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函数的单调性与最大(小)值题型及解析


函数的单调性与最大(小)值题型及解析
1.函数 y=x +4x﹣1 的递增区间是什么? 分析:根据二次函数的开口方向和对称轴可判断出在对称轴右侧单调递增 2 2 解:∵函数 y=x +4x﹣1 的图象开口向上,对称轴为 x=﹣2,∴y=x +4x﹣1 在(﹣∞,﹣2)上单调递减,在(﹣2, +∞)上单调递增.故答案为(﹣2,+∞) . 2 2.函数 y=x ﹣6x+5 在区间(0,5)上是( )A 递增函数 B 递减函数 C 先递减后递增 D 先递增后递减 分析:本题考察函数单调性的判断与证明,根据二次函数的图象与性质直接进行求解即可 2 2 2 解:∵y=x ﹣6x+5? y=(x﹣3) ﹣4,∴对称轴为 x=3,根据函数 y=x ﹣6x+5 可知 a=1>0,抛物线开口朝上,∴ 函数图象在(﹣∞,3]上单调递减,在(3,+∞)上单调递增,∴在函数在(0,5)上先递减后递增,故选 C 3.如图,已知函数 y=f(x) ,y=g(x)的图象(包括端点) ,根据图象说出函数的单调区间,以及在每一个区间 上,函数是增函数还是减函数. 分析:本题考察函数单调性的性质,根据函数单调性和 图象之间的关系进行求解即可 解: (1)由图象知函数在[﹣2,﹣1],[0,1]上为减函数, 则[-1,0],[1,2]上为增函数,即函数的单调递增区间为 [-1,0],[1,2],函数单调递减区间为[-2,-1],[0,1] (2)由图象知函数在[-3,-1.5],[1.5,3]上为减函数,则 [﹣1.5,1.5]上为增函数,即函数的单调递增区间为[-3,-1.5], [1.5,3],函数单调递减区间为[﹣1.5,1.5] 2 4.已知函数 f(x)=x ﹣2ax+1 在(-∞,1〕上是减函数,求实数 a 的取值范围 分析:如图,先求出对称轴方程,利用开口向上的二次函数在对称轴右边递增, 左边递减,比较区间端点和对称轴的大小即可 解:因为开口向上的二次函数在对称轴右边递增,左边递减;而其对称轴 为 x=a,又在(-∞,1〕上是减函数,故须 a≥1 2 5.已知函数 f(x)=x +4(1﹣a)x+1 在[1,+∞)上是增函数,求 a 的取值范围 分析:通过二次函数的解析式观察开口方向,再求出其对称轴,根据单调性建立不等关系,求出 a 的范围即可 2 解:函数 f(x)=x +4(1﹣a)x+1 是开口向上的二次函数,其对称轴为 x=2(a﹣1) ,根据二次函数的性质可知 在对称轴右侧为单调增函数,所以 2(a﹣1)≤1,解得 a≤1.5 2 6.若函数 y=x +2(a﹣1)x+2 在区间(﹣∞,6)上递减,求 a 的取值范围 分析:由 f(x)在区间(﹣∞,6]上递减知: (﹣∞,6]为 f(x)减区间的子集,由此得不等式,解出即可. 解:f(x)的单调减区间为: (﹣∞,1﹣a],又 f(x)在区间(﹣∞,6]上递减,所以(﹣∞,6]? (﹣∞,1 ﹣a],则 1﹣a≥6,解得 a≤﹣5,所以 a 的取值范围是(﹣∞,﹣5] 7.如图,分析函数 y=|x+1|的单调性,并指出单调区间 分析:去掉绝对值,根据基本初等函数的图象与性质,即可得出函数 y 的单调性 与单调区间.
2

解:∵函数 y=|x+1|=

;∴当 x>﹣1 时,y=x+1,是单调增

函数,单调增区间是(0,+∞) ;当 x<﹣1 时,y=﹣x﹣1,是单调减函数,单调减区间是(﹣∞,0) 4 2 8.求函数 f(x)=x ﹣2x +5 在区间[﹣2,2]上的最大值与最小值 2 4 2 分析:本题考察二次函数在闭区间上的最值,菁令 t=x ,可得 0≤t≤4,根据二次函数 g(t)=f(x)=x ﹣2x +5= 2 (t﹣1) +4 的对称轴为 t=1,再利用二次函数的性质求得函数 g(t) 在区间[0,4]上的最值. 2 4 2 2 2 解:令 t=x ,由﹣2≤x≤2,可得 0≤t≤4,由于二次函数 g(t)=f(x)=x ﹣2x +5=t ﹣2t+5=(t﹣1) +4 的对 称轴为 t=1,则函数 g(t) 在区间[0,4]上的最大值是 g(4)=13,最小值为 g(1)=4,故答案为 13,4. 9.证明函数 在[﹣2,+∞)上是增函数

