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【2015届备考】2015届全国名校数学试题分类解析汇编(12月第三期):I单元 统计]


I 单元
目录

统计

I 单元 I1 I2 I3 I4

统计 ......................................................................................................................................................................... - 1 -

随机抽样 ......................................................................................................................................................................... - 1 用样本估计总体 ........................................................................................................................................................ - 3 正态分布 ....................................................................................................................................................................... - 5 变量的相关性与统计案例 .................................................................................................................................... - 5 -

I5 单元综合 ......................................................................................................................................................................... - 6 -

I1 随机抽样
【数学理卷·2015届河北省唐山一中高三上学期期中考试(201411) 】18.(本题满分12分) 某市 A, B, C , D 四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示: 中学 人数

A

B

C
20

D

30

40

10

为了了解参加考试的学生的学习状况,该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四所中 学的学生当中随机抽取50名参加问卷调查. (1)问 A, B, C , D 四所中学各抽取多少名学生? (2) 从参加问卷调查的 50 名学生中随机抽取两名学生, 求这两名学生来自同一所中学的概率 ; (3)在参加问卷调查的 50 名学生中,从来自 A, C 两所中学的学生当中随机抽取两名学生, 用 ? 表示抽得 A 中学的学生人数,求 ? 的分布列. 【知识点】随机抽样古典概型离散型随机变量以及分布列I1 K2 K6

【答案】 (1)

;(2)

2 ;(3) 7

.

【解析】解析: (1)由题意知,四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为100名

, 抽取的样本容量与总体个数的比值为 ∴应从 . . …………… 4分

四所中学抽取的学生人数分别为

(2)设“从 50 名学生中随机抽取两名学生,这两名学生来自同一所中学”为事件 M , 从 50 名学生中随机抽取两名学生的取法共有 C50 ? 1225 种,… 5分
2

来自同一所中学的取法共有 C15 ? C20 ? C10 ? C5 ? 350 . …………… 6分
2 2 2 2

∴ P( M ) ?

350 2 ? . 1225 7 2 . … 7分 7

答:从 50 名学生中随机抽取两名学生来自同一所中学的概率为

(3)由(1)知, 50 名学生中,来自 A, C 两所中学的学生人数分别为 15,10 . 依题意得, ? 的可能取值为 0,1, 2 , ………… 8分

P(? ? 0) ?

2 1 1 2 C10 C15 C10 C15 3 1 7 ? P ( ? ? 1) ? ? P ( ? ? 2) ? ? , , .…… 11分 2 2 2 C25 20 C25 2 C25 20

∴ ? 的分布列为: …

12分

【思路点拨】(1)由题意知抽取的样本容量与总体个数的比值为

,由此能求出应从A,B

,C,D四所中学抽取的学生人数; (2)利用组合的意义分别计算出从参加问卷调查的50名学 生中随机抽取两名学生的方法和这两名学生来自同一所中学的取法,再利用古典概型的概率 计算公式即可得出; (3)由(1)知,在参加问卷调查的50名学生中,来自A,C两所中学的学 生人数分别为 15 , 10 .可得 ξ 的可能取值为 0 , 1 , 2 .利用超几何分布的概率计算公式

P (? ? k) ?


2? k k C10 .C15 (k ? 0, 1, 2), 即可得到分布列,利用数学期望的概率计算公式即可得出 2 C25

【数学文卷·2015 届湖北省八校高三第一次联考(201412)word 版】12.某校选修篮球课程 的学生中,高一学生有 30 名,高二学生有 40 名,现用分层抽样的方法在这 70 名学生中抽取 一个容量为 n 的样本,已知在高一学生中抽取了 6 人,则在高二学生中应抽取___人. 【知识点】分层抽样的意义. I1

【答案】 【解析】8 解析:在高二学生中应抽取 40 ? 【思路点拨】根据分层抽样的意义求结论.

6 ? 8 人. 30

I2 用样本估计总体
【数学理卷·2015 届湖北省武汉华中师范大学第一附属中学高三上学期期中考试(201411) 】 20.(本小题满分 12 分) 节日期间,高速公路车辆较多.某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先 后每间隔 50 辆就抽取一辆的抽样方法抽取 40 名驾驶员进行询问调查,将他们在某段高速公路 的车速 (km/h) 分成六段 [80,85), [85,90), [90,95), [95,100), [100,105), [105,110) 后得到如下 图所示的频率分布直方图. (Ⅰ)此调查公司在采样中用到的是什么抽样方法? (Ⅱ) 求这 40 辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值. (Ⅲ)若从车速在 [80,90) 的车辆中任抽取 2 辆,求抽出 的 2 辆车中车速在 [85,90) 的车辆数 ? 的分布列及 数学期望. 【知识点】频率分布直方图,分布列与数学期望 I2 K6 【答案】【解析】(Ⅰ)系统抽样(Ⅱ)中位数的估计 值 为

97.5 ( Ⅲ ) ?

