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高中数学(理)第一轮总复习


1.(2011? 常州期末卷)已知x、y均为实数,A ? 2x ? y ? 1,
2 2

B ? 2x ? y ? 1?.求证:A ? B,并说明等号何时成立.
解析:因为A ? B ? ? 2x ? y ? 1? ? ? 2xy ? 2x ?
2 2

? ? x ? 2xy ? y
2 2<

br />
2

???x
2

2

? 2x ? 1?

? ? x ? y ? ? ? x ? 1? ? 0, 所以A ? B. 当且仅当x ? y ? ?1时,等号成立.

9 2.若x ? 0,求4x ? 2 的最小值. x
9 9 9 解析: 4x ? 2 ? 2x ? 2x ? 2 ? 3 3 2 x ? 2 x ? 2 ? 3, x x x 9 当且仅当x ? 3 时,等号成立. 2 9 3 所以(4x ? 2 ) min ? 3 36. x

3.已知a ? b ? 2,x ? y ? 2,求ax ? by的
2 2 2 2

取值范围.
解析:利用柯西不等式, 有4 ? ? a ? b
2 2

?? x

2

?y

2

? ? ? ax ? by ? ,
2

故 ax ? by ? 2, 则ax ? by的取值范围是 ? ?2, 2?.

4.比较A ? 1 ?

1 2

?

1 3

???

1 n

与 n (n ? N? )的大小.

解析:因为A ? 1 ? ?? 1 n ? n n

1 2

?

1 3

???

1 n

?

1 n

?

1 n

?

? n,故A ? n .

5. ?1? 设x是正数,求证: ?1 ? x ? ?1 ? x

? 2 ? 若x ? R,不等式 ?1 ? x ? ?1 ? x

2

??1 ? x ? ? 8x ; ??1 ? x ? ? 8x 是
2 3 3 3 3

否仍然成立?如果仍成立,请给出证明;如果不 成立,请举出一个使它不成立的x的值.

解析: ?1?因为x ? 0,所以1 ? x ? 2 x ? 0, 1 ? x ? 2x ? 0,1 ? x ? 2x x ? 0,
2 3

三个同向正值不等式相乘得 ?1 ? x ? ?1 ? x

2

??1 ? x ? ? 8x .
3 3

? 2 ? x ? R时原不等式仍然成立.
思路1:分类讨论x ? 0、 ? 1 ? x ? 0、x ? ?1、x ? ?1证; 思路2:左边 ? ? x ? x ? x ? 1??1 ? x
4 3 2 2 2

?

1 2 3 ? ?1 ? x ? ?1 ? x ? [( x ? ) ? ] ? 0. 2 4

利用均值不等式证明不等式

【例1】设a1,a2,a3均为正数,且a1 ? a2 ? a3 ? m, 1 1 1 9 求证:1 ? 2 ? 3 ? . a a a m

1 1 1 【解析】因为( ? ? )?m a1 a2 a3 1 1 1 ? (a1 ? a2 ? a3 )( ? ? ) a1 a2 a3 ? 3?3 a1 ?a2 ?a3 ? 9, m 当且仅当a1 ? a2 ? a3 ? 时等号成立. 3 又因为m ? a1 ? a2 ? a3 ? 0, 1 1 1 9 所以 ? ? ? . a1 a2 a3 m

要能够根据式子的结构特征构造应用均值不等式使用的条件, 同时要注意检验等号成立的条件.

【变式练习1】已知a , b , c∈R,求证

a ? b ? b ? c ? c ? a ? 2(a ? b ? c )
2 2 2 2 2 2

解析:因为a ? b ? 2ab,
2 2

所以2 ? a ? b
2 2 2

2

??a

2

? 2ab ? b ? ? a ? b ? ,
2 2

( a ? b) 即a ? b ? , 2 两边开算术平方得
2

2 2 a ?b ? a?b ? (a ? b) 2 2
2 2

同理可得 2 b ?c ? (b ? c ), 2 2 2 2 c ?a ? (c ? a ) 2 三式相加,得
2 2

a ? b ? b ? c ? c ? a ? 2(a ? b ? c )
2 2 2 2 2 2

应用柯西不等式证明不等式

【例2】已知3x ? 2 y ? 6,求证: 2x ? y ? 11.
2 2

【证明】由柯西不等式得 2 2 1 2 (2 x ? y) ? [( 3x) ? ( 3 y) ] ? [( ) ? ( ) ] 3 2 11 2 2 4 1 ? (3 x ? 2 y )( ? ) ? 6 ? ? 11, 3 2 6
2 2 2

所以2 x ? y ? 11.

要能够根据式子的结构特征构造应用柯西不等式使用的条
件,同时要注意检验等号成立的条件.

【变式练习2】已知a 1 ? b ? b 1 ? a ? 1,
2 2

求证:a ? b ? 1.
2 2

【证明】由柯西不等式,
2 2 2 2 ? ?b ? (1 ? b ) ? ? 1 a 1 ? b ? b 1 ? a ? a ? (1 ? a ) ? ?? ? ? 2 2

1? b 当且仅当 ? 时, 上式取等号. 2 a 1? a b
2

所以ab ? 1 ? a ? 1 ? b
2

2 2

即a b ? ?1 ? a
2 2

2

??1 ? b ?,于是a
2

? b ? 1.
2

不等式证明方法的应用

【例3】已知a+b+c=1,求证:

1 . a ?b ?c ? 3
2 2 2

【解析】方法1:综合法 因为a2+b2+c2=(a+b+c)2- (2ab+2bc+2ac) ≥(a+b+c)2-2(a2+b2+c2), 所以3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2=1. 所以 .

