若存在 x ? (0, f ? x ?=

21.(12 分)一台机器由于使用时间较长, 生产的零件有一些会缺损, 按不同转速生产出来的 零件有缺损的统计数据如下表: 转速 x (转/秒) 每小时生产缺损零件数 y (件) (1) 作出散点图; (2) 如果 y 与 x 线性相关, 求出回归方程; (3) 若实际生产中, 允许每小时的产品中有缺损的零件最多为 10 个, 那么机器的运转速度应 控制在什么范围? 16 11 14 9 12 8 8 5

4

22. ( 14 分)已知函数 f ( x) ? x ? a ln x , 在 x ? 1 处的切线 l 与直线 x ? 2 y ? 0 垂直,函数

g ( x) ? f ( x) ?

1 2 x ? bx. 2

(1) 求实数 a 的值; (2) 若函数 g ( x) 存在单调递减区间,求实数 b 的取值范围; (3) 设 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 是函数 g ( x) 的两个极值点,若 b ?

7 ,求 g ( x1 ) ? g ( x2 ) 的最小值。 2

高级中学 2014—2015 学年第二学期期中测试

高二文科数学答题卷
一、选择题: (本大题共 12 题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的)
题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

第Ⅱ卷(本卷共计 90 分)
二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13. ; 14. ; 15. ; 16. ;

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程,或演算步骤)
17. (本小题 10 分)

5

18. (本小题 10 分)

19. (本小题 12 分)

6

20. (本小题 12 分)

21. (本小题 12 分)

7

22. (本小题 14 分)

8

高级中学 2014—2015 学年第一学期期中测试

高二文科数学参考答案
9

一、 选择题: (本大题共 12 题,每小题 5 分,共 60 分)
1-5:ABBAD 6-10:CBCDC 11-12:BA

二、 填空题: (本大题共 4 题,每小题 5 分,共 20 分) 3 13. 2 3 14. ? 15. 5 16.(1) 、 (2) 、 (3) 2 三、 解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17、(10 分) 解: (1)当 a =2 时,A=(2,7) ,B =(4,5)∴ A B=(4,5) 2 (2)∵ B=( 2 a , a +1) , ? 2a ? 3a ? 1 1 当 a < 时,A=(3 a +1,2) 。 要使 B ? A,必须 ? 2 ,此时 a =-1; 3 ?a ? 1 ? 2
1 时,A= ? ,使 B ? A 的 a 不存在; 3 ? 2a ? 2 1 当 a > 时,A=(2,3 a +1)要使 B ? A,必须 ? 2 ,此时 1≤ a ≤3. 3 ?a ? 1 ? 3a ? 1
当a= 综上可知,使 B ? A 的实数 a 的取值范围为[1,3]∪{-1}

18. (10 分) 解(1)依题意得|F1F2|=2, 又 2|F1F2|=|PF1|+|PF2|, ∴|PF1|+|PF2|=4=2a.∴a=2,c=1, b2=3. x2 y2 ∴所求椭圆的方程为 + =1. 4 3 (2)设 P 点坐标为(x,y),∵∠F2F1P=120° , ∴PF1 所在直线的方程为 y=(x+1)· tan 120° , 即 y=- 3(x+1).

? ?y=- 3?x+1?, 解方程组?x2 y2 并注意到 x<0,y>0, ? 4 + 3 =1, ?

10

?x=-5, 可得? 3 3 ?y= 5 .
1 3 3 3 3 ∴ S ?PF1F2 = |F1F2|· = . 2 5 5

8

19.(12 分)解:(1)设“甲胜且两个编号的和为 6”为事件 A,甲编号 x,乙编号 y,(x,y) 表示一个基本事件,则两人摸球结果包括(1,1),(1,2),??(1,5),(2,1),(2,2),?? (5,4),(5,5)共 25 个基本事件;A 包含的基本事件有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2), (5,1)共 5 个,所以 P(A)= 5 1 = 。 25 5 1 。 5

答:编号之和为 6 且甲胜的概率为

(2)这种游戏不公平。 设“甲胜”为事件 B,“乙胜”为事件 C。甲胜即两编号之和为偶数所包(含基本事件数为以下 13 个:(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(5, 13 1),(5,3),(5,5);所以甲胜的概率为 P(B)= 25 。 13 12 乙胜的概为 P(C)=1- 25 = 25 ,∵P(B)≠P(C),∴这种游戏规则不公平。

