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北大附中河南分校2015-2016学年高二上学期第一次月考数学(理)试卷


北大附中河南分校 2015-2016 学年上学期九月考试
试卷 高二数学
考试时间 120 分钟 满分 150 分

一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分. 在每小题给出的四
个选项中,只有一项是符合题目要求的). 1 . 已 知 全 集 U=R , 实 数 a 、 b 满 足 等于

r />, 则集合 ( A. C. 2.若数列 的前 n 项和 则 ) B. D. 等于( )

A 18 B 19 C 20 D 21 3.如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么 a1+a2+…+a7=( ) (A)14 (B)21 (C)28 (D)35 4.下列命题 ①命题 “若 ②命题 ③若 ④“ 为真命题,则 ”是“ 、 均为真命题. ”的充分不 必要条件. , 则 ” 的逆否命题是 “若 , 则 ” .

其中真命题的个数有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 5. 已知等差数列{an}中,|a3|=|a9|,公差 d<0,Sn 是数列{an}的前 n 项和, 则( ) (A)S5>S6 (B)S5<S6 (C)S6=0 (D)S5=S6

? x ? 2y ? 2, ? 6. 已知变量 x,y 满足约束条件 ?2x ? y ? 4, 则目标函数 z=3x-y 的取值范围是 ?4x ? y ? ?1, ?
( )

(A)[-

3 ,6] 2

(B)[-

3 ,-1] 2

(C)[-1,6]

(D)[-6,

3 ] 2

1 4 7.已知 a>0,b>0,a+b=2,则 ? 的最小值是( a b 7 9 (A) (B)4 (C) 2 2

) (D)5

8. 等比数列{an}中,若 log2(a2a98)=4,则 a40a60 等于( ) (A)-16 (B)10 (C)16 (D)256 * 9.已知数列{an}满足 log3an+1=log3an+1(n∈N )且 a2+a4+a6=9,则 log 1 ? a 5 ? a 7 ? a 9 ? 的
3

值是( (A)-5

) (B)-

1 1 (C)5 (D) 5 5 2 2 10. 已知双曲线 mx -ny =1(m>0,n>0)的离心率为 2,则椭圆 mx2+ny2=1 的离心率为 ( )

?A?

1 3

? B?

6 3

?C?

3 3

?D?

2 3 3

11.在 角为( ) A

中,已知

,最大边与最小边的比为

,则三角形的最大

B

C

D

12. 以 F1(-1,0),F2(1,0)为焦点且与直线 x-y+3=0 有公共点的椭圆中, 离心率最大 的椭圆方程是( )

x2 y2 ? ? 1?????????????????? B ? 20 19 x2 y2 ? ? 1?????????????????? D ? ?C? 5 4

?A?

x2 y2 ? ?1 9 8 x2 y2 ? ?1 3 2

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13. 已知 F1,F2 分别是椭圆

x 2 y2 ? ? 1 (a>b>0)的左、右焦点,以原点 O 为圆心, a 2 b2

OF1 为半径的圆与椭圆在 y 轴左侧交于 A,B 两点,若△F2AB 是等边三角形,则椭圆 的离心率等于________________

.14 ..过抛物线 于点 C 若

的焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A,B,两点,交准线 ,则直线 AB 的斜率为________________

15.若当 x>1 时不等式 16. 有下列命题 ①若 ②直线 ③直线 ,则

x2 ? 3 ? m 2 ? 1 恒成立,则实数 m 的取值范围是______. x ?1

; 的倾斜角为 45°,纵截距为-1; 与直线 平行的充要条件是 且 ;

④当



时,

; ;

⑤到坐标轴距离相等的点的轨迹方程为 其中真命题的是_______________

三、解答题:(本大题共 5 小题,满分 60 分. 解答须写出文字说明,证明过程或 演算步骤. ) 17. (本小题满分 10 分) 在 中, 角 A、 B、 C 的对边分别为 、 、 .若 的外接圆的半径 ,



, 分别求出 B 和 b 的大小.

18. (本小题满分 12 分) 等差数列{an}中,2a1+3a2=11,2a3=a2+a6-4,其前 n 项和为 Sn. (1)求数列{an}的通项公式. (2)设数列{bn}满足 b n ?
3 其前 n 项和为 Tn,求证: Tn ? (n∈N*). , 4 Sn ?1 ? 1

1

19. (本小题满分 12 分)设{an}是等差数列,{bn}是各项都为正数的等比数列,且 a1=b1=1,a3+b5=21,a5+b3=13.

(1)求{an},{bn}的通项公式. (2)求数列{

an }的前 n 项和 Sn. bn
3 3 x+1,x∈[ ,2]},B={x|x+m2≥1}. 2 4

20. (本小题满分 12 分)已知集合 A={y|y=x2-

若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,求实数 m 的取值范围. 21. (本小题满分 12 分) 已知双曲线的中心在原点,焦点 F1,F2 在坐标轴上,离 心率为 2, 且过点 P 4, ? 10 . (1)求双曲线的方程.

?

?

???? ???? (2)若点 M(3,m)在双曲线上,求证: MF1 ?MF2 =0.
(3)求△F1MF2 的面积. 22. (本小题满分 12 分)设 F1、F2 分别是椭圆 的左、右焦点.