的 分 布 列 为



值 E (? ) ? 0 ? 1?

8 6 4 ? 2? ? . 15 15 3

解析: (I)系统抽样……………………2 分 (II)众数的估计值为最高的矩形的中点,即众数的估计值等于 97.5 , 设图中虚线所对应的车速为 x ,则中位数的估计值为 0.01? 5 ? 0.02 ? 5 ? 0.04 ? 5 ? 0.06 ? ( x ? 95) ? 0.5 ,解得 x ? 97.5 即中位数的估计值为 97.5 ……………………6 分 (Ⅲ)从图中可知,车速在 80,85? 的车辆数为 m1 ? 0.01? 5 ? 40 ? 2 (辆). 车速在 85,90? 的车辆数为 m2 ? 0.02 ? 5 ? 40 ? 4 (辆),?? ? 0,1, 2

?

?

P ?? ? 0 ? ?

2 0 1 1 0 2 C2 C4 1 C2 C4 8 C2 C4 6 ? , P ? ? 1 ? ? , P ? ? 2 ? ? , ? ? ? ? 2 2 2 C6 15 C6 15 C6 15

? 的分布列为

均值 E (? ) ? 0 ? 1?

8 6 4 ? 2? ? . 15 15 3

……………………12 分

【思路点拨】(II)众数的估计值为最高的矩形的中点(Ⅲ)由题意求出

P ?? ? 0 ? ?

2 0 1 1 0 2 C2 C4 1 C2 C4 8 C2 C4 6 ? , P ? ? 1 ? ? , P ? ? 2 ? ? , ? ? ? ? 2 2 2 C6 15 C6 15 C6 15

即可求得分布列与期望.

【数学文卷·2015 届重庆市重庆一中高三上学期期中考试(201411)word 版】17. (本题满 分 13 分)从某校高三学生中抽取 n 名学生参加数学竞赛,根据成绩(单位:分)的分组及各 数据绘制的频率分布直方图如图所示,已知成绩的范围是区间 [40, 100),且成绩在区间[70, 90)的学生人数是 27 人.⑴求 n 的 值 ; ⑵若从数学成绩(单位:分)在[40,60)的学生中随机选取 2 人进行成绩分析,求至少有 1 人 成绩在[40, 50)内的概率.

【知识点】用样本估计总体;古典概型. I2 【答案】 【解析】 (1)50; (2)

K2

7 .解析:⑴成绩在区间 ?70, 90 ? 的频率是: 10 1 ? (0.02+0.016+0.006+0.004)×10=0.54, 27 ? 50 人. ∴n ? 0.54 50 ? 的学生人数是:50×0.04=2 人, ⑵成绩在区间 ? 40,
60 ? 的学生人数是:50×0.06=3 人, 成绩在区间 ?50, 50 ? 的学生分别是 A1,A2,成绩在区间 ?50, 60 ? 的学生分别是 B1,B2, 设成绩在区间 ? 40,

B3, 从成绩在 ?40, 60 ? 的学生中随机选取 2 人的所有结果有:(A1,A2),(A1,B1), (A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3)共 10 种情

况. 至少有 1 人成绩在 ?40, 50 ? 内的结果有:(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1), (A2,B2),(A2,B3)共 7 种情况. 7 ∴至少有 1 人成绩在 ?40, 50 ? 内的概率 P= . 10 【思路点拨】 (1)先求成绩在区间 ?70, 90 ? 的频率,由频率=

频数 得 n 值; (2)分别求出成 n

绩在区间 ? 40, 50 ? 的学生人数 2 人,和成绩在区间 ?50, 60 ? 的学生人数 3 人,用列举法写出从 这 5 人中随机选取 2 人的所有情况共 10 种, 其中至少有 1 人成绩在 ?40, 50 ? 内的结果有 7 种, 从而得所求概率.

I3 正态分布

I4 变量的相关性与统计案例
【数学理卷·2015 届湖北省武汉华中师范大学第一附属中学高三上学期期中考试(201411) 】 4.从某高中随机选取 5 名高三男生,其身高和体重的数据如下表所示:

由上表可得回归直线方程 y ? 0.56 x ? a , 据此模型预报身高为 172 cm 的男生的体重大约为 () A.70.09 kg B.70.12 kg C.70.55 kg D.71.05 kg 【知识点】线性回归方程 I4 【 答 案 】 【 解 析 】 B 解 析 : 由 题 意 可 得 x ? 170, y ? 69 , 代 入 回 归 直 线 方 程

69 ? 0.56 ?170 ? a ? a ? ?26.2 所以身高为 172 cm 的男生的体重大约为
0.56 ?172 ? 26.2 ? 70.12kg ,故选 B.
【思路点拨】由题意可得回归直线方程 y ? 0.56 x ? a 过点 ( x, y ) 可求 a ,代入身高 172 cm 即 可求出男生体重.

I5 单元综合


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