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函数单调性与曲线的凹凸性


第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
一、单调性的判别法
二、曲线的凹凸性及拐点

-1-

一、单调性的判别法
y

y ? f ( x)
A

B

y

A

y ? f ( x)
B<

br />
o

a

f ?( x ) ? 0

b

x

o a

f ?( x ) ? 0

b

x

定理 1:
设 y ? f ( x) 在[a, b]上连续,在 (a, b)内可导. (1) 若在 (a, b)内 f ?( x) ? 0,则 y ? f ( x) 在[a, b]上单调增加; (2) 若在 (a, b)内 f ?( x) ? 0,则 y ? f ( x) 在[a, b]上单调减少.
2

-2-

证 ? x1 , x2 ? [a, b],且 x1 ? x2 . 由Lagrange中值定理可得
f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ?(? )( x2 ? x1 ) ? x2 ? x1 ? 0, ( x1 ? ? ? x2 )

若在 (a, b)内,f ?( x) ? 0, 则 f ?(? ) ? 0,
? f ( x2 ) ? f ( x1 ). 故,y ? f ( x) 在[a, b]上单调增加.

若在 (a, b)内,f ?( x) ? 0, 则 f ?(? ) ? 0,
? f ( x2 ) ? f ( x1 ). 故,y ? f ( x) 在[a, b]上单调减少.
3

-3-

注释 1 : 函数的单调性是一个区间上的性质,要用 导数在这一区间上的符号来判定,而不能用一点处 的导数符号来判别一个区间上的单调性.

例1 讨论 y ? x ? sin x 在[0, 2? ]上的单调性.

解: ? y? ? 1 ? cos x ? 0, x ? (0, 2? ),
? y ? x ? sin x 在[0, 2? ]上单调增加.
注释 2: 定理中的[a, b]可换成其它区间(含无穷区间).



f ( x) ? 2 x ?

8 x

在 (??, ?2)内,f ?( x) ? 2 ? x82 ? 0.

? f ( x) 在 (??, ?2]上单调增加.
4

-4-

注释 3 :函数在整个定义域上不一定是单调的,但 在不同的区间上具有单调性.

例 2 讨论 y ? e ? x ? 1的单调性.
x

x ? ? y ? e ? 1, 定义域 D ? (??, ??). 解

在 (??,0)内,y? ? 0,

? 函数在(-?, 0]上单调减少;
在 (0, ? ?)内,y? ? 0,

? 函数在[ 0,+?]上单调增加;
-5-

注释 3 :划分函数单调性的点只可能是导数为零的点 及导数不存在的点.
如 y ? sin x 在[0, 2? ]上不单调
? 3? 3? 但在[0, ? ], [ , ], [ 2 2 2 2 , 2? ]上单调
3? ? 且 f ?( ? ) ? f ( 2 2 ) ? 0.

?
? 2

2?
3? 2

再如,y ? x 在 x ? 0点不可导, 但 x ? 0两侧单调性改变.
6

-6-

总结:讨论函数单调性的一般步骤: (1) 确定函数的定义域; (2) 求函数导数为零的点及一阶导数不存在的点; (3) 这些点将定义域分成若干个小区间,列表讨论. (4) 区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性. 例如,

y ? x ,y? x ?0 ? 0,
3

但在 (??, ??) 上单调增加.

-7-

例 3 确定 f ( x) ? 2 x ? 9 x ? 12 x ? 3 的单调区间.
3 2

? ?) 解: 定义域为 : (-?,

f ?( x) ? 6 x 2 ? 18x ? 12 ? 6( x ? 1)( x ? 2) 令 f ?( x ) ? 0 , ? x1 ? 1, x2 ? 2

x
f ?( x)

(?? , 1)

?

1 (1 , 2) 0 ?
2

2 0
1

( 2 , ? ?)

?

f ( x)

故,f ( x) 的单调增区间 ( ?? , 1], [2, ? ?)
f ( x) 的单调减区间 [1 , 2]
8

-8-

例 4 确定 f ( x) ? x 的单调区间.
3 2

解 定义域 : (??, ??).
f ?( x ) ? 2 3 x
3

,

( x ? 0)

y ? 3 x2

当x ? 0时,导数不存在.

当? ? ? x ? 0时,f ?( x) ? 0,
? f ( x)在(??,0]上单调减少;

单调区间为

单调减区间: (??,0]
单调增区间: [0, ??).

