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“晋商四校”高三联考数学试题


2014-2015 学年度第一学期“晋商四校”高三联考

数学试题(理)
本试卷满分 150 分 考试时间 120 分钟
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集为 R , 集合 A ? ?x x ? 3 ?, 则集合 (CR A) B ? ?x 2

? x ? 4 ?, A. ?x x ? 3

B 等于
D. ?x x ?4?

(

)

?

B. ?x 2 ? x ?3?

C. ?x 3 ? x ?4?

2. 下列说法正确的是 A. 命题 P :"?x ? R, sin x ? cos x ? 2" ,则 ? P 是真命题; B. 命题 "?x ? R, 使得x 2 ? 2x ? 3 ? 0" 的否定是: "?x ? R, x 2 ? 2 x ? 3 ? 0" ; C.“ x ? 1或y ? 2 ”是“ x ? y ? 3 ”的必要不充分条件; D. “ A ? B ”是“ tan A ? tan B ”的充分不必要条件. 3. 若 sin ? ? A.

(

)

3 ,? 是第二象限的角,则 tan 2? 的值为 5
B. ?

( D. ?

)

7 24

7 24

C.

24 7

24 7
( )

4. 在下列区间中, 函数 f ( x) ? e x ? 4 x ? 3 的零点所在的区间为 A. (0, )

1 4

B. ( , )

1 1 4 2

C. ( , )

1 3 2 4

D. ( ,1) ( )

3 4

2 5. 由曲线 y ? x ? 1 , 直线 y ? ? x ? 3 及两条坐标轴所围成图形的面积为

A.

7 3

B.

8 3

C.

10 3

D. 3 ( )

6. 已知函数 f ? x ? ?

1 ,则y ? f ? x ? 的图象大致为 x ? ln x ? 1

7. 已知向量 a ? ( 3,1) , 则 k 的值为 ( c ? (k , 3) ,若 a ? 2b与c 共线, b ? (0, ?1) , A. 2 B. ?1

)

8. 函数 f ( x) ? 2 sin(?x ? ? )(? ? 0, ? 图所示,则 ?,? 的值分别是 A. 2, ?

?
2

C. 1

?? ?
1 ? , ? 2 3

?

D. ?2

2

) 的部分图象如
( )

? 3

B. 2, ?

? 6

C.

D.

1 ? , 2 6
( D. 1 )

9. 若向量 a , b 满足 | a |?| b |?| a ? b |? 1 ,则 a ? b 的值为 A.

1 2

B. ?

1 2

C. ?1

10. 若 ?

? 1 ? ? ? 3 ? ? ,则 cos( ? ? ) ? ? ? ? 0 ? ? ? , cos( ? ? ) ? , cos( ? ) ? 4 3 2 4 2 3 2 2
( )

A.

3 3

B. ?

6 9

C. ?

3 3

D.

5 3 9

11. 设 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,对 x ? R ,都有 f ( x ? 2) ? f ( x ? 2) ,且当

1 x ? ?? 2, 0? 时, f ( x) ? ( ) x ? 1 ,若在区间 (?2, 6] 内关于 x 的方程 2

f ( x) ? log a ( x ? 2) ? 0 (a ? 1) 恰有 3 个不同的实数根,则 a 的取值范围是
A. (1,2) B. (2,+∞) C. (1,
3

(
3

)

4)

D. (

4 ,2)

12. 定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 的图象关于点 (? ,0) 成中心对称,对任意的实数 x 都 有 f ( x) ? ? f ( x ? ) ,且 f (?1) ? 1 , f (0) ? ?2 ,则

3 4

3 2

f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (2014 )
的值为 A.2 B.1 C.-1 ( D.-2 )

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知函数 f ( x) ? ?

? x ? 1, x ? 0
x ?e , x ? 0

,则 f ( f (0) ? 3) =__________.

14. 平面向量 a ? (1, 2) , b ? (4, 2) , c ? ma ? b (m ? R) , 且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的 夹角,则 m = .
? ?? ?? ? ? 15. 若函数 f ( x) ? sin ? x (? ? 0) 在区间 ?0, ? 上单调递增, 在区间 ? , ? 上单调递减, ?3 2? ? 3? 则? = .

2 sin( x ? ) ? 2 x 2 ? x 4 16. 已知 M 、 m 分别是函数 f ( x) ? 的最大值、最小值,则 2 2 x ? cos x
M ?m?
. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
2 2 17. (本小题满分 10 分) 命题 P :实数 x 满足 x ? 4ax ? 3a ? 0 (其中 a ? 0 ) ,
m ?

?

? x-1 ? 2 ? 命题 q :实数 x 满足 ? x ? 3 ?0 ? ? x-2
(1)若 a =1,且 P?q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若 ? p 是 ? q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. 18.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? sin x ? a cos x 的一个零点是 (1)求实数 a 的值; (2)设 g ( x) ? f ( x) ? f (?x) ? 2 3sin x cos x ,求 g ( x) 的单调递增区间. 19.(本小题满分 12 分)已知向量 a ? (cos

π . 4

3x 3x x x ,sin ) , b ? (cos , ? sin ) 且 2 2 2 2

? ?? x ? ?0, ? . ? 2?
(1)求 a ? b 及 a ? b ;

3 ,求 ? 的值. 2 20.(本小题满分 12 分)设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c 且
(2)若 f ( x) ? a ? b ? 2? a ? b 的最小值是 ?

1 a cos C ? c ? b . 2 (1)求角 A 的大小;

(2)若 a ? 1 ,求 ?ABC 的周长的取值范围. 21.(本小题满分 12 分)已知定义在 R 上的函数 f ( x) ? ax3 ? 3x2 ,其中 a 为大于零的 常数. (1)当 a ?

1 时,令 h( x) ? f ?( x) ? 6 x ,求证:当 x ? (0,??) 时, h( x) ? 2e ln x , 3

(2)若函数 g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) ,x ? ?0,2? , 在 x ? 0 处取得最大值, 求 a 的取值范围. 22. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? x2 ? a ln(x ? 1) (1)若函数 y ? f ( x) 在区间 ?1,??? 上是单调递增函数,求实数 a 的取值范围; (2)若函数 y ? f ( x) 有两个极值点 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 求证: 0 ?

( e 为自然对数的底数) ;

f ( x2 ) 1 ? ? ? ln 2 . x1 2


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