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分析:本题考查的是函数单调性的判断与证明,在解答时要根据函数单调性的定义,先在所给的区间上任设两个 数并规定大小,然后通过作差法即可分析获得两数对应函数值之间的大小关系,结合定义即可获得问题的解答 证明:任取 x1,x2∈[﹣2,+∞) ,且 x1<x2,则 f(x1)-f(x2)= x1 ? 2 - x2 ? 2 =

( x1 ? 2 ? x 2 ? 2 )( x1 ? 2 ? x 2 ? 2 ) x1 ? 2 ? x 2 ? 2

=

x1 ? x2 x1 ? 2 ? x2 ? 2

,因为 x1-x2<0, x1 ? 2 + x2 ? 2 >0,

得 f(x1)<f(x2)所以函数 10.函数 f(x)=

在[﹣2,+∞)上是增函数.

,①用定义证明函数的单调性并写出单调区间;②求 f(x)在[3,5]上最大值和最小值 ,根据反比例函数的单调性便可看出 f(x)的单调递增区间为(﹣∞,

分析:①分离常数得到 f(x)=

﹣1) , (﹣1,+∞) ,根据单调性的定义证明:设任意的 x1,x2≠﹣1,且 x1<x2,然后作差,通分,说明 x1,x2 ∈(﹣∞,﹣1) ,或 x1,x2∈(﹣1,+∞)上时都有 f(x1)<f(x2) ,这样即可得出 f(x)的单调区间; ②根据 f(x)的单调性便知 f(x)在[3,5]上单调递增,从而可以求出 f(x)的值域,从而可以得出 f(x)在 [3,5]上的最大、最小值.

2 x ? 1 2( x ? 1) ? 1 1 = =2;该函数的定义域为{x|x≠﹣1},设 x1,x2∈{x|x≠﹣1},且 x1< x ?1 x ?1 x ?1 x1 ? x2 1 1 x2,则:f(x1)- f(x2)= = ;∵x1<x2;∴x1﹣x2<0;∴x1,x2∈(﹣∞,﹣1) x 2 ? 1 x1 ? 1 ( x1 ? 1)(x2 ? 1)
解:①f(x)= 时,x1+1<0,x2+1<0;x1,x2∈(﹣1,+∞)时,x1+1>0,x2+1>0;∴(x1+1) (x2+1)>0;∴f(x1)<f(x2) ; ∴f(x)在(﹣∞,﹣1) , (﹣1,+∞)上单调递增,即 f(x)的单调增区间为(﹣∞,﹣1) , (﹣1,+∞) ; ②由上面知 f(x)在[3,5]上单调递增;∴f(3)≤f(x)≤f(5) ;∴7/4≤f(x)≤11/6;∴f(x)在[3, 5]上的最大值为 11/6,最小值为 7/4

1 )=3x. (1)求 f(x)的解析式及定义域; (2)指出 f(x)的单调区间并加以证明 x 1 1 1 3 6 解: (1)由 f(x)+2f( )=3x ①,用 代替 x,得 f( )+2f(x)= ②;②×2-①,得 3f(x)= -3x, x x x x x 2 2 所以 f(x)= -x(x≠0) (2)由(1) ,f(x)= -x(x≠0)其递减区间为(-∞,0)和(0,+∞) ,无增区间.事 x x 2( x1 ? x 2 ) 2 ? x1 x 2 2 2 实上, 任取 x1, x2∈ (-∞, 0) 且 x1<x2, 则 f(x1)-f(x2)= -x1+x2= -(x1-x2)=(x2-x1)? , x1 x2 x1 x 2 x1 x 2 2 ? x1 x 2 ∵x1<x2<0∴x2-x1>0,x1x2>0,2+x1x2>0,所以 (x2-x1)? >0,即 f(x1)>f(x2)故 f(x)在(x1 x 2
11.已知 f(x)+2f( ∞,0)上递减.同理可证其在(0,+∞)上也递减 12.证明:f(x)=x+

1 在(3,+∞)上是增函数,在(2,3]上是减函数 x ?2
1 1 )-(x2+ )=(x1﹣x2) x1 ? 2 x2 ? 2

分析:利用函数单调性的定义证明. 证明:设任意的 x1,x2∈(3,+∞) ,且 x1<x2,则 f(x1)﹣f(x2)=(x1+ ?

( x1 ? 2)(x2 ? 2) ? 1 ,∵x1,x2∈(3,+∞) ,且 x1<x2,∴x1﹣x2<0,x1﹣2>1,x2﹣2>1, (x1﹣2) (x2﹣2) ( x1 ? 2)(x2 ? 2) ( x ? 2)(x2 ? 2) ? 1 >1,∴(x1﹣x2)? 1 <0,∴f(x1)﹣f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2) , ( x1 ? 2)(x2 ? 2) 1 1 ∴f(x)=x+ 在(3,+∞)上是增函数.同理可证,f(x)=x+ 在(2,3]上是减函数 x ?2 x ?2

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