当0 ? x ? ??时,f ?( x) ? 0,
? f ( x)在[0, ??)上单调增加;

9

-9-

★ 利用单调性证明不等式

例5 当x ? 0时,证明:x ? ln(1 ? x).
x . 证 设 f ( x) ? x ? ln(1 ? x), 则 f ?( x) ? 1? x

? f ( x) 在[0, ??)上连续,且 (0, ??)可导,f ?(x ) ? 0,

? f ( x) 在[0, ??)上单调增加; 又 f (0) ? 0,

? 当x ? 0时,f ( x) ? f (0) ? 0

? x ? ln(1 ? x) ? 0,
即, x ? ln(1 ? x ).
10

-10-

例 6 当 x ? (0, 2 )时,证明 e ? sin x ? 1 ? x .
?
1 2 2
2 ? 证 令 f ( x) ? e ? x ? sin x ? (1 ? 1 x ) , x ? (0, 2 2)

?x

f (0) ? 0
f ?(0) ? 0
f ??(0) ? 0

f ?( x) ? ?e ? x ? cos x ? x
f ??( x) ? e ? x ? sin x ? 1
?x ? ? ? f ( x) ? ?e ? cos x ? 0

? f ??( x) 单调减少,

f ??( x) ? f ??(0) ? 0

f ?( x) 单调减少, f ?( x) ? f ?(0) ? 0

f ( x) 单调减少, f ( x) ? f (0) ? 0

即,e ? sin x ? (1 ? x ) ? 0, 证毕.
?x 1 2 2
11

-11-

例 7 证明 x3 ? x 2 ? x ? 1 ? 0 只有一个实根.

证 : 令 f ( x) ? x 3 ? x 2 ? x ? 1
1 2 2 ? f ?( x) ? 3x ? 2 x ? 1 ? 3( x ? ) ? ? 0 3 3
2

? f ( x)在(??, ??)上严格单增

于是,f ( x) 至多有一个零点.
又 f (0) ? 1 ? 0, f (?2) ? ?8 ? 4 ? 2 ? 1 ? ?5 ? 0

故, f ( x) 在[?2, 0]上至少有一个零点.
综上,f ( x)只有一个零点.

即,方程 f ( x)=0只有一个实根.
12

-12-

二、曲线的凹凸性及拐点
问题: 如何研究曲线的弯曲方向?
y
y ? f ( x)

y

y ? f ( x)

o

x1

x2 x

o

x1

x2

x

“弧在弦下”

“弧在弦上”

13

-13-

1. 曲线的凹凸与拐点的定义
定义 设 f ( x) 在区间I 上连续,? x1 , x2 ? I ,
(1) 若恒有 x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) f( )? , 2 2

则称 f ( x)的图形在区间 I 上是凹的.
(2) 若恒有 x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) f( )? , 2 2

则称 f ( x)的图形在区间 I 上是凸的.
拐点:函数图形上凹凸的分界点.
14

-14-

2. 曲线凹凸性的判定
y

y ? f ( x)
A

B

y

y ? f ( x)

B

A

o

a

b

x

o

a

b

x

f ?( x) 递增 y?? ? 0

f ?( x) 递减

y?? ? 0

定理 2 若 f ( x) 在 [a, b] 上连续,在 (a , b )内具有二阶导数,则 (1) 若在 (a, b) 内 f ??( x) ? 0,则 f ( x) 在 [a, b] 上的图形是凹的 ; (2) 若在 (a, b) 内 f ??( x) ? 0,则 f ( x) 在 [a, b] 上的图形是凸的 .
15

-15-

x1 ? x2 证明:? x1 , x2 ? [a, b],不妨设 x1 ? x2,且记 x0 ? . 2

f ( x) 在区间[ x1 , x0 ] 和[ x0 , x2 ]上分别应用拉格朗日中值定理:
f ( x0 ) ? f ( x1 ) ? f ?(?1 )( x0 ? x1 ),

?1 ? ( x1 , x0 );

f ( x2 ) ? f ( x0 ) ? f ?(? 2 )( x2 ? x0 ),
注意:x0 ? x1 ? x2 ? x0

? 2 ? ( x0 , x2 );

两式相减得:f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 2 f ( x0 ) ? [ f ?(? 2 ) ? f ?(?1 )]( x0 ? x1 ),

f ?( x) 在区间[?1 , ?2 ]上应用拉格朗日中值定理:
f ?(? 2 ) ? f ?(?1 ) ? f ??(? )(? 2 ? ?1 ),
当 f ??(? ) ? 0 时, f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 2 f ( x0 ),

? ? (?1 , ? 2 );
()成立。 1 (2)成立。
-1616

当 f ??(? ) ? 0 时, f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 2 f ( x0 ),

例8 判断曲线 y ? x 的凹凸性.
4

解:

3 2 ? ? ? y ? 4 x ,y ? 12 x

当 x ? 0 时,y?? ? 0, 当 x ? 0 时,y?? ? 0.
故, y ? x4 在 (?? , ? ?) 上是凹的.

x

注释 1:在个别二阶导数为0的点,若此点两侧二阶导 数不变号,则不改变曲线的凹凸性.