1 a ?b ?c ? 3
2 2 2

方法2:比较法
因为

所以

1 (a ? b ? c ) 2 2 2 a ?b ?c ? ?a ?b ?c ? 3 3 1 , 2 2 2 ? (2a ? 2b ? 2c ? 2ab ? 2bc ? 2ac ) 3 1 2 2 2 ? ? ?(a ? b ) ? (b ? c ) ? (a ? c ) ? ? 0 ? . 3
2 2 2 2

1 a ?b ?c ? 3
2 2 2

(1)综合法的思维特点是执因索果.基本不等式以及一些已
经得证的不等式往往与特征的不等式有着这样或那样的联系, 作由此及彼的联想往往能启发我们证明的方向.

(2)证明不等式的常用的方法有:比较法、综合法、分析法,它们各 有其优点.解题有法,但无定法,具体运用时,应该对具体问题的特点作 具体分析,选择合适的方法.当问题比较复杂时,通常用分析法寻找证明 的思路,而用综合法来叙述、表达整个证明过程.另外本题也可用柯西不

等式证明如下:
因为(12+12+12)(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2=1, 即3(a2+b2+c2)≥1, 所以

1 a ?b ?c ? 3
2 2 2

【变式练习3】已知a+b+c=0,求证:ab+bc+ca≤0.

【证明】方法1:综合法 因为a+b+c=0,所以(a+b+c)2=0, 展开,得ab+bc+ca= .

所以ab+bc+ca≤0.

a ? b ? c2 2
2 2

方法2:分析法 要证ab ? bc ? ca ? 0,因为a ? b ? c ? 0, 故只需证ab ? bc ? ca ? ? a ? b ? c ? ,
2

即证a ? b ? c ? ab ? bc ? ca ? 0, 1? 2 2 2 即 ? a ? b ? ? ? b ? c ? ? ? a ? c ? ? ? 0,显然成立, ? 2? 所以原式成立.
2 2 2

方法3:因为a ? b ? c ? 0,所以 ? c ? a ? b, 所以ab ? bc ? ca ? ab ? ? a ? b ? c ? ab ? ? a ? b ? ? ?a ? b ? ab
2 2 2

? b 2 3b ? ? ? ?(a ? ) ? ? 0 ? 2 4 ? ?
2

1 4 9 1.已知a,b为正数,求证: ? ? 。 a b a?b

【证明】因为a ? 0,b ? 0, 1 4 b 4a 所以(a ? b)( ? ) ? 5 ? ? ? a b a b b 4a 1 4 9 5? 2 ? ? 9,所以 ? ? . a b a b ab

2.设a,b,c为正实数,求证:a ? b ? c ? 1 ? 2 3. abc
3 3 3

【证明】因为a,b,c为正实数, 所以a ? b ? c ?
3 3 3 3

a b c ? 3abc ? 0,
3 3 3

1 1 又3ab ? ? 2 3abc ? ? 2 3. abc abc 当且仅当a ? b ? c ?
3 3 3 6

1 时取“ ?”. 3

1 所以a ? b ? c ? ? 2 3. abc

3.已知a ? a ??? a ? 1,x ? x ??? x ? 1.
2 1 2 2 2 n 2 1 2 2 2 n

求证:a1 x1 ? a2 x2 ??? an xn ? 1.

【证明】由柯西不等式可得 a1 x1 ? a2 x2 ??? an xn ?| a1 x1 ? a2 x2 ??? an xn | ? (a ? a ??? a ) ?( x ? x ??? x ) ? 1,
2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 n 1 2 2 n

故原不等式得证.

4.(2011 ? 宿迁市一模卷)若存在实数x使 3x ? 6 ? 14 ? x>a成立,求常数a的取值范围.
解析:3x ? 6 ? 14 ? x ? 3 ? x ? 2 ? 1 ? 14 ? x, 由柯西不等式得( 3 ? x ? 2 ? 1 ? 14 ? x ) ?
2

? 3 ? 1? ? ? x ? 2 ? 14 ? x ? ? 64,
所以 3x ? 6 ? 14 ? x ? 8, 当且仅当x ? 10时取“ ? ”, 于是,常数a的取值范围是(??, 8).

1.利用柯西不等式的关键在于正确理解柯西不等式,掌握它的各 种结构,根据所给的式子,联想二维和三维柯西不等式,通过变形构 造模型(有难度的通常要逐步调整去构造).

2.比较法证明不等式的步骤:作差——变形——判定,关键是变
形.常见变形手段有因式分解、配方、通分、有理化及放缩法. 3.分析法是“执果索因”,综合法是“由因导果”,它们的论证

顺序相反.常利用分析法从要证的问题入手,逐步推求,再用综合法逐
步完善,最后找到起始条件.

4.反证法是假定原命题不成立,经过正确推理,最后得出矛盾, 说明假定错误,从而证明了原命题成立.一般在利用综合法、分析法比 较困难时才用反证法,即“正难则反”.反证法是证明不等式的间接方 法.

5.比较法、分析法、综合法和反证法四种方法是证明不等式的基
本方法,特别提醒的是对较复杂的命题往往要运用多种方法,甚至利 用函数法,换元法等.


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