(1)若 P 是该椭圆上的一个动点,求 PF1 ? PF2 的最大值和最小值; (2)设过定点 M (0, 2) 的直线 与椭圆交于不同的两点 A、 B, 且∠AOB 为锐角 (其 中 O 为坐标原点) ,求直线 的斜率 的取值范围.

焦作校区 2015-2016 学年上学期九月考试试卷 高二数学(适用宏志班)参考答案
一.选择题: 1D 2B 3C 4C 5 D 6A 14 7C 8C 9A 10B 11A 12C 16. ②③

二.填空题:13 三.解答题 17. 由正弦定理: ,

3 ?1 ;

; 15. ? 5 ? m ? 5

得 .



代入 整理得 即







18.(1)2a1+3a2=2a1+3(a1+d)=5a1+3d=11, 2a3=a2+a6-4, 即 2(a1+2d) =a1+d+a1+5d-4,得 d=2, 则 a1=1,故 an=2n-1. (2)由(1)得 Sn=n2,? b n ?
1 Sn ?1 ? 1 ? 1 (n ? 1) 2 ? 1

=

1 1 ? n ? 2n n ? n ? 2 ?
2

1 1 1 = ( ? ), 2 n n?2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Tn ? ( ? ? ? ? ? ? … ? ? ? ? ) 2 1 3 2 4 3 5 n ?1 n ?1 n n ? 2 1 1 1 1 1 3 = ( ? ? ? ) ? (n ? N* ) . 2 1 2 n ?1 n ? 2 4
4 ? ?1 ? 2d ? q ? 21, 19.(1)设{an}的公差为 d,{bn}的公比为 q,则依题意有 q>0 且 ? 解得 2 1 ? 4d ? q ? 13, ? ?

?d ? 2, ? ?q ? 2.
所以 an=1+(n-1)d=2n-1,bn=q =2 . (2)
a n 2n ? 1 ? n ?1 , bn 2
n-1 n-1

3 5 2n ? 3 2n ? 1 ? 2 ? … ? n ? 2 ? n ?1 , 1 2 2 2 2 5 2n ? 3 2n ? 1 2Sn= 2 ? 3 ? ? … ? n ?3 ? n ? 2 . 2 2 2 2 2 2 2n ? 1 ②-①,得 Sn= 2 ? 2 ? ? 2 ? … ? n ? 2 ? n ?1 2 2 2 2 1 1 1 2n ? 1 =2+2× (1 ? ? 2 ? … ? n ? 2 ) ? n ?1 , 2 2 2 2 1 1 ? n ?1 2n ? 1 2n ? 3 = 2 ? 2 ? 2 ? n ?1 ? 6 ? n ?1 . 1 2 2 1? 2 3 3 7 3 7 20. y=x2- x+1=(x- )2+ ,≧x∈[ ,2],? ≤y≤2, 2 4 16 4 16 7 ?A={y| ≤y≤2}.由 x+m2≥1,得 x≥1-m2, 16 Sn ? 1 ? 7 3 3 ,解得 m≥ 或 m≤- , 16 4 4 3 3 故实数 m 的取值范围是(-≦,- ]∪[ ,+≦). 4 4

① ②

?B={x|x≥1-m2}.≧“x∈A”是“x∈B”的充分条件,?A?B, ?1-m2≤

21. (1)≧e= 2, ?可设双曲线方程为 x2-y2=λ(λ≠0). ≧过点 P 4, ? 10 , ?16-10=λ,即λ=6.?双曲线方程为 x2-y2=6. (2)方法一:由(1)可知,双曲线中 a=b= 6,

?

?

? c ? 2 3,? F1 ?2 3, 0 , F2 2 3, 0 . ? k MF1 ? m m , k MF2 ? , 3? 2 3 3? 2 3
m2 m2 2 2 ?? . ≧点 M(3,m)在双曲线上,?9-m =6,m =3. 9 ? 12 3

?

? ?

?

k MF1 ?k MF2 ?

故 k MF1 ?k MF2 ? ?1, ?MF1⊥MF2.

???? ? ???? ? ? MF1 ?MF2 ? 0.
方法二:∵ MF1 = ?3 ? 2 3, ? m , MF2 ? 2 3 ? 3, ?m ,

???? ?

?

?

???? ?

?

?

???? ? ???? ? ? MF1 ?MF2 = 3 ? 2 3 ? 3 ? 2 3 ? m 2 ? ?3 ? m 2 .

?

? ?

?

∵M(3,m)在双曲线上,∴9-m =6,即 m -3=0.? MF1 ?MF2 ? 0.
2 2

???? ? ???? ?

(3)△F1MF2 的底|F1F2|= 4 3,
? S? F1MF2 ? 6.

△F1MF2 的边 F1F2 上的高 h=|m|= 3 ,

22.解法一: (1)易知 则 , , 所以 , ,设 P ,

因为 故当 当 解法二: (1)易知 所以 , ,

, ,即点 P 为椭圆短轴端点时, ,即点 P 为椭圆长轴端点时, 有最小值-2; 有最大值 1.

, ,设 P

, ,则

(以下同解法一). (2)显然直线 可设直线 : 不满足题设条件. ,A( ) ,B( )

联立

,消去

,整理得:

?



由 又 ? 又

得:







,即

,?



故由①②得



.


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