注释 2:改变凹凸性的点只可能是二阶导为零及二阶 导不存在的点。
-17-

例 9 判断曲线 y ? x3 的凹凸性.
2 ? ? y ? 3 x , 解

y?? ? 6 x ,

当x ? 0时,y?? ? 0,
? 曲线在(??,0]为凸的;

当x ? 0时,y?? ? 0, ? 曲线在[0, ??)为凹的;
注意: 点(0, 0)是曲线的拐点.
18

-18-

例10 求曲线 y ? 3 x 的拐点.
解:

y? ? x
1 3

?2

3

,

y?? ? ? x
2 9

?5

3

y ??

x

(?? , 0)

0
不存在

(0 , ? ? )

?

?

y
的拐点.

0

因此点(0,0)为曲线 y ? 3 x

19

-19-

总结:判别曲线的凹凸性及拐点的方法步骤:
(a) 求 f ??( x);

(b) 求出使 f ??( x) ? 0的点及 f ??( x)不存在的点;
(c) 检查在这些点左右两边 f ??( x)的点符号,从而 决定曲线的凹凸区间及其拐点.

20

-20-

例11 求 y ? 3x ? 4 x ? 1的凹凸区间及拐点.
4 3

解:

y? ? 12 x ? 12 x ,

3

2

y?? ? 36 x ? 24 x
令 y?? ? 0,? x1 ? 0 , x2 ? 2 3,
(?? , 0)

2

(0,1)
11 (2 , ) 3 27

x
y ??

?

0 0
1

(0, 2 3)

?

2 3

(2 3 , ? ?)

0
11 27

?

y

2 故,该曲线在 (??, 0), ( 2 , ? ? ) 上是凹的, (0, 3 3 ) 上是凸的;

2 11 点 (0,1) 及( 3 , 27 ) 均为拐点.

21

-21-

注释 3:若函数在闭区间上为凹(凸)函数,则最大 (小)值在边界达到.

22

-22-

2 例12 证明:当 0 ? x ? ? 时,有 sin x ? 2 ? x.
2 证: 令 F ( x) ? sin x ? ? x 0? x? ? 2

则 F (0) ? 0,F ( ? 2) ? 0
2 又 F ?( x) ? cos x ? ? ,F ??( x) ? ? sin x ? 0

故,在(0, ? 2 ) 内,F ( x) 是凸函数,
则 F ( x) ? min ? F (0), F ( ? 2 )? ? 0
2 从而 sin x ? ? x

0? x? ? 2.

23

-23-

x? y 例13 证明 : x ln x ? y ln y ? ( x ? y ) ln 2 证: 令 f ( z ) ? z ln z ( z ? 0)

(x ? 0, y ? 0)

? f ?( z) ? ln z ? 1

1 f ??( z ) ? ? 0 z

( z ? 0)

x? y 1 ) ? [ f ( x ) ? f ( y )] ? f ( z )是凹函数, 则 f ( 2 2

1 x? y x? y 即, ( x ln x ? y ln y ) ? ln 2 2 2

x? y 故,x ln x ? y ln y ? ( x ? y ) ln 2
24

-24-

习题 3 ? 4 P 152 ? P 154
1, 8(3,4), 3( 4, 6), 9(3,6), 5( 2, 5), 6

10(1,2), 13, 14

25

-25-

思考题
若 f ?(0) ? 0 ,是否能断定 f ( x ) 在原点的充分小的 邻域内单调递增?

不能断定.

1 ? 2 ? x ? 2 x sin , x ? 0 例 f ( x) ? ? x ? x?0 ? 0,

1 f ?(0) ? lim (1 ? 2 ? ?x ? sin ) ? 1 ? 0 ?x ? 0 ?x 1 1 但 f ?( x ) ? 1 ? 4 x sin ? 2 cos , x x x?0
26

-26-

1 1 f ?( x ) ? 1 ? 4 x sin ? 2 cos , x x

x?0

1 4 xk ? (k ? ?1, ?2,?),f ?( xk ) ? 1 ? ? 0; 1 1 (2k ? 2 )? (2k ? 2 )? 1 ?? ? ) ? ?1 ? 0; xk (k ? ?1, ?2,?),f ?( xk 2 k?

? ? 0; k ? ?时,xk ? 0;xk 因此,在x =0的任何邻域内,f ?( x )的取值有正有负, f ( x )在x =0的任何邻域内都不单调。

27

-27-

思考题
设 f ( x ) 在 (a , b) 内二阶可导,且 f ??( x 0 ) ? 0 ,其中

x0 ? (a , b) ,则( x0 , f ( x 0 ))是否一定为曲线 f ( x ) 的
拐点?举例说明.

因为 f ??( x 0 ) ? 0 只是( x0 , f ( x 0 )) 为拐点 的必要条件,

故( x0 , f ( x0 )) 不一定是拐点.

例 f ( x) ? x4

x ? ( ??,??)

f ??(0) ? 0

但( 0,0)并不是曲线 f ( x ) 的拐点.
28

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