20.(12 分)解:解:(1)当 x∈(-1,0)时,-x∈(0,1). 由 f(x)为 R 上的奇函数, -x x 2 -1 1-2 得 f(-x)=-f(x)= -x = x , 2 +1 2 +1 x 2 -1 ∴f(x)= x ,x∈(-1,0). 2 +1 又由 f(x)为奇函数, 得 f(0)=0,f(-1)=-f(1),且 f(-1)=f(1), ∴f(-1)=0,f(1)=0, x 2 -1 ? ? x ,x∈(-1,1), 故 f(x)在区间[-1,1]上的解析式为 f(x)=?2 +1

? ?0,x=±1.

(2)∵x∈(0,1), x x 2 -1 2 +1-2 2 ∴f(x)= x = x =1- x . 2 +1 2 +1 2 +1 2 1 x 又∵2 ∈(1,2),∴1- x ∈0, . 2 +1 3
11

1 若存在 x∈(0,1),满足 f(x)>m,则 m< , 3 1 故实数 m 的取值范围为(-∞, ). 3 21.(12 分)解: (1)根据表中的数据画出散点图如图:

(2)设回归直线方程为: =bx+a, 并列表如下:

i xi yi xiyi x =12.5, y =8.25,

1 16 11 176

2 14 9 126
n

3 12 8 96

4 8 5 40

?x
i ?1

n

2

i

? 660 , ? xi yi ? 438
i ?1

438-4×12.5×8.25 ∴b= ≈0.73, a=8.25-0.73×12.5=-0.875, 2 660-4×12.5 ∴=0.73x-0.875. (3)令 0.73x-0.875≤10, 解得 x≤14.9≈15.故机器的运转速度应控制在 15 转/秒内. 22.(14 分)解: (Ⅰ)

a f ( x) ? x ? a ln x, ? f ?( x) ? 1 ? , x

l与直线x ? 2 y ? 0 垂直,? k ? y? |x?1 ? 1 ? a ? 2 ,? a ? 1
(Ⅱ)

g ( x) ? ln x ?

1 2 x ? (b ? 1) x( x ? 0) 2

g ?( x) ?

1 x 2 ? (b ? 1) x ? 1 ? x ? (b ? 1) ? x x
2

设 ? ( x) ? x ? (b ?1) x ? 1 ,则 ? (0) ? 1 ? 0 只须

?b ?1 ?0 ?b ? 1 ? ?? ?b?3 ? 2 ?? ? (b ? 1)2 ? 4 ? 0 ?b ? 3或b ? ?1 ?
12

? b 的取值范围为 (3, ??)
(Ⅲ)令 g?( x) ? 0得x2 ? (b ?1) x ?1 ? 0, ? x1 ? x2 ? b ?1, x1 x2 ? 1

g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? ln

x1 1 2 2 x 1 2 ? ( x1 ? x2 ) ? (b ? 1)( x1 ? x2 ) ? ln 1 ? ( x12 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) x2 2 x2 2

2 x1 1 x12 ? x2 x 1 x x ? ln ? ? ln 1 ? ( 1 ? 2 ) x2 2 x1 x2 x2 2 x2 x1

t?

x1 , 0 ? x1 ? x2 ,? 0 ? t ? 1 , x2



? x1 ? x2 ? b ? 1 ( x1 ? x2 ) 2 1 7 25 ? , ? (b ? 1) 2 得t ? ? 2 ? ( ? 1) 2 ? ? x1 x2 t 2 4 ? ? x1 x2 ? 1
1 1 1 1 ,令 h(t ) ? ln t ? (t ? )(0 ? t ? ) 4 2 t 4

? 4t 2 ? 17t ? 4 ? 0,? 0 ? t ?

1 1 1 (t ? 1)2 1 h?(t ) ? ? (1 ? 2 ) ? ? ? 0 ,? h(t )在(0, ]单减 2 4 t 2 t 2t
1 15 h(t ) ? h( ) ? ? 2 ln 2 4 8
故 g ( x1 ) ? g ( x2 ) 的最小值为

15 ? 2 ln 2 8

13


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